Problema de Intersección entre Parábola y Línea – Ecuaciones, Vértice y Desigualdades (1)

En este problema de álgebra, exploramos la intersección de una parábola y una línea utilizando sus gráficas. Problemas como este son comunes en Álgebra y Precálculo, ya que combinan conceptos de funciones cuadráticas, funciones lineales y desigualdades.

Problema:


Las gráficas de una parábola dada por \( y = f(x) \) y la de una línea dada por \( y = g(x) \) se muestran a continuación. La parábola y la línea se intersecan en los puntos \( A \) y \( D \); donde \( A \) está en el eje x y tiene una coordenada x igual a \( 2 \). El punto \( V \) es el vértice de la parábola. parábola y línea..
  1. Encuentra la ecuación de \( g \) y escríbela en la forma \( g(x) = m x + b \)
  2. Encuentra la ecuación de la parábola.
  3. Encuentra la coordenada \( x \) del punto \( D \).
  4. Usa la gráfica para resolver la desigualdad \( f(x) \gt g(x) \).

Solución al Problema 1:

  1. \( y = g(x) \) es la ecuación de una línea que pasa por los puntos \( C(-3,-5) \) y \( A(2,0) \).

    la pendiente es \[ (0-(-5)) / (2 -(-3)) = 1 \]

    ecuación de la línea: \[ y - 0 = 1(x - 2) \] , la cual puede escribirse como: \[ y = x - 2 \]

    por lo tanto \[ g(x) = x - 2 \]

  2. El vértice de la parábola es conocido \( V(4,-4) \). La ecuación de la parábola en forma de vértice está dada por \[ y = a(x - 4)^2 - 4 \] El punto \( A(2,0) \) está en la parábola, por lo tanto: \[ 0 = a(0 - 4)^2 - 4 \] resuelve la ecuación anterior para \( a \) y encuentra \[ a = 1 \] por lo tanto, la ecuación de la parábola es: \[ y = (x - 4)^2 - 4 \]
  3. La coordenada \( x \) del punto \( D \) se determina resolviendo la ecuación \[ (x - 4)^2 - 4 = x - 2 \] Resuelve la ecuación anterior para obtener las soluciones \( x = 2 \) y \( x = 7 \).

    \( x = 2 \) ya es conocido, es la coordenada \( x \) del punto \( A \).

    \( x = 7 \) es la coordenada \( x \) del punto \( D \).

  4. Desde el lado izquierdo de la gráfica hasta el punto A, \( f(x) > g(x) \) y por lo tanto el intervalo \( (-\infty , 2) \) es un conjunto de soluciones. También desde el punto \( D \) hacia el lado derecho de la gráfica \( f(x) \gt g(x) \) y por lo tanto otro conjunto de soluciones está dado por el intervalo \( (7 , + \infty) \).

    El conjunto solución de la desigualdad \( f(x) > g(x) \) es: \[ (- \infty , 2) \cup (7 , + \infty) \]

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