La función logarítmica natural \[ y = \ln(x) \] es el logaritmo cuya base es la constante de Euler \( e \). Por lo tanto, es la función inversa de la exponencial natural función \[ y = e^x. \] Por consiguiente,
\[ y = \ln(x) \quad \text{si y solo si} \quad x = e^y. \]Las gráficas de \( y = \ln(x) \) y su inversa \( y = e^x \) se muestran a continuación. Cada gráfica es el reflejo de la otra respecto a la recta \( y = x \), ya que son funciones inversas.
En general, la composición de una función \( f \) y su inversa \( f^{-1} \) satisface:
1) \( f\!\left(f^{-1}(x)\right) = x \), para \( x \) en el dominio de \( f^{-1} \)
2) \( f^{-1}(f(x)) = x \), para \( x \) en el dominio de \( f \)
Dado que \( \ln(x) \) y \( e^x \) son funciones inversas, obtenemos:
\[ \ln\!\left(e^x\right) = x \] y \[ e^{\ln(x)} = x, \quad x > 0. \]Ejemplos numéricos
\( \ln(e^3) = 3 \)
\( \ln(1) = \ln(e^0) = 0 \)
\( \ln(e) = \ln(e^1) = 1 \)
\( \ln\!\left(\frac{1}{e}\right) = \ln(e^{-1}) = -1 \)
\( \ln(\sqrt{e}) = \ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2} \)
Dominio: \( (0, +\infty) \)
Rango: \( (-\infty, +\infty) \)
Intersección con el eje x: \( (1, 0) \)
Asíntota vertical: \( x = 0 \), ya que
\( \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \ln(x) = -\infty \)
Monotonía: Creciente en \( (0, +\infty) \)
Continuidad: Continua en \( (0, +\infty) \)
Diferenciabilidad: Diferenciable en \( (0, +\infty) \)
Uno a uno: Sí
Función inversa: Si \( f(x) = \ln(x) \), entonces \( f^{-1}(x) = e^x \)
Composición: \( \ln(e^x) = x \) y \( e^{\ln(x)} = x \) para \( x > 0 \)
Derivada:
\[
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr] = \frac{1}{x}
\]
Reglas del logaritmo natural
\[ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b), \quad a>0,\; b>0 \] \[ \ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b), \quad a>0,\; b>0 \] \[ \ln(x^n) = n\,\ln(x), \quad x>0 \]
Cualquier logaritmo puede escribirse en términos del logaritmo natural usando la fórmula de cambio de base:
\[ \log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}. \]Las funciones logarítmicas naturales se utilizan comúnmente para resolver ecuaciones que involucran modelos exponenciales.
La población \( P \) de una pequeña ciudad varía continuamente según
\[ P = 10000\,e^{0.025t}, \]donde \( t \) es el número de años después de 2019. ¿Cuándo alcanzará la población los 12 000 habitantes?
Solución
Establezca \( P = 12000 \):
\[ 12000 = 10000\,e^{0.025t} \] \[ 1.2 = e^{0.025t} \] \[ \ln(1.2) = 0.025t \] \[ t = \frac{\ln(1.2)}{0.025} \approx 7.29 \text{ años} \]Redondeando al año más cercano: \[ 2019 + 7 = 2026. \] La población alcanzará los 12 000 habitantes en el año 2026.
Para una cuenta con capitalización continua, el saldo \( B \) está dado por
\[ B = Pe^{rt}, \]donde \( P \) es el capital inicial y \( r \) es la tasa de interés anual. Se invierte una cantidad de \( \$50{,}000 \) a una tasa \( r = 5.5\% \). ¿Cuánto tiempo tardará la inversión en alcanzar los \( \$75{,}000 \)?
Solución
\[ 75000 = 50000\,e^{0.055t} \] \[ 1.5 = e^{0.055t} \] \[ \ln(1.5) = 0.055t \] \[ t = \frac{\ln(1.5)}{0.055} \approx 7.4 \text{ años} \]