Problemas de Funciones Lineales con Soluciones

Las funciones lineales son ampliamente utilizadas en matemáticas y, por lo tanto, es importante comprenderlas.
Se presenta un conjunto de problemas que involucran funciones lineales, junto con soluciones detalladas. Los problemas están diseñados con énfasis en el significado de la pendiente y la intersección con el eje y.

Problema 1:

Solución al Problema 1:

Sustituye los dos pares ordenados en la función \( f(x) = ax + b \) para escribir un sistema de ecuaciones lineales de la siguiente manera: \[ 17 = -3a + b \quad \text{y} \quad -18 = 4a + b \] Resuelve el sistema anterior para obtener \(a = -5\) y \(b = 2\), y escribe la fórmula para la función \(f\) de la siguiente manera: \[ f(x) = -5x + 2 \] Ahora usamos la fórmula para \(f\) para encontrar \(f(x)\) dado \(x\), o para encontrar \(x\) dado \(f(x)\). Para \(x = 0\): \[ f(0) = -5(0) + 2 = 2 \] Para \(f(x) = 1\): \[ 1 = -5x + 2 \quad \Rightarrow \quad x = \tfrac{1}{5} \] Para \(x = 7\): \[ f(7) = -5(7) + 2 = -33 \] Para \(f(x) = -30\): \[ -30 = -5x + 2 \quad \Rightarrow \quad x = \tfrac{32}{5} \] Ahora colocamos los valores calculados anteriormente en la tabla. \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & f(x) \\ \hline -3 & 17 \\ \hline 0 & \color{red}{2} \\ \hline \color{red}{\dfrac{1}{5}} & 1 \\ \hline 4 & -18 \\ \hline 7 & \color{red}{-33} \\ \hline \color{red}{\dfrac{32}{5}} & -30 \\ \hline \end{array} \]

Problema 2:

1. Grafica \(f\) para \(m = 0, 1, 2, -3\) y \(-5\).
2. ¿Qué tienen en común todas las gráficas del inciso a)?
3. Justifica analíticamente tu respuesta al inciso b).
4. Escribe la ecuación de la familia de funciones cuyas gráficas pasan por el mismo punto \((-2, -4)\).

Solución al Problema 2:

1. 
2. Todas las gráficas pasan por el mismo punto \((2, 3)\).
3. Para demostrar que todas las rectas descritas por la ecuación \[ f(x) = mx + (3 - 2m) \] pasan por el punto \((2, 3)\), muestra que \(f(2) = 3\): \[ f(2) = 2m + (3 - 2m) = 3 \]
4. Usando la forma punto-pendiente de una recta para encontrar la ecuación de la familia de rectas que pasan por \((-2, -4)\): \[ y - (-4) = m (x - (-2)) \] \[ y = mx + (2m - 4) \] Como ejercicio, usa un graficador en línea para graficar la ecuación anterior para diferentes valores de \(m\) y verifica que todas las rectas pasan por el punto \((-2, -4)\).

Problema 3:

1. ¿Cuántos estudiantes estaban inscritos en la escuela en 2010?
2. Encuentra una función lineal que relacione la población estudiantil con el tiempo \( t \).

Solución al Problema 3:

1. La información dada se puede escribir como pares ordenados \((t, P)\) donde \(t \) es el tiempo y \( P \) es la población.

   El año 2003 corresponde a \(t = 0\) y el año 2006 corresponde a \(t = 3\), por lo tanto, los dos pares ordenados: \[ (0, 1200) \quad \text{y} \quad (3, 1500) \] Dado que la población crece linealmente con el tiempo \(t\), usamos los dos pares ordenados para encontrar la pendiente \(m\) de la gráfica de \(P\) de la siguiente manera: \[ m = \frac{1500 - 1200}{3 - 0} = 100 \text{ estudiantes/año} \] La pendiente \(m = 100\) significa que la población estudiantil crece en 100 estudiantes cada año. De 2003 a 2010 hay 7 años, y la población estudiantil en 2010 será: \[ P(2010) = P(2003) + 7 \cdot 100 = 1200 + 700 = 1900 \text{ estudiantes} \]

2. Conocemos la pendiente y un punto, por lo que podemos usar la forma punto-pendiente para encontrar una ecuación para la población \(P\) en función de \(t\) de la siguiente manera: \[ P - P_1 = m (t - t_1) \] \[ P - 1200 = 100 (t - 0) \] \[ P = 100 t + 1200 \]

Problema 4:

1. Encuentra la pendiente e interprétala.
2. ¿Cuál será el valor del automóvil en el año 2010?

Solución al Problema 4:

1. Encuentra dos puntos de la gráfica: \((0, 16000)\) y \((7, 7600)\) Usa los puntos anteriores para encontrar la pendiente \(m\): \[ m = \frac{7600 - 16000}{7 - 0} = -1200 \, \$/\text{año} \] Una pendiente de \(-1200 \, \$/\text{año}\) significa que el valor del automóvil disminuye en \$1200 cada año.
2. En 2010, \(t = 10\). Hay 3 años desde \(t = 7\) hasta \(t = 10\). El valor del automóvil estará dado por: \[ 7600 - 3 \cdot 1200 = 4000 \, \$ \]

Problema 5:

1. ¿Cuál es el costo de 100 herramientas?
2. ¿Cuál es el costo de 101 herramientas?
3. Encuentra la diferencia entre el costo de 101 y 100 herramientas.
4. Encuentra la pendiente de la gráfica de C.
5. Interpreta la pendiente.

Solución al Problema 5:

1. \(C(100) = 1200 \times 100 + 5500 = 125500\)
2. \(C(101) = 1200 \times 101 + 5500 = 126700\)
3. \(C(101) - C(100) = 1200\)
4. La pendiente \(m\) está dada por \[ m = \frac{1200}{1 \text{ herramienta}} \]
5. La pendiente es el incremento en el costo total \(C\) cuando el número de herramientas producidas aumenta en 1 unidad.

Problema 6:

1. Escribe una función lineal \( V(t) \) para el número de litros en el tanque después de \( t \) minutos (suponiendo que el drenaje comenzó en \( t = 0 \)).
2. Encuentra las intersecciones con el eje \( V \) y con el eje \( t \) e interprétalas.
3. ¿Cuántos litros hay en el tanque después de 11 minutos y 45 segundos?

Solución al Problema 6:

1. Después de cada minuto, la cantidad de aceite en el tanque disminuye en 20 litros. Después de \(t\) minutos, la cantidad de aceite disminuye en \(20 \cdot t\) litros. Por lo tanto, si al principio hay 500 litros, después de \(t\) minutos, la cantidad \(V\) de aceite que queda en el tanque está dada por \[ V = 500 - 20 t \]
2. Para encontrar la intersección con el eje \(V\), establece \(t = 0\) en la ecuación \(V = 500 - 20 t\): \[ V = 500 \text{ litros} \] Es la cantidad de aceite al inicio del drenaje.

   Para encontrar la intersección con el eje \(t\), establece \(V = 0\) en la ecuación \(V = 500 - 20 t\) y resuelve para \(t\): \[ 0 = 500 - 20 t \] \[ t = \frac{500}{20} = 25 \text{ minutos} \] Es el tiempo total que se tarda en drenar los 500 litros de aceite.

3. Convierte 11 minutos 45 segundos a forma decimal: \[ t = 11 \text{ minutos } 45 \text{ segundos } = 11.75 \text{ minutos} \] Calcula \(V\) en \(t = 11.75\) minutos: \[ V(11.75) = 500 - 20 \cdot 11.75 = 265 \text{ litros} \] Por lo tanto, hay 265 litros en el tanque después de 11 minutos y 45 segundos de drenaje.

Problema 7:

1. Escribe el perímetro exterior \( P \) en términos de \( x \).
2. Encuentra la pendiente de la gráfica de P.
3. ¿Cuál es el significado de la pendiente encontrada en b)?

Solución al Problema 7:

1. El perímetro \( P \) está dado por \[ P = 2 \times \text{longitudes} + 2 \times \text{anchuras} = 2(70 + 2x) + 2(50 + 2x) = 8 x + 240 \]
2. La pendiente de \( P \) es igual a \( 8 \).
3. Siempre que \( x \) aumenta en \( 1 \) metro, el perímetro exterior aumenta en \( 8 \) metros.

Problema 8:

1. escribe una función lineal que relacione el número de galones \( G \) que quedan en el tanque después de un viaje de \( x \) millas.
2. ¿Cuál es el valor y el significado de la pendiente de la gráfica de \( G \)?
3. ¿Cuál es el valor y el significado de la intersección con el eje \( x \)?

Solución al Problema 8:

1. Si se queman 5 galones por cada 100 millas, entonces \(\frac{5}{100}\) galones se queman por cada milla.

   Por lo tanto, para \(x\) millas, se queman \(x \cdot \frac{5}{100}\) galones. \(G\) es entonces igual a la cantidad inicial de gasolina (25 galones) menos la cantidad de gasolina quemada por el automóvil. Por lo tanto \[ G = 25 - \frac{5}{100} x \]

2. La pendiente de \(G\) es igual a \(\frac{5}{100}\) y representa la cantidad de gasolina quemada por una distancia de 1 milla.
3. Para encontrar la intersección con el eje \(x\), establecemos \(G = 0\) y resolvemos para \(x\): \[ 25 - \frac{5}{100} x = 0 \] \[ x = 500 \text{ millas} \quad \text{(la distancia para la cual se quemarán los 25 galones de gasolina)} \]

Problema 9:

1. ¿cuál es la longitud en el tiempo \( t \)?
2. Escribe una fórmula para el área \( A \) del rectángulo en términos de \( t \).
3. Escribe una fórmula para el perímetro \( P \) del rectángulo en términos de \( t \).
4. A medida que \( x \) aumenta, ¿cuál aumenta más rápido, el perímetro o el área?

Solución al Problema 9:

1. Longitud \(x\) en \(t\): \[ x = 10 + 0.5\,t, \quad t \text{ en segundos} \]
2. El área \(A\) está dada por: \[ A = \text{ancho} \times \text{longitud} = 4(10 + 0.5\,t) = 2t + 40 \ \text{cm}^2 \]
3. El perímetro \(P\) está dado por: \[ P = 2 \times \text{anchos} + 2 \times \text{longitudes} = 2 \cdot 4 + 2(10 + 0.5\,t) = t + 28 \ \text{cm} \]
4. El área aumenta más rápido ya que su pendiente (igual a 2) es mayor que la del perímetro (igual a 1).