Este es un tutorial sobre la resolución de sistemas de inecuaciones con dos variables. Se presentan ejemplos con explicaciones detalladas.
Para resolver un sistema de inecuaciones, primero resolvemos gráficamente cada inecuación del sistema dado en el mismo sistema de coordenadas y luego encontramos la región común a cada solución (que es una región) de la inecuación en el sistema: es la intersección de todas las regiones obtenidas y se denomina región factible.
Primero utilizamos los métodos desarrollados para resolver inecuaciones con dos variables para resolver cada una de las inecuaciones dadas en el sistema.
A continuación se muestra (en rojo) el conjunto solución de la primera inecuación: \( x + 2y \ge - 2 \). Debido a que el símbolo de la inecuación incluye el signo de igualdad, la gráfica de la ecuación \( x + 2y = - 2 \) es una línea continua.
Luego resolvemos la segunda inecuación \( x + y \lt 0 \); se muestra a continuación en azul. Debido a que el símbolo de la inecuación no incluye el signo de igualdad, la gráfica de la ecuación \( x + y = 0 \) es una línea discontinua.
A continuación encontramos la región común a los conjuntos solución (la intersección de los dos conjuntos solución) encontrados anteriormente. La intersección es el conjunto de puntos comunes a los dos conjuntos solución. Se muestra a continuación con líneas sombreadas rojas y azules.
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Finalmente, el conjunto solución del sistema de inecuaciones a resolver está representado por la región azul. Se denomina región factible.
Primero resolvemos la inecuación \( x \gt y - 1 \). El conjunto solución es la región con líneas sombreadas negras.
Luego resolvemos la inecuación \( 2x + y \le 2 \). El conjunto solución es la región con líneas sombreadas rojas.
A continuación resolvemos la inecuación \( 4y \ge -3 x - 12 \). El conjunto solución es la región con líneas sombreadas azules.
El conjunto solución es la intersección de las tres regiones encontradas anteriormente. Se muestra a continuación como un triángulo.
Finalmente, el conjunto solución como un triángulo, también denominado región factible, se muestra a continuación.
Ahora que tenemos la región que representa el conjunto solución, que es un triángulo, se nos pide encontrar las coordenadas de los vértices A, B y C, que son puntos de intersección de las rectas graficadas para encontrar el conjunto solución del sistema de inecuaciones.
El punto A es la intersección de las rectas que pasan por AB y AC
ecuación de la recta que pasa por AB: x = y - 1
ecuación de la recta que pasa por AC: 4y = - 3 x - 12
El punto de intersección de AB y AC es la solución del sistema de ecuaciones
\[
\begin{cases}
\ x = y - 1 \\
\ 4y = -3 x - 12 \\
\end{cases}
\]
Resuelva el sistema anterior para encontrar y = - 9 / 7 y x = - 16 / 7.
El punto A tiene las coordenadas: A( - 16 / 7 , - 9 / 7)
El punto B es la intersección de AB y BC y se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones
\[
\begin{cases}
\ x = y - 1 \\
\ 2x + y = 2 \\
\end{cases}
\]
Solución: B(1 / 3 , 4 / 3)
El punto C es la intersección de AC y BC y se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones \[ \begin{cases} \ 4y = -3 x - 12 \\ \ 2x + y = 2 \\ \end{cases} \] Solución: C(4 , -6)
Los tres vértices A, B y C tienen las siguientes coordenadas:
Primero resolvemos cada inecuación y luego determinamos la región común, que es el conjunto solución del sistema de inecuaciones dado, como se muestra a continuación mediante un polígono. Esto se denomina región factible.
Hay 5 vértices: A, B, C, D y E. Cada punto se determina resolviendo el sistema de ecuaciones 2 por 2 correspondiente a las dos rectas cuya intersección es el vértice que se debe encontrar (ver ejemplo 2 anterior).
El punto A es la intersección de las rectas x = 0 e y = 0. Solución A(0 , 0).
El punto B es la intersección de las rectas x = 0 e y = x + 1. Solución B(0 , 1)
El punto C es la intersección de las rectas y = x + 1 y 4y + x = 10. Solución C(6/5 , 11/5)
El punto D es la intersección de las rectas 4y + x = 10 e y - x = - 3. Solución D(22/5 , 7/5)
El punto E es la intersección de las rectas y - x = -3 e y = 0. Solución E( 3 , 0)
