Problemas de Movimiento Parabólico con Soluciones Paso a Paso para Estudiantes
Aprende a resolver problemas de movimiento parabólico en física con soluciones paso a paso. Este tutorial cubre altura, tiempo, altura máxima y el momento en que un objeto toca el suelo. Perfecto para estudiantes de secundaria y universidad que practican problemas de física y matemáticas.
Repaso de las Ecuaciones del Movimiento Parabólico
Si se ignora la resistencia del aire, la altura \( h \) de un proyectil sobre el suelo después de \( t \) segundos está dada por
\[ h(t) = -\tfrac{1}{2} g t^{2} + V_{0} t + h_{0} \]donde \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (aproximadamente \( 32 \,\text{ft/s}^{2} \) en la Tierra), \( V_{0} \) es la velocidad inicial en \( t = 0 \), y \( h_{0} \) es la altura inicial en \( t = 0 \).
Para un objeto que se deja caer (velocidad inicial cero), la distancia recorrida es
\[ h(t) = \tfrac{1}{2} g t^2 \]Para una función cuadrática de la forma
\[ h(t) = a t^2 + b t + c \]con un coeficiente \( a \) negativo, la altura máxima ocurre en \[ t = - \dfrac{b}{2 a} \] que corresponde al vértice de la parábola que representa \( h(t) \).
Problema 1 - Proyectil desde un Edificio
La fórmula \[ h (t) = -16 t^2 + 32 t + 80 \] da la altura h sobre el suelo, en pies, de un objeto lanzado, en \( t = 0 \), verticalmente hacia arriba desde la parte superior de un edificio de \( 80 \) pies.
- ¿Cuál es el punto más alto alcanzado por el objeto?
- ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en alcanzar su punto más alto?
- ¿Después de cuántos segundos el objeto toca el suelo?
- ¿Durante cuántos segundos la altura del objeto es superior a 90 pies?
- La altura \( h \) dada arriba es una función cuadrática. La gráfica de \( h \) en función del tiempo \( t \) tiene forma parabólica, y la altura máxima \( h \) ocurre en el vértice de la parábola. Para una función cuadrática de la forma \[ h = a t^{2} + b t + c, \] el vértice se ubica en \[ t = \frac{-b}{2a}. \] Por lo tanto, para \( h \) dada arriba, el vértice está en \[ t = \frac{-32}{2(-16)} = 1 \ \text{segundo}. \] Un segundo después de que el objeto fue lanzado, alcanza su punto más alto (valor máximo de \( h \)), que está dado por \[ h = -16(1)^{2} + 32(1) + 80 = 96 \ \text{pies}.
- Tarda \(1\) segundo en alcanzar su punto más alto.
- En el suelo, \( h = 0 \). Por lo tanto, la solución de la ecuación \( h = 0 \) da el tiempo \( t \) en que el objeto toca el suelo:
\[
-16t^{2} + 32t + 80 = 0.
\]
La ecuación cuadrática anterior tiene dos soluciones: una negativa y otra positiva (aproximadamente igual a \( 3.5 \) segundos).
Entonces, tarda \( 3.5 \) segundos para que el objeto toque el suelo después de haber sido lanzado hacia arriba.
Los significados gráficos de las respuestas a los incisos a, b y c se muestran a continuación.
- El objeto está a más de \( 90 \) pies de altura para todos los valores de \( t \) que satisfacen la desigualdad \( h > 90 \):
\[
-16t^{2} + 32t + 80 > 90.
\]
La desigualdad anterior se satisface para
\[
0.4 \lt t \lt 1.6 \quad \text{(segundos)}.
\]
La altura del objeto es superior a \( 90 \) pies durante
\[
1.6 - 0.4 = 1.2 \ \text{segundos}.
\]
La gráfica a continuación muestra \( h \) en función de \( t \) e indica claramente que \( h > 90 \) para \( 0.4 \lt t \lt 1.6 \).
Problema 2 - Roca Dejada Caer en un Pozo
Se deja caer una roca en un pozo y la distancia recorrida es \[ d = 16t^{2} \quad \text{(en pies),} \] donde \(t\) es el tiempo en segundos. Si el sonido del agua se escucha \(3\) segundos después de que la roca fue dejada caer, y la velocidad del sonido es \(1100 \ \text{ft/sec},\) aproxima la altura del pozo.
Sea \(T_{1}\) el tiempo que tarda la roca en llegar al fondo del pozo. Si \(H\) es la altura del pozo, entonces \[ H = 16 T_{1}^{2}. \] Sea \(T_{2}\) el tiempo que tarda la onda sonora en llegar a la parte superior del pozo. Entonces \[ H = 1100 T_{2}. \] La relación entre \(T_{1}\) y \(T_{2}\) es \[ T_{1} + T_{2} = 3. \] Eliminamos \(H\) \[ 16 T_{1}^{2} = 1100 T_{2}. \] Sustituimos \(T_{2} = 3 - T_{1}\): \[ 16 T_{1}^{2} = 1100 (3 - T_{1}). \] Formamos la ecuación cuadrática \[ 16 T_{1}^{2} + 1100 T_{1} - 3300 = 0. \] Resolvemos para \(T_{1}\) La cuadrática tiene dos soluciones, pero solo una es positiva: \[ T_{1} \approx 2.88 \ \text{segundos}. \] Calculamos la altura del pozo \[ H = 16 T_{1}^{2} = 16 (2.88)^{2} \approx 132.7 \ \text{pies}. \]
Problema 3 - Objeto Lanzado desde un Edificio
Desde la parte superior de un edificio, se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad inicial de \(64 \, \text{ft/sec}\). Toca el suelo \(5 \, \text{segundos}\) más tarde. ¿Cuál es la altura del edificio?
La fórmula para la altura \( h \) de un proyectil lanzado hacia arriba está dada por \[ h(t) = -\tfrac{1}{2} g t^{2} + V_{0} t + H_{0} \] donde \( g \) es una constante igual a \( 32 \). La velocidad inicial \( V_{0} \) es conocida, y cuando \( t = 5 \) segundos el proyectil toca el suelo, es decir, \( h = 0 \). Aquí, \( H_{0} \) es la altura inicial (la altura del edificio). Por lo tanto, podemos escribir \[ 0 = -\tfrac{1}{2}(32)(5)^{2} + (64)(5) + H_{0} \] Resolviendo para \( H_{0} \), obtenemos la altura inicial que es la altura del edificio. \[ H_{0} = 80 \ \text{pies} \]
Problema 4 - Velocidad Inicial a partir de la Altura Máxima
Desde el suelo, se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad inicial \( V_0 \). Tres segundos más tarde, alcanza una altura máxima. ¿Cuál es la velocidad inicial \( V_0 \)?
La altura \( h \) de un proyectil lanzado hacia arriba desde el suelo (altura inicial \( H_0 = 0 \)) está dada por \[ h(t) = -\tfrac{1}{2}(32)t^2 + V_0 t \] que se simplifica a \[ h(t) = -16t^2 + V_0 t. \] La altura máxima ocurre en \[ t = \frac{-V_0}{2(-16)}. \] Pero este tiempo se da como \( 3 \) segundos. Por lo tanto \[ \frac{-V_0}{2(-16)} = 3. \] Resolviendo para \( V_0 \), obtenemos la velocidad inicial \[ V_0 = 96 \ \text{pies/segundo}. \]