Esta página presenta varios problemas clásicos resueltos utilizando el principio de inducción matemática.
La inducción matemática es una técnica de demostración que se utiliza para mostrar que una afirmación \(P(n)\) es verdadera para todos los enteros \(n \ge N\), donde \(N\) es un entero positivo fijo.
La demostración consta de dos pasos:
Usa inducción matemática para demostrar que
\[ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \]para todos los enteros positivos \(n\).
Sea \(P(n)\) la afirmación \[ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}. \]
Paso 1: Para \(n = 1\),
\[ 1 = \frac{1(1+1)}{2} = 1. \]Por lo tanto, \(P(1)\) es verdadera.
Paso 2: Asumir que \(P(k)\) es verdadera:
\[ 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2}. \]Sumar \(k+1\) a ambos lados:
\[ 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}. \]Esto demuestra \(P(k+1)\). Por lo tanto, la afirmación es verdadera para todo \(n\).
Demostrar que
\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]para todos los enteros positivos \(n\).
Paso Base: Para \(n = 1\),
\[ 1^2 = \frac{1(2)(3)}{6} = 1. \]Paso Inductivo: Asumir
\[ 1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}. \]Sumar \((k+1)^2\):
\[ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}. \]Esto demuestra \(P(k+1)\).
Demostrar que
\[ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}. \]Paso Base:
\[ 1^3 = \frac{1^2(2)^2}{4} = 1. \]Paso Inductivo: Asumir que la fórmula se cumple para \(k\).
Sumar \((k+1)^3\) y factorizar:
\[ \frac{k^2 (k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2 (k+2)^2}{4}. \]Por lo tanto, la fórmula se cumple para todo \(n\).
Demostrar que \(n^3 + 2n\) es divisible por \(3\) para todos los enteros positivos \(n\).
Paso Base:
\[ 1^3 + 2(1) = 3. \]Paso Inductivo:
\[ (k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 2k) + 3(k^2 + k + 1). \]Esta expresión es divisible por \(3\), completando la demostración.
Demostrar que
\[ 3^n > n^2 \quad \text{para todos los enteros } n \ge 3. \]La desigualdad se verifica para \(n = 1, 2\). Asumiendo que se cumple para \(k\):
\[ 3^{k+1} = 3 \cdot 3^k > 3k^2 > (k+1)^2. \]Por lo tanto, la desigualdad se cumple para todo \(n \ge 3\).
Demostrar que
\[ n! > 2^n \quad \text{para todo } n \ge 4. \]Paso Base:
\[ 4! = 24 > 16 = 2^4. \]Paso Inductivo:
\[ (k+1)! = (k+1)k! > (k+1)2^k > 2^{k+1}. \]Demostrar que
\[ [R(\cos t + i \sin t)]^n = R^n(\cos nt + i \sin nt) \]para todos los enteros positivos \(n\).
El resultado se cumple para \(n = 1\). Asumir que es verdadero para \(n = k\).
Multiplicar ambos lados por \(R(\cos t + i \sin t)\) y aplicar identidades trigonométricas:
\[ \cos(kt+t) + i\sin(kt+t) = \cos((k+1)t) + i\sin((k+1)t). \]Esto completa la demostración por inducción.