Problemas de Secuencias Geométricas con Soluciones

Las secuencias geométricas se utilizan en varias ramas de las matemáticas aplicadas, como ingeniería, ciencias, ciencias de la computación, biología, finanzas...
Problemas y ejercicios que involucran secuencias geométricas, junto con respuestas se presentan.

Repaso de Secuencias Geométricas

La secuencia que se muestra a continuación \[ 2 , 8 , 32 , 128 , ... \] se obtiene empezando desde \( 2 \) y multiplicando cada término por \( 4 \). \( 2 \) es el primer término de la secuencia y \( 4 \) es la razón común. \[ \begin{aligned} 8 &= 2 \times 4 \\ 32 &= 8 \times 4 \\ 128 &= 32 \times 4 \\ &\text{y así sucesivamente} \end{aligned} \]
Los términos de la secuencia también se pueden escribir de la siguiente manera \begin{align*} a_1 &= 2 \\ a_2 &= a_1 \times 4 = 2 \times 4 \\ a_3 &= a_2 \times 4 = 2 \times 4^2 \\ a_4 &= a_3 \times 4 = 2 \times 4^3 \end{align*}
El término \( n^{ésimo} \) ahora se puede escribir como \[ a_n = a_1 r^{n-1} \]
donde a₁ es el primer término de la secuencia y r es la razón común que es igual a 4 en el ejemplo anterior.
La suma de los primeros \( n \) términos de una secuencia geométrica está dada por \[ s_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... a_n = a_1 \dfrac{1 - r^n}{1-r} \] La suma \( S \) de una secuencia geométrica infinita ( \( n \) se aproxima al infinito) y cuando \( |r| \lt 1 \) está dada por

\[ S = \dfrac{a_1}{1-r} \]
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Problema 1

Encuentra los términos \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\) y \(a_5\) de una secuencia geométrica si \(a_1 = 10\) y la razón común \(r = -1\).

Solución al Problema 1:

Usa la definición de una secuencia geométrica \begin{align*} a_2 &= a_1 \times r = 10 \cdot (-1) = -10 \\ a_3 &= a_2 \times r = -10 \cdot (-1) = 10 \\ a_4 &= a_3 \times r = 10 \cdot (-1) = -10 \\ a_5 &= a_4 \times r = -10 \cdot (-1) = 10 \end{align*}

Problema 2

Encuentra el décimo término de una secuencia geométrica si \(a_1 = 45\) y la razón común \(r = 0{,}2\).

Solución al Problema 2:

Usa la fórmula \[ a_n = a_1 \times r^{\,n-1} \] que da el \(n\)ésimo término para encontrar \(a_{10}\) de la siguiente manera:
\[ a_{10} = 45 \times 0{,}2^{10-1} = 2{,}304 \times 10^{-5} \]

Problema 3

Encuentra \(a_{20}\) de una secuencia geométrica si los primeros términos de la secuencia están dados por \[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots \]

Solución al Problema 3:

Primero usamos los primeros términos para encontrar la razón común \(r\): \[ r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}, \\ r = \frac{a_3}{a_2} = \frac{-\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2} \] La razón común es \(r = -\frac{1}{2}\). Ahora usamos la fórmula \(a_n = a_1 r^{\,n-1}\) para el \(n\)ésimo término y encontramos \(a_{20}\) de la siguiente manera: \[ a_{20} = a_1 \times r^{20-1} = \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{19} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{20} = \frac{1}{2^{20}} \]

Problema 4

Dados los términos \(a_{10} = \frac{3}{512}\) y \(a_{15} = \frac{3}{16384}\) de una secuencia geométrica, encuentra el valor exacto del término \(a_{30}\) de la secuencia.

Solución al Problema 4:

Primero usamos la fórmula para el \(n\)ésimo término para escribir \(a_{10}\) y \(a_{15}\) de la siguiente manera:
\[ a_{10} = a_1 \times r^{10-1} = a_1 \; r^9 = \frac{3}{512} \] \[ a_{15} = a_1 \times r^{15-1} = a_1 \; r^{14} = \frac{3}{16384} \]
Ahora dividimos los términos \(a_{15}\) y \(a_{10}\) para escribir:
\[ \frac{a_{15}}{a_{10}} = \frac{a_1 r^{14}}{a_1 r^9} = \frac{3 / 16384}{3 / 512} \] Simplificamos las expresiones en la ecuación anterior para obtener: \[ r^5 = \frac{1}{32} \quad \text{lo que da} \quad r = \frac{1}{2} \] Ahora usamos \(a_{10}\) para encontrar \(a_1\) de la siguiente manera: \[ a_{10} = \frac{3}{512} = a_1 \left(\frac{1}{2}\right)^9 \] Resolvemos para \(a_1\) y obtenemos: \[ a_1 = 3 \] Ahora usamos la fórmula para el \(n\)ésimo término para encontrar \(a_{30}\) de la siguiente manera: \[ a_{30} = 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{29} = \frac{3}{536870912} \]

Problema 5

Encuentra la suma \[ S = \sum_{k=1}^{6} 3^{k - 1} \]

Solución al Problema 5:

Primero reescribimos la suma \(S\) de la siguiente manera: \[ S = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364 \] Otro método es notar que los términos que forman la suma son los de una secuencia geométrica con \(a_1 = 1\) y \(r = 3\). Usando la fórmula \[ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{con } n = 6 \] obtenemos: \[ S_6 = 1 \cdot \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = 364 \]

Problema 6

Encuentra la suma \[ S = \sum_{i=1}^{10} 8 \times \left(\frac{1}{4}\right)^{i - 1} \]

Solución al Problema 6:

Un examen de los términos incluidos en la suma es
\[ 8, \; 8 \times \left(\frac{1}{4}\right)^1, \; 8 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2, \; \dots, \; 8 \times \left(\frac{1}{4}\right)^9 \]
Estos son los términos de una secuencia geométrica con \(a_1 = 8\) y \(r = \frac{1}{4}\), y por lo tanto podemos usar la fórmula para la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia geométrica:
\[ S_{10} = a_1 \frac{1 - r^{10}}{1 - r} \]
\[ S_{10} = 8 \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{10}}{1 - \frac{1}{4}} \approx 10{,}67 \quad \text{(redondeado a 2 decimales)} \]

Problema 7

Escribe el número racional \(5{,}31313131\ldots\) como la razón de dos enteros.

Solución al Problema 7:

Primero escribimos el número racional dado como una suma infinita de la siguiente manera: \[ 5{,}313131\ldots = 5 + 0{,}31 + 0{,}0031 + 0{,}000031 + \ldots \] Los términos \(0{,}31 + 0{,}0031 + 0{,}000031 + \ldots\) son los de una secuencia geométrica con \(a_1 = 0{,}31\) y \(r = 0{,}01\). Por lo tanto, podemos usar la fórmula para la suma de una secuencia geométrica infinita: \[ S = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{0{,}31}{1 - 0{,}01} = \frac{0{,}31}{0{,}99} = \frac{31}{99} \] Ahora escribimos \(5{,}313131\ldots\) de la siguiente manera: \[ 5{,}313131\ldots = 5 + \frac{31}{99} = \frac{526}{99} \]

Ejercicios con Respuestas

Responde las siguientes preguntas relacionadas con secuencias geométricas:
a) Encuentra \(a_{20}\) dado que \(a_3 = \frac{1}{2}\) y \(a_5 = 8\)
b) Encuentra \(a_{30}\) dado que los primeros términos de una secuencia geométrica están dados por \(-2, 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \ldots\)
c) Encuentra \(r\) dado que \(a_1 = 10\) y \(a_{20} = 10^{-18}\)
d) Escribe el número racional \(0{,}9717171\ldots\) como una razón de dos enteros positivos.

Respuestas

a) \(a_{20} = 2^{18}\)
b) \(a_{30} = \frac{1}{2^{28}}\)
c) \(r = 0{,}1\)
d) \(0{,}9717171\ldots = \frac{481}{495}\)