Encontrando sistemas de desigualdades en dos variables

Este tutorial explica cómo determinar un sistema de desigualdades en dos variables cuyo conjunto solución corresponde a una región sombreada en un gráfico. Cada ejemplo incluye un diagrama y una explicación detallada.

Ejemplo 1

Encuentra el sistema de desigualdades cuyo conjunto solución está representado por la región que se muestra a continuación.

Región para el Ejemplo 1

Solución

\[ \begin{cases} y \le 0 \\ x \le 0 \\ y \ge -\frac{1}{2}x - 2 \end{cases} \]

Ejemplo 2

Encuentra el sistema de desigualdades cuyo conjunto solución se muestra a continuación.

Región para el Ejemplo 2

Solución

\[ \begin{cases} y \le 1 \\ x \le -1 \\ y \ge -3 \\ x \ge -3 \end{cases} \]

Ejemplo 3

Encuentra un sistema de desigualdades que tenga la región que se muestra a continuación como su conjunto solución.

Región para el Ejemplo 3

Solución

Las líneas límite se determinan a partir de pares de puntos:

Línea \(L_1\): puntos \((3,0)\) y \((0,3)\)
Ecuación: \(y = -x + 3\)
Línea \(L_2\): puntos \((4,0)\) y \((0,-2)\)
Ecuación: \(y = \frac{1}{2}x - 2\)
Línea \(L_3\): puntos \((-1,0)\) y \((0,2)\)
Ecuación: \(y = 2x + 2\)

\[ \begin{cases} y < -x + 3 \\ y \ge \frac{1}{2}x - 2 \\ y < 2x + 2 \end{cases} \]

Ejemplo 4

Encuentra el sistema de desigualdades cuyo conjunto solución está representado por la región a continuación.

Región para el Ejemplo 4

Solución

Ecuación de la recta AB

Puntos: \(A(2,2)\), \(B(8,-2)\)
Pendiente: \[ m = \frac{-2 - 2}{8 - 2} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \] Ecuación: \[ y = -\frac{2}{3}x + \frac{10}{3} \]

Ecuación de la recta BC

Puntos: \(B(8,-2)\), \(C(9,6)\)
Pendiente: \[ m = \frac{6 - (-2)}{9 - 8} = 8 \] Ecuación: \[ y = 8x - 66 \]

Ecuación de la recta CD

Línea horizontal: \[ y = 6 \]

Ecuación de la recta DA

Pendiente \(m = \frac{4}{3}\)
Ecuación: \[ y = \frac{4}{3}x - \frac{2}{3} \]

Sistema de desigualdades

\[ \begin{cases} y \ge -\frac{2}{3}x + \frac{10}{3} \\ y > 8x - 66 \\ y < 6 \\ y \le \frac{4}{3}x - \frac{2}{3} \end{cases} \]

Ejemplo 5

Encuentra el sistema de desigualdades cuyo conjunto solución se muestra a continuación.

Región para el Ejemplo 5

Solución

\[ \begin{cases} y > x^2 - 4 \\ y \le 2x - 2 \end{cases} \]

Ejemplo 6

¿Qué sistema de desigualdades produce la región que se muestra a continuación?

Región para el Ejemplo 6

Solución

\[ \begin{cases} y \le -\sqrt{4 - x^2} \\ y \ge -x^2 - 4 \end{cases} \]