Soluciones completas y trabajadas para las Preguntas de Matemáticas (Conjunto 2) .
Dado \( y = \log(x) \), se reescribe en forma exponencial:
\[ x = 10^y \]Se intercambian \(x\) e \(y\):
\[ y = 10^x \]Por lo tanto, la función inversa es:
\[ f^{-1}(x) = 10^x \]Se utiliza la fórmula de cambio de base:
\[ \log_4(65) = \frac{\ln(65)}{\ln(4)} \]Usando una calculadora:
\[ \log_4(65) \approx 3.01 \]Se reescribe \(16\) como una potencia de \(2\):
\[ 2^{3x-1} = 2^4 \]Como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales:
\[ 3x - 1 = 4 \] \[ x = \frac{5}{3} \]Dado:
\[ \log_x 9 = 2 \]Se reescribe en forma exponencial:
\[ x^2 = 9 = 3^2 \]Por lo tanto:
\[ x = 3 \]Se expanden ambos lados:
\[ x^2 + kx - 6 = x^2 + x - 6 \]Igualando coeficientes se obtiene:
\[ k = 1 \]Se completa el cuadrado:
\[ y = 2x^2 + 8x - 3 \] \[ = 2(x^2 + 4x + 4) - 11 \] \[ = 2(x+2)^2 - 11 \]Vértice:
\[ (-2, -11) \]Sustituyendo las raíces propuestas en cada opción se muestra que Opción D tiene raíces \(3\) y \(5\).
Nota:
\[ (x+2)(x-4) = x^2 - 2x - 8 \]Se multiplica toda la ecuación por \((x+2)(x-4)\):
\[ x(x-4) + 3(x+2) = 4x + 2 \] \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] \[ (x-1)(x-4) = 0 \]Soluciones: \(x=1\), \(x=4\). Sin embargo, \(x=4\) no está permitido (división por cero).
Solución final:
\[ x = 1 \]Ceros en \(x=0\) y \(x=6\). Dado que la parábola abre hacia abajo, el máximo ocurre en:
\[ x = \frac{-b}{2a} = 3 \] \[ f(3) = 9 \]Rango:
\[ [0, 9] \]Resolver:
\[ -x^2 + 3x + 18 = 0 \] \[ (x-6)(x+3)=0 \]Intersecciones con el eje x:
\[ (6,0),\;(-3,0) \]La función no está definida cuando:
\[ |x-2| = 0 \]Dominio:
\[ (-\infty,2)\cup(2,\infty) \]Un ángulo coterminal:
\[ -1280^\circ + 4(360^\circ) = 160^\circ \]Ángulo de referencia:
\[ 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ \]Falso. \[ \tan(-x) = -\tan x \]
La opción A no es una identidad.
Solución válida:
\[ \cos x = \frac{1}{2} \]