Resuelve un conjunto de diversos problemas matemáticos, incluyendo círculos, rectángulos, cuadrados, triángulos rectángulos y cálculos de beneficio. Se proporcionan soluciones paso a paso con explicaciones detalladas para ayudarte a comprender y dominar cada problema.
La circunferencia de un círculo es igual a \( 72 \pi \). Encuentra el radio de este círculo.
La circunferencia de un círculo está dada por \[ C = 2 \pi r, \] donde \( r \) es el radio. Sustituyendo \( C = 72 \pi \) se obtiene \[ 72 \pi = 2 \pi r. \] Resolviendo para \( r \) se obtiene \[ r = 36. \]
El largo de un jardín rectangular es 2 pies más que 3 veces su ancho. Si el perímetro del jardín es 100 pies, encuentra el ancho y el largo.
Sean \( L \) y \( W \) el largo y el ancho del jardín. Entonces \[ L = 3 W + 2, \quad P = 2L + 2W. \] Sustituyendo \( P = 100 \) y \( L = 3W + 2 \) se obtiene \[ 100 = 2(3W + 2) + 2W \implies 100 = 8W + 4. \] Resolviendo para \( W \) se obtiene \[ W = 12, \quad L = 3(12) + 2 = 38. \]
Un campo rectangular tiene un largo 10 pies más que su ancho. Si el área del campo es 264, ¿cuáles son las dimensiones?
Sean \( x \) y \( y \) el largo y el ancho. Entonces \[ x = y + 10, \quad A = xy = 264. \] Sustituyendo se obtiene \[ 264 = (y + 10)y \implies y^2 + 10y - 264 = 0. \] Resolviendo se obtiene \[ y = 12 \quad (\text{se rechaza la solución negativa}), \quad x = y + 10 = 22. \]
Los ingresos de una empresa son \( x^2 + 100x \) dólares y los costos son \( 240x + 500 \) dólares. ¿Cuántas unidades deben venderse para obtener un beneficio de 10,000 dólares?
Fórmula del beneficio: \[ P = \text{Ingresos} - \text{Costos} = (x^2 + 100x) - (240x + 500) = x^2 - 140x - 500. \] Establecer \( P = 10000 \): \[ 10000 = x^2 - 140x - 500 \implies x^2 - 140x - 10500 = 0. \] Resolviendo se obtiene \[ x = 194 \quad (\text{solo la solución positiva}). \]
Un cuadrado tiene un lado 5 cm más corto que un segundo cuadrado. El área del cuadrado más grande es cuatro veces el área del cuadrado más pequeño. Encuentra el lado de cada cuadrado.
Sean \( x \) y \( y \) los lados de los cuadrados más pequeño y más grande: \[ x = y - 5, \quad y^2 = 4x^2 = 4(y - 5)^2. \] Simplificando: \[ y^2 - 4(y - 5)^2 = 0 \implies (y - 10)(y - 10/3) = 0. \] Aceptando la solución positiva: \[ y = 10, \quad x = y - 5 = 5. \]
Encuentra dos números cuya suma es 26 y cuyo producto es 165.
Sean los números \( a \) y \( b \): \[ a + b = 26, \quad ab = 165 \implies b = 26 - a. \] Sustituyendo: \[ a(26 - a) = 165 \implies a^2 - 26a + 165 = 0. \] Resolviendo: \[ a = 11, b = 15 \quad \text{o} \quad a = 15, b = 11. \]
El área de un rectángulo es 15 y el perímetro es 16. Encuentra sus dimensiones.
Sean \( x \) y \( y \) los lados: \[ xy = 15, \quad 2x + 2y = 16 \implies x + y = 8. \] Resolviendo para \( x = 8 - y \), sustituyendo: \[ (8 - y)y = 15 \implies y^2 - 8y + 15 = 0. \] Soluciones: \[ y = 3, x = 5 \quad \text{o} \quad y = 5, x = 3. \]
La suma de dos números es 20. El número mayor es cuatro menos que el doble del número menor. Encuentra los números.
Sean \( x \) y \( y \) los números mayor y menor: \[ x = 2y - 4, \quad x + y = 20. \] Sustituyendo: \[ 2y - 4 + y = 20 \implies 3y = 24 \implies y = 8, \quad x = 12. \]
La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el lado más largo. El lado más corto es 7 cm menos que el lado más largo. Encuentra la hipotenusa.
Sea \( h \) la hipotenusa, \( a \) el lado más largo, \( b \) el lado más corto: \[ h = a + 2, \quad b = a - 7. \] Pitágoras: \[ h^2 = a^2 + b^2 \implies (a + 2)^2 = a^2 + (a - 7)^2. \] Simplificando: \[ a^2 + 4a + 4 = a^2 + a^2 - 14a + 49 \implies a^2 - 18a + 45 = 0. \] Resolviendo para \( a \) y luego \( h = a + 2 = 17 \) cm.