Resolución de Inecuaciones con Dos Variables

Este tutorial explica cómo resolver inecuaciones que involucran dos variables utilizando métodos gráficos. Se presentan varios ejemplos con explicaciones detalladas e ilustraciones.

Una inecuación en dos variables generalmente involucra las variables \(x\) e \(y\). Un par ordenado \((a,b)\) es una solución si la inecuación es verdadera cuando \(x=a\) e \(y=b\). Dado que cada par ordenado corresponde a un punto en el plano coordenado, el conjunto solución de una inecuación es generalmente una región en el plano \(xy\).

Si reemplazamos el símbolo de desigualdad por un signo igual, obtenemos la ecuación correspondiente. La gráfica de esta ecuación divide el plano en regiones tales que: o todos los puntos en una región satisfacen la inecuación, o ninguno lo hace. Esta idea se ilustra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1: Resolución de una Inecuación Lineal

Problema. Resolver gráficamente la inecuación

Solución

Para encontrar el conjunto solución:

1. Graficar la ecuación correspondiente \(x = 2\). Esta línea vertical divide el plano en dos regiones.
2. Seleccionar un punto de prueba de una de las regiones.
3. Si el punto satisface la inecuación, entonces toda la región es el conjunto solución.

Elegimos el punto \((3,2)\), que se encuentra a la derecha de la línea \(x=2\). Al sustituir \(x=3\) en la inecuación obtenemos

lo cual es verdadero. Por lo tanto, el conjunto solución es la región a la derecha de la línea \(x=2\), incluyendo la propia línea. La línea se dibuja continua porque la inecuación incluye la igualdad.

Ejemplo 2: Frontera Horizontal

Problema. Resolver gráficamente la inecuación

Solución

1. Graficar la ecuación \(y = 1\), una línea horizontal.
2. Seleccionar un punto de prueba debajo de la línea, como \((1,-1)\).
3. Sustituir \(y=-1\) en la inecuación.

Esta afirmación es verdadera, por lo que el conjunto solución es la región debajo de la línea \(y=1\). Debido a que la inecuación es estricta, la línea fronteriza se dibuja discontinua.

Ejemplo 3: Inecuación Lineal con Dos Variables

Problema. Resolver gráficamente la inecuación

Solución

1. Graficar la ecuación \(2y = -4x + 4\).
2. La línea tiene intersecciones en \((1,0)\) y \((0,2)\).
3. Seleccionar un punto de prueba como \((0,0)\).

La inecuación se satisface, por lo que el conjunto solución es la región que contiene el punto \((0,0)\). La línea fronteriza es discontinua porque la inecuación es estricta.

Ejemplo 4: Inecuación Cuadrática

Problema. Resolver gráficamente la inecuación

Solución

1. Graficar la ecuación \(y = x^2 - 2x - 3\).
2. La parábola tiene intersecciones con el eje x en \((-1,0)\) y \((3,0)\), y con el eje y en \((0,-3)\).
3. Seleccionar un punto de prueba como \((0,0)\).

Esta afirmación es verdadera, por lo que el conjunto solución es la región por encima de la parábola. Dado que la inecuación es estricta, la parábola se dibuja discontinua.