El concepto de la distancia entre dos puntos es importante en matemáticas. Se presentan una serie de problemas de distancia con soluciones detalladas (al final de esta página).
Encuentra la distancia entre los puntos (2, 3) y (0, 6).
Encuentra la distancia entre el punto (-1, -3) y el punto medio del segmento de recta que une (2, 4) y (4, 6).
Encuentra x para que la distancia entre los puntos (-2, -3) y (-3, x) sea igual a 5.
Encuentra x e y si (2, 5) es el punto medio de los puntos (x, y) y (-5, 6).
Encuentra el punto (0, y) que es equidistante de (4, -9) y (0, -2).
Demuestra que el triángulo que tiene vértices en (0, 1), (2, 3) y (2, -1) es un triángulo rectángulo isósceles.
Encuentra la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos vértices son los puntos (-2, 1), (1, 1) y (1, 2).
Encuentra una relación entre x e y para que la distancia entre los puntos (x, y) y (-2, 4) sea igual a 5.
Encuentra una relación entre x e y para que (x, y) sea equidistante de los dos puntos (-3, 4) y (0, -3).
Encuentra una relación entre x e y para que el triángulo cuyos vértices son (x, y), (1, 1) y (5, 1) sea un triángulo rectángulo con la hipotenusa definida por los puntos (1, 1) y (5, 1).
La fórmula para la distancia \(D\) entre dos puntos \((a, b)\) y \((c, d)\) está dada por
\[ D = \sqrt{(c - a)^2 + (d - b)^2} \]Aplica la fórmula anterior para encontrar la distancia \(D\) entre los puntos \((2, 3)\) y \((0, 6)\) como sigue
\[ D = \sqrt{(0 - 2)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{13} \]Primero encontramos las coordenadas del punto medio \(M\) del segmento que une \((2, 4)\) y \((4, 6)\).
\[ M = \left( \dfrac{2 + 4}{2}, \dfrac{4 + 6}{2} \right) = (3, 5) \]Ahora usamos la fórmula de distancia para encontrar la distancia entre los puntos \((-1, -3)\) y \((3, 5)\).
\[ D = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]Usa la fórmula de distancia para escribir una ecuación en \(x\):
\[ 5 = \sqrt{\,(-3 - (-2))^2 + (x - (-3))^2} \]Simplifica la expresión bajo la raíz cuadrada:
\[ 5 = \sqrt{\,1 + (x + 3)^2} \]Eleva al cuadrado ambos lados:
\[ 25 = 1 + (x + 3)^2 \]Resuelve para \(x\):
\[ (x + 3)^2 = 24 \]Dos soluciones:
\[ x = -3 + 2\sqrt{6} \quad \text{o} \quad x = -3 - 2\sqrt{6} \]Usa la fórmula del punto medio.
\[ (2,5) = \left( \dfrac{x + (-5)}{2}, \; \dfrac{y + 6}{2} \right) \]Iguala las coordenadas:
\[ 2 = \dfrac{x - 5}{2}, \qquad 5 = \dfrac{y + 6}{2} \]Resuelve para \(x\) e \(y\):
\[ x = 9, \qquad y = 4 \]Usa la fórmula de distancia para encontrar la distancia \(D_1\) desde \((0, y)\) hasta \((4, -9)\) y la distancia \(D_2\) desde \((0, y)\) hasta \((0, -2)\).
\[ D_1 = \sqrt{(4-0)^2 + (-9-y)^2} \] \[ D_2 = \sqrt{(0-0)^2 + (-2-y)^2} \]Las dos distancias son iguales, por lo tanto
\[ \sqrt{(4-0)^2 + (-9-y)^2} = \sqrt{(0-0)^2 + (-2-y)^2} \]Eleva al cuadrado ambos lados y simplifica:
\[ 16 + (-9-y)^2 = (-2-y)^2 \] \[ 16 + 81 + 18y + y^2 = 4 + y^2 + 4y \]Simplifica y resuelve para \(y\):
\[ y = -\dfrac{93}{14} \]El punto equidistante de los dos puntos dados es
\[ (0, -\dfrac{93}{14}) \]Definamos las distancias \(D_1, D_2\) y \(D_3\) como sigue
\[ D_1 = \text{distancia desde } (0,1) \text{ hasta } (2,3) \] \[ D_2 = \text{distancia desde } (0,1) \text{ hasta } (2,-1) \] \[ D_3 = \text{distancia desde } (2,3) \text{ hasta } (2,-1) \]Usamos la fórmula de distancia para encontrar las distancias anteriores.
\[ D_1 = \sqrt{(2-0)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} \] \[ D_2 = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} \] \[ D_3 = \sqrt{(2-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{0+16} = 4 \]Observa que dos lados del triángulo tienen longitudes iguales, por lo tanto, el triángulo es isósceles. Para que el triángulo sea rectángulo, \(D_3\), la mayor de las tres distancias, debe ser la longitud de la hipotenusa, y los tres lados deben satisfacer el teorema de Pitágoras. Encontremos la suma de los cuadrados de \(D_1\) y \(D_2\) y compárala con el cuadrado de \(D_3\).
\[ (D_1)^2 + (D_2)^2 = (\sqrt{8})^2 + (\sqrt{8})^2 = 8 + 8 = 16 \] \[ (D_3)^2 = 4^2 = 16 \]Podemos escribir
\[ (D_1)^2 + (D_2)^2 = (D_3)^2 \]Por lo tanto, \(D_1, D_2\) y \(D_3\) satisfacen el teorema de Pitágoras, y en consecuencia, el triángulo cuyos vértices son los tres puntos dados es un triángulo rectángulo e isósceles.
Sea \(D_1\) la distancia desde \((-2, 1)\) hasta \((1, 1)\), \(D_2\) la distancia desde \((-2, 1)\) hasta \((1, 2)\), y \(D_3\) la distancia desde \((1, 1)\) hasta \((1, 2)\). Usamos la fórmula de distancia para encontrar estas distancias.
\[ D_1 = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - 1)^2} = 3 \] \[ D_2 = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{10} \] \[ D_3 = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = 1 \]Si el triángulo definido por los tres vértices es un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado de mayor tamaño, que es \(D_2 = \sqrt{10}\). Ahora usamos el teorema de Pitágoras para comprobar que es un triángulo rectángulo con \(D_2\) como hipotenusa y \(D_1\) y \(D_3\) como los catetos del triángulo.
\[ (D_1)^2 + (D_3)^2 = 3^2 + 1^2 = 10 \] \[ (D_2)^2 = \left(\sqrt{10}\right)^2 = 10 \]De acuerdo con lo anterior, podemos escribir
\[ (D_1)^2 + (D_3)^2 = (D_2)^2 \]Por lo tanto, el triángulo definido por los puntos dados es un triángulo rectángulo, y el tamaño de su hipotenusa es \(\sqrt{10}\).
Aplicamos la fórmula de distancia.
\[ 5 = \sqrt{(-2 - x)^2 + (4 - y)^2} \]Elevamos al cuadrado ambos lados:
\[ 25 = (-2 - x)^2 + (4 - y)^2 \]La relación anterior entre \(x\) e \(y\) es la ecuación de un círculo. Como ejercicio, explica por qué.
Sea \(D_1\) la distancia desde \((x, y)\) hasta \((-3, 4)\) y encuéntrala.
\[ D_1 = \sqrt{(-3 - x)^2 + (4 - y)^2} \]Sea \(D_2\) la distancia desde \((x, y)\) hasta \((0, -3)\) y encuéntrala.
\[ D_2 = \sqrt{(0 - x)^2 + (-3 - y)^2} \]Las dos distancias son iguales, por lo tanto
\[ \sqrt{(-3 - x)^2 + (4 - y)^2} = \sqrt{(0 - x)^2 + (-3 - y)^2} \]Ahora elevamos al cuadrado ambos lados y simplificamos:
\[ (-3 - x)^2 + (4 - y)^2 = (0 - x)^2 + (-3 - y)^2 \] \[ 9 + x^2 + 6x + 16 - 8y + y^2 = x^2 + 9 + y^2 + 6y \] \[ 6x - 14y + 16 = 0 \]La relación anterior entre \(x\) e \(y\) es la ecuación de una recta, que es la mediatriz del segmento de recta definido por los puntos.
Usemos la fórmula de distancia para encontrar la longitud de la hipotenusa \(h\).
\[ h = \sqrt{(5-1)^2 + (1-1)^2} = 4 \]Ahora usamos la fórmula de distancia para encontrar las longitudes de los otros dos lados \(a\) y \(b\) del triángulo.
\[ a = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} \] \[ b = \sqrt{(x-5)^2 + (y-1)^2} \]El teorema de Pitágoras da
\[ 4^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2 + (x-5)^2 + (y-1)^2 \]Expande los cuadrados, simplifica y completa los cuadrados para reescribir la relación anterior entre \(x\) e \(y\) de la siguiente manera:
\[ (x-3)^2 + (y-1)^2 = 2^2 \]La relación anterior entre \(x\) e \(y\) es la ecuación de un círculo porque tiene la forma
\[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \]donde \((h,k)\) es el centro y \(r\) es el radio del círculo.