Tres Operaciones Elementales en Sistemas


Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Dado un sistema de ecuaciones lineales, se pueden realizar tres tipos diferentes de operaciones en él para obtener un sistema que tenga las mismas soluciones. Usando estas operaciones, que se presentan a continuación, podremos resolver sistemas de ecuaciones por eliminación.

Operaciones Elementales en Sistemas de Ecuaciones

Las tres operaciones que se pueden realizar en cualquier sistema de ecuaciones lineales para obtener un sistema equivalente son:

  1. Intercambiar dos ecuaciones cualesquiera
  2. Multiplicar todos los términos de cualquier ecuación del sistema por cualquier número distinto de cero
  3. Sumar/Restar (los lados derechos juntos y los lados izquierdos juntos) dos ecuaciones cualesquiera


Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1
Dado que el siguiente sistema de ecuaciones \( \left\{ \begin{array}{lcl} 2x - y - z& = & -2 \\ -x - 2y + z& = & -1 \\ -3x + 3y - z & = & 2 \end{array} \right. \) tiene la solución \( (0,1,1) \)

a) Intercambie la ecuación superior y la tercera ecuación del sistema dado y demuestre que la solución del sistema obtenido es \( (0,1,1) \)
b) Multiplique la ecuación superior por \( 2 \) y la segunda ecuación por \( -1 \) del sistema dado y demuestre que la solución del sistema obtenido es \( (0,1,1) \)
c) Sume la segunda ecuación a la tercera ecuación del sistema dado y demuestre que la solución del sistema obtenido es \( (0,1,1) \)
Solución al Ejemplo 1
a)
Intercambie la ecuación superior y la tercera ecuación: \( \left\{ \begin{array}{lcl} -3x + 3y - z & = & 2 \\ -x - 2y + z& = & -1 \\ 2x - y - z& = & -2 \end{array} \right. \)

Sustituya las variables por sus valores \( (0,1,1) \) en las ecuaciones
\( \left\{ \begin{array}{lcl} -3(0) + 3(1) - (1) & = & 2 \\ -(0) - 2(1) + (1)& = & -1 \\ 2(0) - (1) - (1)& = & -2 \end{array} \right. \)

Simplifique
\( \left\{ \begin{array}{lcl} 2 & = & 2 \\ - 1& = & -1 \\ - 2 & = & -2 \end{array} \right. \)

Por lo tanto, \( (0,1,1) \) es la solución del sistema después de los cambios.

b)
Multiplique la ecuación superior por \( 2 \) y la segunda ecuación por \( -1 \): \( \left\{ \begin{array}{lcl} (2x - y - z& = & -2) \times 2 \\ (-x - 2y + z& = & -1) \times (-1) \\ -3x + 3y - z & = & 2 \end{array} \right. \)

Simplifique
\( \left\{ \begin{array}{lcl} 4x - 2y - 2z& = & - 4 \\ x + 2y - z& = & 1 \\ -3x + 3y - z & = & 2 \end{array} \right. \)

Sustituya las variables por sus valores \( (0,1,1) \) en las ecuaciones
\( \left\{ \begin{array}{lcl} 4(0) - 2(1) - 2(1)& = & - 4 \\ (0) + 2(1) - (1)& = & 1 \\ -3(0) + 3(1) - (1) & = & 2 \end{array} \right. \)

Simplifique
\( \left\{ \begin{array}{lcl} -4& = & - 4 \\ 1& = & 1 \\ 2 & = & 2 \end{array} \right. \)

Por lo tanto, \( (0,1,1) \) es la solución del sistema después de los cambios realizados anteriormente.

c)
Sume la segunda ecuación a la tercera para obtener un nuevo sistema
\( \left\{ \begin{array}{lcl} 2x - y - z& = & -2 \\ -x - 2y + z& = & -1 \\ -4x + y & = & 1 \end{array} \right. \)
Ya sabemos que \( (0,1,1) \) es una solución de la primera y segunda ecuaciones ya que no han sido modificadas.
Sustituya las variables por sus valores \( (0,1,1) \) en la tercera ecuación
\( -4(0) + (1) = 1 \)
Simplifique
\( 1 = 1 \)
Por lo tanto, \( (0,1,1) \) es la solución del sistema después de los cambios.


Nota que las tres operaciones elementales se pueden combinar como se muestra en los ejemplos 2 y 3 a continuación.

Ejemplo 2
Dado el siguiente sistema de ecuaciones \( \left\{ \begin{array}{lcl} x - 4 y + z& = & - 4 \\ -2x + y + 3z& = & 6\\ 4x - 2y - z & = & -7 \end{array} \right. \) tiene la solución \( (-1,1,1) \)
Sume \( 3 \) veces la segunda ecuación a \( - 4 \) veces la tercera ecuación y demuestre que la solución del sistema obtenido es \( (-1,1,1) \)
Solución al Ejemplo 2
Sume \( 3 \) veces la segunda ecuación a \( - 4 \) veces la tercera ecuación
\( (-2x + y + 3z = 6) \times 3 \\ + \\ (4x - 2y - z = -7) \times (-4) \)

Multiplique
\( -6x + 3y + 9z = 18 \\ + \\ -16x + 8y + 4z = 28 \)

Sume las dos ecuaciones (lados izquierdos juntos y lados derechos juntos)
\( -6x + 3y + 9z + (-16x + 8y + 4z) = 18 + 28 \)

Agrupe términos semejantes y simplifique
\( -22x + 11y + 13 z = 46 \)

Después de los cambios, el sistema se convierte en
\( \left\{ \begin{array}{lcl} x - 4 y + z& = & - 4 \\ -2x + y + 3z& = & 6\\ -22x + 11y + 13 z & = & 46 \end{array} \right. \)

Sustituya las variables por sus valores \( (-1,1,1) \) en la tercera ecuación
\( -22(-1) + 11(1) + 13 (1) = 46 \)

Simplifique
\( 46 = 46 \)
Por lo tanto, \( (-1,1,1) \) es una solución del sistema después de los cambios realizados. No necesitamos verificar que \( (-1,1,1) \) sea solución de la primera y segunda ecuaciones porque no han sido modificadas.


Ejemplo 3
Dado el siguiente sistema de ecuaciones \( \left\{ \begin{array}{lcl} x - y + z& = & 3 \\ 4x + y + 3z& = & 7\\ -12x - 4 y + 4 z & = & -20 \end{array} \right. \) tiene la solución \( (2,-1,0) \)

Realice los siguientes cambios simultáneamente
1) Sume \( -3 \) veces la ecuación superior y \( 2 \) veces la segunda ecuación a \( -\dfrac{1}{4} \) de la tercera ecuación
2) Multiplique la segunda ecuación por \( -2 \)
y demuestre que la solución del sistema obtenido es \( (2,-1,0) \)
Solución al Ejemplo 3
1) Primer cambio
Sume \( -3 \) veces la ecuación superior y \( 2 \) veces la segunda ecuación a \( -\dfrac{1}{4} \) de la tercera ecuación
\( (x - y + z = 3) \times (-3) \\ + \\ (4x + y + 3z = 7) \times (2) \\ +\\ (-12x - 4 y + 4 z = -20) \times (-\dfrac{1}{4}) \)

Multiplique
\( -3x +3 y -3z = -9 \\ + \\ 8x + 2y + 6z = 14 \\ +\\ 3x + y - z = 5 \)

Sume los lados izquierdos juntos y los lados derechos juntos de las ecuaciones anteriores
\( -3x +3 y -3z + (8x + 2y + 6z) + (3x + y - z) = -9 + 14 + 5 \)

Agrupe términos semejantes y simplifique
\( 8x + 6 y + 2 z = 10 \)

2) Segundo cambio
Multiplique la segunda ecuación por \( -2 \)
\( (4x + y + 3z = 7) \times (-2) \)

Simplifique
\( -8x - 2y - 6z = -14 \)

Después de los dos cambios solicitados, el sistema se convierte en
\( \left\{ \begin{array}{lcl} x - y + z& = & 3 \\ -8x - 2y - 6z& = & -14\\ 8x + 6 y + 2 z & = & 10 \end{array} \right. \)

Sustituya las variables por sus valores \( (2,-1,0) \) en el sistema
\( \left\{ \begin{array}{lcl} 2 - (-1) + 0& = & 3 \\ -8(2) - 2(-1) - 6(0)& = & -14\\ 8(2) + 6(-1) + 2(0) & = & 10 \end{array} \right. \)

Simplifique los lados izquierdos en lo anterior
\( \left\{ \begin{array}{lcl} 3& = & 3 \\ -14& = & -14\\ 10 & = & 10 \end{array} \right. \)

Por lo tanto, \( (2,-1,0) \) es una solución del sistema después de los cambios realizados. No necesitamos verificar que \( (2,-1,0) \) sea solución de la primera y segunda ecuaciones porque no han sido modificadas.

Conclusión

Si se aplica cualquiera de las operaciones elementales o cualquier combinación de ellas a un sistema de ecuaciones, obtenemos un sistema equivalente de ecuaciones que tiene la misma solución que el original. Estas tres operaciones elementales se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones por el método de eliminación.



Más Referencias y Enlaces

  1. álgebra lineal
  2. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación
  3. inversa de una matriz
  4. matrices elementales
  5. Eliminación Gaussiana