Esta página proporciona respuestas detalladas y explicaciones para las preguntas del Tutorial (4) sobre Funciones Logarítmicas.
Investiga la base \( B \): establece \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = 0 \), y \( d = 0 \). Varía \( B \) entre valores mayores que 0 y menores que 1, y valores mayores que 1. Observa las gráficas resultantes y explica las diferencias.
Para funciones logarítmicas de la forma
\[ f(x) = \log_B(x), \]el comportamiento depende de la base \( B \):
Esto ocurre porque el logaritmo es la inversa de la función exponencial, cuya monotonicidad depende de la base.
Investiga el efecto del parámetro \( a \) (escalamiento vertical) estableciendo \( B = e \), \( b = 1 \), \( c = 0 \), y \( d = 0 \).
La función es
\[ f(x) = a \log_B(x). \]A medida que \( a \) aumenta, la gráfica se estira verticalmente. A medida que \( a \) disminuye (pero permanece distinto de cero), la gráfica se comprime verticalmente. Si \( a < 0 \), la gráfica también se refleja respecto al eje \( x \).
Investiga el efecto del parámetro \( b \) (escalamiento horizontal) estableciendo \( a = 1 \), \( c = 0 \), \( d = 0 \), y \( B = e \).
La función se convierte en
\[ f(x) = \log_B(bx). \]A medida que \( b \) aumenta, la gráfica se comprime horizontalmente. A medida que \( b \) disminuye (pero permanece positivo), la gráfica se estira horizontalmente.
Establece \( B = e \), \( a = 1 \), y \( b = 1 \). Investiga los efectos de los parámetros \( c \) (desplazamiento horizontal) y \( d \) (traslación vertical).
La función es
\[ f(x) = \log_B(x + c) + d. \]Si \( c > 0 \), la gráfica se desplaza hacia la izquierda. Si \( c < 0 \), la gráfica se desplaza hacia la derecha.
Si \( d > 0 \), la gráfica se desplaza hacia arriba. Si \( d < 0 \), la gráfica se desplaza hacia abajo.
Establece \( B \), \( a \), y \( d \) en valores fijos. Explica cómo los parámetros \( b \) y \( c \) afectan el dominio de la función logarítmica. Proporciona una explicación analítica.
La función es
\[ f(x) = a \log_B(bx + c) + d. \]El logaritmo está definido solo cuando su argumento es positivo, por lo que el dominio satisface
\[ bx + c > 0. \]Resolver esta desigualdad determina el dominio de la función.
¿Qué parámetro(s) afectan la intersección con el eje \( x \)? ¿Siempre existe una intersección con el eje \( x \)? Explica analíticamente.
La intersección con el eje \( x \) ocurre cuando \( f(x) = 0 \):
\[ a \log_B(bx + c) + d = 0. \]Resolviendo paso a paso:
\[ \log_B(bx + c) = -\frac{d}{a} \] \[ bx + c = B^{-\frac{d}{a}} \] \[ x = \frac{B^{-\frac{d}{a}} - c}{b}. \]Existe una intersección con el eje \( x \) siempre que \( a \neq 0 \) y \( b \neq 0 \), y que la \( x \) resultante esté en el dominio.
¿Qué parámetro(s) afectan la intersección con el eje \( y \)? ¿Siempre existe una intersección con el eje \( y \)? Explica analíticamente.
La intersección con el eje \( y \) ocurre en \( x = 0 \):
\[ y = f(0) = a \log_B(c) + d. \]Existe una intersección con el eje \( y \) solo si
\[ c > 0. \]¿Qué parámetro(s) afectan la asíntota vertical? Explica analíticamente.
La asíntota vertical ocurre donde el argumento del logaritmo es igual a cero:
\[ bx + c = 0. \]Resolviendo para \( x \) se obtiene
\[ x = -\frac{c}{b}. \]Por lo tanto, la asíntota vertical depende de los parámetros \( b \) y \( c \). La gráfica siempre tiene una asíntota vertical siempre que \( b \neq 0 \).