Este tutorial integral presenta varios problemas verbales y aplicaciones relacionados con la programación lineal, con soluciones y explicaciones detalladas. Utilizamos métodos para resolver inecuaciones con dos variables, sistemas de inecuaciones lineales con dos variables y optimización de programación lineal para resolver problemas prácticos donde se optimizan funciones como ganancias, rendimientos, costos, etc.
Una tienda vende dos tipos de juguetes, A y B. El dueño de la tienda paga \( \$8 \) y \( \$14 \) por cada unidad de los juguetes A y B respectivamente. Una unidad del juguete A genera una ganancia de \( \$2 \), mientras que una unidad del juguete B genera una ganancia de \( \$3 \). El dueño estima que no se venderán más de 2000 juguetes cada mes, y no planea invertir más de \( \$20000 \) en el inventario de estos juguetes. ¿Cuántas unidades de cada tipo de juguete debe almacenar para maximizar su ganancia mensual total?
Sea \( x \) el número de juguetes A y \( y \) el número de juguetes B. Dado que \( x \) e \( y \) no pueden ser negativos:
\[ x \geq 0 \quad \text{y} \quad y \geq 0 \]El dueño de la tienda estima que no se venderán más de 2000 juguetes:
\[ x + y \leq 2000 \]Una unidad del juguete A genera una ganancia de \( \$2 \), mientras que una unidad del juguete B genera una ganancia de \( \$3 \), por lo que la ganancia total \( P \) es:
\[ P = 2x + 3y \]El dueño paga $8 y $14 por cada unidad y no puede invertir más de \( \$20000 \):
\[ 8x + 14y \leq 20000 \]Necesitamos encontrar \( x \) e \( y \) que maximicen \( P = 2x + 3y \) bajo las restricciones:
\[ \begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 2000 \\ 8x + 14y \leq 20000 \end{cases} \]El conjunto solución de este sistema y los vértices de la región factible se muestran a continuación:
Vértices de la región factible:
Calculemos la ganancia total \( P \) en cada vértice:
\[ \begin{align*} P(A) &= 2(0) + 3(0) = 0 \\ P(B) &= 2(0) + 3(1429) = 4287 \\ P(C) &= 2(1333) + 3(667) = 4667 \\ P(D) &= 2(2000) + 3(0) = 4000 \end{align*} \]La ganancia máxima se encuentra en el vértice C con \( x = 1333 \) e \( y = 667 \). Por lo tanto, el dueño de la tienda debe almacenar 1333 juguetes del tipo A y 667 juguetes del tipo B para maximizar la ganancia.
Una empresa produce dos tipos de mesas, T1 y T2. Se requieren 2 horas para producir las piezas de una unidad de T1, 1 hora para ensamblar y 2 horas para pulir. Para T2, se requieren 4 horas para producir las piezas, 2,5 horas para ensamblar y 1,5 horas para pulir. Las horas mensuales disponibles son: 7000 para producción de piezas, 4000 para ensamblaje y 5500 para pulido. La ganancia por unidad de T1 es de \( \$90 \) y por unidad de T2 es de \( \$110 \). ¿Cuántas unidades de cada tipo deben producirse mensualmente para maximizar la ganancia?
Sea \( x \) el número de mesas T1 e \( y \) el número de mesas T2. La función de ganancia es:
\[ P(x, y) = 90x + 110y \]Restricciones basadas en las horas disponibles:
\[ \begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 2x + 4y \leq 7000 \quad \text{(producción de piezas)} \\ x + 2,5y \leq 4000 \quad \text{(ensamblaje)} \\ 2x + 1,5y \leq 5500 \quad \text{(pulido)} \end{cases} \]La región factible y sus vértices se muestran a continuación:
Vértices de la región factible:
Evaluemos la ganancia en cada vértice:
\[ \begin{align*} P(A) &= 90(0) + 110(0) = 0 \\ P(B) &= 90(0) + 110(1600) = 176000 \\ P(C) &= 90(1500) + 110(1000) = 245000 \\ P(D) &= 90(2300) + 110(600) = 273000 \\ P(E) &= 90(2750) + 110(0) = 247500 \end{align*} \]La ganancia máxima de $273000 ocurre en el vértice D. Por lo tanto, se deben producir 2300 mesas T1 y 600 mesas T2.
Un agricultor mezcla dos tipos de alimento para obtener una alimentación animal de bajo costo. El alimento A cuesta \( \$10 \) por bolsa y contiene 40 unidades de proteína, 20 unidades de minerales y 10 unidades de vitaminas. El alimento B cuesta $12 por bolsa y contiene 30 unidades de proteína, 20 unidades de minerales y 30 unidades de vitaminas. Requisitos mínimos diarios: 150 unidades de proteína, 90 unidades de minerales y 60 unidades de vitaminas. ¿Cuántas bolsas de cada alimento deben usarse diariamente para cumplir con los requisitos al mínimo costo?
Sea \( x \) el número de bolsas del alimento A e \( y \) el número de bolsas del alimento B. La función de costo es:
\[ C(x, y) = 10x + 12y \]Restricciones basadas en los requisitos nutricionales:
\[ \begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 40x + 30y \geq 150 \quad \text{(proteína)} \\ 20x + 20y \geq 90 \quad \text{(minerales)} \\ 10x + 30y \geq 60 \quad \text{(vitaminas)} \end{cases} \]Región factible y vértices:
Vértices:
Evaluemos el costo en cada vértice:
\[ \begin{align*} C(A) &= 10(6) + 12(0) = 60 \\ C(B) &= 10\left(\frac{15}{4}\right) + 12\left(\frac{3}{4}\right) = 46,5 \\ C(C) &= 10\left(\frac{3}{2}\right) + 12(3) = 51 \\ C(D) &= 10(0) + 12(5) = 60 \end{align*} \]El costo mínimo de \( \$46,50 \) ocurre en \( B \left( \frac{15}{4}, \frac{3}{4} \right) \). Por lo tanto, se deben usar 3,75 bolsas del alimento A y 0,75 bolsas del alimento B diariamente.
Juan tiene \( \$20000 \) para invertir en tres fondos: F1 (2% de rendimiento, bajo riesgo), F2 (4% de rendimiento, riesgo medio) y F3 (5% de rendimiento, alto riesgo). No invertirá más de $3000 en F3 y al menos el doble en F1 que en F2. ¿Cuánto debe invertir en cada fondo para maximizar el rendimiento anual?
Sea \( x \) = monto en F1, \( y \) = monto en F2, \( z \) = monto en F3. Tenemos:
\[ x + y + z = 20000 \quad \Rightarrow \quad z = 20000 - (x + y) \]Rendimiento total \( R \):
\[ \begin{align*} R &= 0,02x + 0,04y + 0,05z \\ &= 0,02x + 0,04y + 0,05[20000 - (x + y)] \\ &= 1000 - 0,03x - 0,01y \end{align*} \]Restricciones:
\[ \begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ z \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x + y \leq 20000 \\ z \leq 3000 \quad \Rightarrow \quad x + y \geq 17000 \\ x \geq 2y \end{cases} \]Región factible en el plano \( xy \):
Vértices:
Evaluemos el rendimiento:
\[ \begin{align*} R(A) &= 1000 - 0,03(20000) - 0,01(0) = 400 \\ R(B) &= 1000 - 0,03(17000) - 0,01(0) = 490 \\ R(C) &= 1000 - 0,03(11333) - 0,01(5667) = 603 \\ R(D) &= 1000 - 0,03(13333) - 0,01(6667) = 533 \end{align*} \]El rendimiento máximo de \( \$603 \) ocurre en el punto C. Por lo tanto, debe invertir \( \$11333 \) en F1, \( \$5667 \) en F2 y \( \$3000 \) en F3.
El dueño de una tienda puede gastar como máximo \( \$100000 \) mensuales en PCs y laptops. Una PC cuesta \( \$1000 \) y genera \( \$400 \) de ganancia; una laptop cuesta \( \$1500 \) y genera \( \$700 \) de ganancia. Se venden al menos 15 PCs pero no más de 80 mensualmente. Las ventas de laptops son como máximo la mitad de las ventas de PCs. ¿Cuántas unidades de cada tipo deben venderse para maximizar la ganancia?
Sea \( x \) = número de PCs, \( y \) = número de laptops. Ganancia:
\[ P = 400x + 700y \]Restricciones:
\[ \begin{cases} 15 \leq x \leq 80 \\ y \geq 0 \\ y \leq \frac{1}{2}x \quad \text{(laptops como máximo la mitad de PCs)} \\ 1000x + 1500y \leq 100000 \quad \text{(restricción presupuestaria)} \end{cases} \]Región factible:
Vértices:
Evaluemos la ganancia:
\[ \begin{align*} P(A) &= 400(15) + 700(0) = 6000 \\ P(B) &= 400(15) + 700(7,5) = 11250 \\ P(C) &= 400(57,14) + 700(28,57) = 42855 \\ P(D) &= 400(80) + 700(13,33) = 41310 \end{align*} \]La ganancia máxima ocurre en el punto C, pero necesitamos valores enteros. Probemos con enteros cercanos:
Ganancia con \( x = 57 \), \( y = 28 \):
\[ P = 400(57) + 700(28) = 42400 \]Esta es la solución entera máxima. Se deben vender 57 PCs y 28 laptops mensualmente.
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