Resolución de Problemas Matemáticos: Numérica, Gráfica y Analítica (1)

El problema de maximizar el área de un jardín rectangular se examina utilizando tres enfoques: numérico, gráfico y analítico. También se presenta una discusión para comparar los tres métodos.

Problema: Un agricultor necesita \( 150 \) metros de cerca para cercar tres jardines adyacentes.

1. ¿Cuál es la relación entre \( x \) e \( y \)?
2. Escribe el área total \( A \) de los tres jardines en función de \( x \).
3. Encuentra el dominio de la función \( A(x) \).
4. Completa la tabla de valores que se muestra a continuación calculando el área \( A \) para los valores dados de \(x\). \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & A(x) \\ \hline 0 & \; \\ \hline 5 & \; \\ \hline 10 & \; \\ \hline 15 & \; \\ \hline 20 & \; \\ \hline 25 & \; \\ \hline \end{array} \]
5. Utiliza la tabla completada en la parte d) para aproximar el valor de \( x \) para el cual \( A(x) \) es máximo. Es posible que necesites generar más valores.
6. Grafica \( A \) y aproxima, a partir del gráfico obtenido, el valor de \( x \) para el cual \(A(x) \) es máximo.
7. Encuentra el vértice de la gráfica de \( A \) analíticamente y úsalo para hallar el valor exacto de \( x \) para el cual \( A(x) \) es máximo.
8. Compara los valores de \( x \) para los cuales \( A(x) \) es máximo encontrados en la parte e) numéricamente, f) gráficamente y en la parte h) analíticamente.
9. Compara los tres métodos.

Solución al Problema :

1. Escribe la fórmula para el perímetro. \[ 150 = 6 x + 4 y \]
2. El área total está dada por \[ A = 3 x y \] Despejamos \( y \) de \( 150 = 6 x + 4 y \). \[ y = \dfrac{75 - 3 x}{2} \] Sustituimos \( y \) por \( \dfrac{75 - 3 x}{2} \) en la fórmula del área para obtener. \[ A(x) = 3 x (75 - 3 x) / 2 \]
3. Para determinar el dominio de \(A\) necesitamos que \(x\), que es una longitud, sea positiva y que el área también sea positiva. Por lo tanto, las dos condiciones son \[ x \gt 0 \text{ y } (75 - 3 x) \gt 0 \] Resolviendo las desigualdades anteriores obtenemos el dominio como el intervalo \[ (0 , 25) \]
4. Utiliza los valores de \(x\) en la fórmula del área \( A(x) \) y completa la tabla. \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & A(x) \\ \hline 0 & 0 \\ \hline 5 & 450 \\ \hline 10 & 675 \\ \hline 15 & 675 \\ \hline 20 & 450 \\ \hline 25 & 0 \\ \hline \end{array} \]
5. Examinando la tabla anterior, parece que el máximo está en algún punto entre \( 10 \) y \( 15 \). Encontremos algunos valores más de \( A(x) \) para \( x \) entre \( 10 \) y \( 15 \). \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & A(x) \\ \hline 10 & 675 \\ \hline 11 & 693 \\ \hline 12 & 702 \\ \hline 13 & 702 \\ \hline 14 & 693 \\ \hline 15 & 675 \\ \hline \end{array} \] Los valores anteriores sugieren que el valor de \( x \) que maximiza \( A(x) \) está en algún punto entre \( 12 \) y \( 13 \) y puede aproximarse como \( 12.5 \).
6. La gráfica de \( A(x) \) se muestra a continuación. . A partir de la gráfica, parece que el valor de \( x \) que maximiza \(A\) está en algún punto entre \( 10 \) y \(15 \). Se puede aproximar como \( 12.5 \).
7. \( A(x) \) es una función cuadrática que puede escribirse como \[ A(x) = -(9 / 2) x^2 + (225 / 2) x \] Para una función cuadrática de la forma \( a x^2 + bx + c \), el vértice \( (h , k) \) de su gráfica está dado por \[ h = \dfrac{- b }{2 a} \] Aplicado a \( A(x) \), \( h \) está dado por \[ h = - \dfrac{225/2}{2(-9/2)} = 12.5 \] Dado que el coeficiente principal de \( A(x) \) es negativo, el vértice es un punto máximo y, por lo tanto, el valor exacto de \( x \) que maximiza \(A\) es igual a \( h = 12.5 \)
8. Los métodos numérico y gráfico dieron solo aproximaciones al valor de \(x\) que maximiza \(A\): alrededor de 12.5; sin embargo, el método analítico dio el valor exacto de 12.5.
9. 1. Usando una computadora, los métodos numérico y gráfico pueden emplearse fácilmente para obtener una respuesta al problema. Sin embargo, el método analítico requiere algo de trabajo analítico.
   2. Existen muchos problemas que no pueden resolverse analíticamente. Sin embargo, los métodos numérico y gráfico tienen un uso más amplio en la resolución de problemas.
   3. Muchos de los métodos analíticos proporcionan la respuesta exacta, mientras que los métodos numérico y gráfico dan respuestas aproximadas. El uso de computadoras y calculadoras ha hecho posible obtener respuestas con alta precisión.