Problemas de mezclas y sus soluciones se presentan junto con sus resoluciones. Los porcentajes también se utilizan para resolver este tipo de problemas.
¿Cuántos litros de una solución de alcohol al \( 20\% \) se deben agregar a 40 litros de una solución de alcohol al \( 50\% \) para obtener una solución al \( 30\% \)?
Sea \( x \) el número de litros de la solución de alcohol al 20% que se agregarán.
Sea \( y \) la cantidad total de la solución resultante al 30%. Dado que estamos agregando \( x \) litros a 40 litros, tenemos: \[ x + 40 = y \]
Expresamos la cantidad total de alcohol antes y después de la mezcla. El alcohol en la solución al 20% es \( 0.20x \), y en la solución al 50% es \( 0.50 \times 40 \). El alcohol total en la mezcla final es \( 0.30y \). Entonces: \[ 0.20x + 0.50 \times 40 = 0.30y \]
Sustituimos \( y = x + 40 \) en la ecuación: \[ 0.20x + 0.50 \times 40 = 0.30(x + 40) \]
Simplificamos: \[ 0.20x + 20 = 0.30x + 12 \]
Llevamos todos los términos a un lado: \[ 0.20x - 0.30x + 20 - 12 = 0 \] \[ -0.10x + 8 = 0 \] \[ x = 80 \]
Se deben agregar 80 litros de solución de alcohol al 20% a 40 litros de una solución de alcohol al 50% para obtener una solución de alcohol al 30%.
John quiere hacer 100 ml de una solución de alcohol al 5% mezclando una cantidad de una solución de alcohol al 2% con una solución de alcohol al 7%. ¿Qué cantidades de cada una de las dos soluciones (2% y 7%) debe usar?
Sean \( x \) y \( y \) las cantidades (en ml) de las soluciones de alcohol al 2% y al 7%, respectivamente. Entonces: \[ x + y = 100 \tag{1} \]
La cantidad de alcohol en \( x \) ml de solución al 2% es \( 0.02x \), y la cantidad en \( y \) ml de solución al 7% es \( 0.07y \). La cantidad total de alcohol en la mezcla final es: \[ 0.02x + 0.07y = 0.05 \times 100 = 5 \tag{2} \]
De la ecuación (1), despejamos \( y \): \[ y = 100 - x \]
Sustituimos en la ecuación (2): \[ 0.02x + 0.07(100 - x) = 5 \] \[ 0.02x + 7 - 0.07x = 5 \] \[ -0.05x + 7 = 5 \] \[ -0.05x = -2 \] \[ x = 40 \]
Ahora sustituimos \( x = 40 \) en la ecuación (1) para encontrar \( y \): \[ y = 100 - 40 = 60 \]
John debe mezclar 40 ml de la solución al 2% con 60 ml de la solución al 7% para obtener 100 ml de una solución de alcohol al 5%.
La plata esterlina es 92.5% de plata pura. ¿Cuántos gramos de plata esterlina se deben mezclar con una aleación de plata al 90% para obtener 500 g de una aleación de plata al 91%?
Sea \( x \) el peso (en gramos) de plata esterlina (92.5%), y \( y \) el peso (en gramos) de la aleación de plata al 90%. Queremos mezclarlos para obtener 500 gramos de una aleación de plata al 91%.
Entonces, la ecuación de masa total es: \[ x + y = 500 \]
La ecuación del contenido de plata pura es: \[ 0.925x + 0.90y = 0.91 \times 500 \]
Sustituimos \( y = 500 - x \) en la ecuación: \[ 0.925x + 0.90(500 - x) = 455 \]
Ahora simplificamos: \[ 0.925x + 450 - 0.90x = 455 \] \[ (0.925 - 0.90)x + 450 = 455 \] \[ 0.025x = 5 \] \[ x = 200 \]
Se necesitan \( 200 \) gramos de plata esterlina para hacer la aleación de plata al 91%.
¿Cuántos kilogramos de agua pura se deben agregar a 100 kilogramos de una solución salina al 30% para obtener una solución salina al 10%?
Sea \( x \) la cantidad de agua pura (en kilogramos) que se agregará. Sea \( y \) el peso final de la solución salina al 10%.
Entonces, \[ x + 100 = y \]
El contenido de sal en el agua pura es 0. El contenido de sal en la solución original al 30% es: \[ 0.30 \times 100 = 30 \text{ kg de sal} \]
La solución final es una solución salina al 10%, por lo que la cantidad total de sal también es: \[ 0.10 \times y \]
Igualamos la cantidad de sal: \[ 30 = 0.10 \times y \]
Sustituimos \( y = x + 100 \) en la ecuación: \[ 30 = 0.10(x + 100) \]
Multiplicamos ambos lados por 10 para eliminar el decimal: \[ 300 = x + 100 \]
Resolvemos para \( x \): \[ x = 200 \]
Se deben agregar \( 200 \text{ kilogramos} \) de agua pura.
Una loción para después del afeitado de 50 ml con 30% de alcohol se mezcla con 30 ml de agua pura. ¿Cuál es el porcentaje de alcohol en la nueva solución?
El volumen total de la mezcla final es: \[ 50\ \text{ml} + 30\ \text{ml} = 80\ \text{ml} \]
La cantidad de alcohol en el agua pura es 0 ml. La cantidad de alcohol en la loción para después del afeitado es: \[ 30\% \text{ de } 50\ \text{ml} = 0.30 \times 50 = 15\ \text{ml} \]
Sea \( x \) el porcentaje de alcohol en la solución final. Entonces: \[ x \times 80 = 15 \]
Resolviendo para \( x \): \[ x = \frac{15}{80} = 0.1875 = 18.75\% \]
El porcentaje de alcohol en la nueva solución es 18.75%.
Agregas \( x \) ml de una solución de alcohol al 25% a 200 ml de una solución de alcohol al 10% para obtener otra solución.
a) Encuentra la cantidad de alcohol en la solución final en términos de \( x \).
b) Encuentra la razón, en términos de \( x \), del alcohol en la solución final con respecto a la cantidad total de la solución.
c) ¿Qué crees que sucederá si \( x \) es muy grande?
d) Encuentra \( x \) para que la solución final tenga un porcentaje del 15%.
a) La cantidad de alcohol en los 200 ml de solución al 10% es: \[ 200 \times 0.10 = 20 \text{ ml} \]
La cantidad de alcohol en \( x \) ml de solución al 25% es: \[ 0.25x \text{ ml} \]
La cantidad total de alcohol en la solución final es: \[ 20 + 0.25x \]
b) El volumen total de la solución es: \[ x + 200 \]
La razón del alcohol en la solución final con respecto a la cantidad total de la solución es: \[ r = \frac{20 + 0.25x}{x + 200} \]
c) A medida que \( x \) se vuelve muy grande, la expresión \[ r = \frac{20 + 0.25x}{x + 200} \] se aproxima a 0.25 o 25%. Esto se debe a que la solución al 25% domina, y la solución se comporta como una solución de alcohol al 25% (la asíntota horizontal de la función racional es 0.25).
d) Para encontrar \( x \) tal que la solución final tenga un 15% de alcohol, establecemos: \[ \frac{20 + 0.25x}{x + 200} = 0.15 \]
Resolvemos la ecuación: \[ 20 + 0.25x = 0.15(x + 200) \] \[ 20 + 0.25x = 0.15x + 30 \] \[ 0.25x - 0.15x = 30 - 20 \] \[ 0.10x = 10 \] \[ x = 100 \]
Se necesitan \( x = 100 \) ml para que la solución final tenga un porcentaje del 15%.