Preguntas y problemas de álgebra de 6º grado con soluciones detalladas. Los temas incluyen expandir y simplificar expresiones, resolver ecuaciones lineales, factorizar expresiones, encontrar el MCD y el mcm, fracciones y porcentajes.
Enumera todos los términos semejantes incluidos en cada una de las expresiones dadas a continuación.
A) \(6x + 5 + 12x - 6\)
B) \(2x^2 - 4 + 9x^2 + 9\)
C) \( \frac{x}{5} + \frac{x}{7} + 7 \)
D) \(0.2x + 1.2x + \frac{x}{2} + 5\)
E) \(5x - 8 + 7x - 2x^2 - 4 + 9x^2 + 4x^3\)
F) \(5a + 8 - 7ab\)
G) \(5ab + 8 + 6ba - a + 3b\)
A) Los términos \(6x\) y \(12x\) tienen la misma variable \(x\) con exponentes iguales a 1 y, por lo tanto, son términos semejantes.
Los términos \(5\) y \(-6\) son números y, por lo tanto, términos semejantes.
B) Los términos \(2x^2\) y \(9x^2\) tienen la misma variable \(x\) con exponentes iguales a 2, son términos semejantes.
Los términos \(-4\) y \(+9\) son números y, por lo tanto, términos semejantes.
C) Los términos \(\frac{x}{5}\) y \(\frac{x}{7}\) tienen la misma variable con exponentes iguales a 1, son términos semejantes.
D) Los términos \(0.2x\), \(1.2x\), y \(\frac{x}{2}\) tienen la misma variable \(x\) con exponentes iguales a 1; son términos semejantes.
E) Los términos \(5x\) y \(7x\) son términos semejantes.
Los términos \(-8\) y \(-4\) son términos semejantes.
Los términos \(-2x^2\) y \(+9x^2\) son términos semejantes.
F) No hay términos semejantes en esta expresión.
G) Los términos \(5ab\) y \(6ba\) son términos semejantes.
Evalúa cada una de las expresiones para el/los valor(es) dado(s) de la(s) variable(s).
A) \(6x + 5\) para \(x = 2\)
B) \(12x^2 + 5x - 2\) para \(x = 1\)
C) \(2(x + 7) + x\) para \(x = 0\)
D) \(2a + 3b - 7\) para \(a = 2\) y \(b = 4\)
A) \(6(2) + 5 = 12 + 5 = 17\)
B) \(12(1)^2 + 5(1) - 2 = 12(1) + 5 - 2 = 12 + 5 - 2 = 15\)
C) \(2(0 + 7) + 0 = 2(7) = 14\)
D) \(2(2) + 3(4) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9\)
Expande (si es necesario) y simplifica cada una de las siguientes expresiones.
A) \(3x + 5x\)
B) \(2(x + 7) + x\)
C) \(2(x + 3) + 3(x + 5) + 3\)
D) \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3\)
A) \(3x + 5x\)
\(= (3 + 5)x\), factoriza \(x\)
\(= 8x\), simplifica
B) \(2(x + 7) + x\)
\(= 2(x) + 2(7) + x = 2x + 14 + x\), expande y simplifica
\(= (2x + x) + 14\), agrupa términos semejantes
\(= (2 + 1)x + 14 = 3x + 14\), simplifica
C) \(2(x + 3) + 3(x + 5) + 3\)
\(= 2(x) + 2(3) + 3(x) + 3(5) + 3 = 2x + 6 + 3x + 15 + 3\), expande y simplifica
\(= (2x + 3x) + (6 + 15 + 3)\), agrupa términos semejantes
\(= (2 + 3)x + 24 = 5x + 24\), simplifica
D) \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3\)
\(= 2(a) + 2(1) + 5b + 3(a) + 3(b) + 3 = 2a + 2 + 5b + 3a + 3b + 3\), expande y simplifica
\(= (2a + 3a) + (5b + 3b) + (2 + 3)\), agrupa términos semejantes
\(= (2 + 3)a + (5 + 3)b + 5 = 5a + 8b + 5\), simplifica
Factoriza cada una de las siguientes expresiones encontrando el máximo común divisor (factor común).
A) \(3x + 3\)
B) \(8x + 4\)
C) \(ax + 3a\)
D) \((x + 1)y + 4(x + 1)\)
E) \(x + 2 + bx + 2b\)
A) \(3x + 3\)
\(= 3(x) + 3(1)\), 3 es un factor común
\(= 3(x + 1)\), forma factorizada
B) \(8x + 4\)
\(= 4(2)(x) + 4\), escribe 8 como 4(2)
\(= 4(2x) + 4(1)\), 4 es un factor común
\(= 4(2x + 1)\), forma factorizada
C) \(ax + 3a\), a es un factor común
\(= a(x + 3)\), forma factorizada
D) \((x + 1)y + 4(x + 1)\)
\(= (x + 1)(y) + (x + 1)(4)\), x + 1 es un factor común
\(= (x + 1)(y + 4)\), forma factorizada
E) \(x + 2 + bx + 2b\)
\(= (x + 2) + b(x + 2)\), factoriza b en bx + 2b
\(= (x + 2)(1) + (x + 2)b\), x + 2 es ahora un factor común
\(= (x + 2)(1 + b)\), forma factorizada
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones y comprueba tu respuesta.
A) \(x + 5 = 8\)
B) \(2x = 4\)
C) \(\frac{x}{3} = 2\)
D) \(0.2x = 1\)
E) \(3x + 6 = 12\)
F) \(3(x + 2) + 2 = 8\)
A) \(x + 5 = 8\)
\(x + 5 - 5 = 8 - 5\), resta 5 de ambos lados de la ecuación
\(x = 3\), simplifica y resuelve para x
Sustituye \(x\) por 3 (solución encontrada arriba) en ambos lados de la ecuación dada:
Lado derecho: \(3 + 5 = 8\)
Lado izquierdo = \(8\)
\(x = 3\) es la solución de la ecuación dada.
B) \(2x = 4\)
\(\frac{2x}{2} = \frac{4}{2}\), divide ambos lados entre 2
\(x = 2\), simplifica y resuelve para x
Sustituye \(x\) por 2 (solución encontrada arriba) en ambos lados de la ecuación dada:
Lado derecho: \(2(2) = 4\)
Lado izquierdo = \(4\)
\(x = 2\) es la solución de la ecuación dada.
C) \(\frac{x}{3} = 2\)
\(3(\frac{x}{3}) = 3(2)\), multiplica ambos lados por 3
\(x = 6\), simplifica y resuelve para x
Sustituye \(x\) por 6 (solución encontrada arriba) en ambos lados de la ecuación dada:
Lado derecho: \(\frac{6}{3} = 2\)
Lado izquierdo = \(2\)
\(x = 6\) es la solución de la ecuación dada.
D) \(0.2x = 1\)
\(x = \frac{1}{0.2}\), divide ambos lados entre 0.2
\(x = 5\)
E) \(3x + 6 = 12\)
\(3x = 12 - 6 = 6\), resta 6 de ambos lados
\(x = \frac{6}{3} = 2\), divide entre 3
F) \(3(x + 2) + 2 = 8\)
\(3(x + 2) = 8 - 2 = 6\), resta 2 de ambos lados
\(x + 2 = \frac{6}{3} = 2\), divide entre 3
\(x = 2 - 2 = 0\), resta 2
Hay \(n\) cajas en una bolsa grande y \(m\) juguetes en cada caja. ¿Cuál es el número total de juguetes en la bolsa?
Para encontrar el total, multiplica el número de cajas por el número de juguetes por caja:
$$\text{Total de juguetes} = n \times m = nm$$
Reescribe la expresión \(a \times a \times a - b \times b\) usando exponentes.
Multiplicar una variable por sí misma se representa mediante un exponente:
$$a \times a \times a = a^3$$
$$b \times b = b^2$$
La expresión es: $$a^3 - b^2$$
La longitud de un rectángulo está dada por \(x + 2\) y su ancho es igual a 3. Da una expresión simplificada del área de este rectángulo.
El área de un rectángulo es Longitud \(\times\) Ancho:
$$\text{Área} = 3(x + 2)$$
Expande la expresión:
$$\text{Área} = 3x + 6$$
Dos tercios de los estudiantes de una clase estudian matemáticas y los ocho estudiantes restantes no estudian matemáticas. ¿Cuál es el número total de estudiantes en esta clase?
Si \(\frac{2}{3}\) de la clase estudia matemáticas, entonces la fracción de la clase que no estudia matemáticas es:
$$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
Se nos dice que este \(\frac{1}{3}\) de la clase equivale a 8 estudiantes. Sea \(T\) el número total de estudiantes:
$$\frac{1}{3}T = 8$$
$$T = 8 \times 3 = 24$$
Hay 24 estudiantes en total.
Un automóvil viaja 60 kilómetros en una hora. A la misma velocidad, ¿qué distancia cubrirá este automóvil en \(x\) horas?
La velocidad es \(60\) km/h. La distancia es la velocidad multiplicada por el tiempo:
$$\text{Distancia} = 60 \times x = 60x \text{ kilómetros}$$
Evalúa las expresiones.
A) \(2^3 + 3^2\)
B) \(0.1^3\)
C) \(6 \times \frac{2}{3}\)
A) \(2^3 = 8\) y \(3^2 = 9\):
$$8 + 9 = 17$$
B) Multiplica 0.1 por sí mismo tres veces:
$$0.1 \times 0.1 \times 0.1 = 0.001$$
C) Multiplica el número entero por el numerador y divide entre el denominador:
$$\frac{6 \times 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$$
Una bolsa contiene tres canicas rojas; cinco canicas azules y siete canicas verdes. ¿Cuál es la proporción (razón) de canicas azules con respecto al número total de canicas?
Primero, encuentra el número total de canicas:
$$\text{Total} = 3 + 5 + 7 = 15$$
La proporción de canicas azules al total es:
$$\frac{5}{15}$$
Simplifica la fracción dividiendo el numerador y el denominador entre 5:
$$\frac{1}{3}$$
Resuelve la proporción: \(\frac{a}{3} = \frac{5}{18}\)
Multiplica en cruz para resolver \(a\):
$$18a = 3 \times 5$$
$$18a = 15$$
$$a = \frac{15}{18}$$
Simplifica la fracción dividiendo entre 3:
$$a = \frac{5}{6}$$
¿Cuál de los siguientes pares ordenados es una solución a la ecuación \(2x + 3y = 8\)?
A) \((0, 0)\)
B) \((4, 0)\)
C) \((1, 2)\)
Prueba cada par sustituyendo los valores de x e y en la ecuación:
A) \(2(0) + 3(0) = 0 \neq 8\) (Incorrecto)
B) \(2(4) + 3(0) = 8 + 0 = 8\). ¡Espera! Miremos de cerca: \(2(4) = 8\). Así que \((4,0)\) SÍ es una solución válida.
C) \(2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8\). \((1,2)\) TAMBIÉN es una solución válida.
Nota de corrección: Tanto (4,0) como (1,2) son soluciones correctas para esta ecuación lineal.
Enumera todos los factores (divisores) de los siguientes números.
A) \(4\)
B) \(12\)
C) \(50\)
A) Factores de 4: \(1, 2, 4\)
B) Factores de 12: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)
C) Factores de 50: \(1, 2, 5, 10, 25, 50\)
Encuentra el máximo común divisor (MCD) para cada par de números dados.
A) 6 y 3
B) 18 y 24
C) 50 y 60
A) Factores de 3: 1, 3. Factores de 6: 1, 2, 3, 6. El MCD es 3.
B) Factores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. El MCD es 6.
C) Factores de 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50. Factores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. El MCD es 10.
Escribe el número "Seiscientos setenta y dos millones doscientos cincuenta y nueve" usando los dígitos 0, 1, 2, ...9.
Desglosándolo por periodos:
Combínalos: 672,000,259
¿Cuáles de las siguientes expresiones son equivalentes?
A) \(2(x + 3) - 2\)
B) \(2x + 4\)
C) \(3(x + 3) - x - 5\)
Simplifica las expresiones A y C para compararlas con B:
A) \(2(x + 3) - 2 = 2x + 6 - 2 = 2x + 4\)
C) \(3(x + 3) - x - 5 = 3x + 9 - x - 5 = 2x + 4\)
Las tres expresiones (A, B y C) se simplifican a \(2x + 4\), por lo que todas son equivalentes.
Encuentra el mínimo común múltiplo (mcm) para cada par de números dados.
A) 2 y 3
B) 7 y 14
C) 25 y 15
A) Múltiplos de 2: 2, 4, 6... Múltiplos de 3: 3, 6... El mcm es 6.
B) Múltiplos de 7: 7, 14, 21... Como 14 es un múltiplo de 7, el mcm es 14.
C) Múltiplos de 25: 25, 50, 75, 100... Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75... El mcm es 75.
Suma y/o resta y simplifica.
A) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\)
B) \(\frac{2}{5} - \frac{1}{7}\)
A) Los denominadores son iguales, así que suma los numeradores:
$$\frac{1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$$
B) Encuentra un denominador común (35):
$$\frac{2 \times 7}{5 \times 7} - \frac{1 \times 5}{7 \times 5} = \frac{14}{35} - \frac{5}{35} = \frac{9}{35}$$
¿Cuánto es \(\frac{2}{3}\) de 21?
Multiplica la fracción por el número entero:
$$\frac{2}{3} \times 21 = \frac{2 \times 21}{3} = \frac{42}{3} = 14$$
Método alternativo: Divide 21 entre 3 para obtener 7, luego multiplica por 2 para obtener 14.
¿Cuánto es el 40% de \(\frac{1}{4}\)?
Convierte el 40% a una fracción o decimal. 40% = \(\frac{40}{100} = \frac{2}{5}\).
Ahora multiplica por \(\frac{1}{4}\):
$$\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$$
Simplifica la fracción:
$$\frac{1}{10}$$ (o \(0.1\))
¿Cuánto es el 20% del 50%?
Convierte los porcentajes a decimales o fracciones:
20% = 0.20
50% = 0.50
Multiplícalos:
$$0.20 \times 0.50 = 0.10$$
Convierte de nuevo a un porcentaje: 0.10 = 10%.
¿Cuántos segundos hay en una hora?
Hay 60 minutos en una hora, y 60 segundos en un minuto. Multiplica para encontrar el total de segundos:
$$60 \times 60 = 3,600 \text{ segundos}$$
¿Cuántos minutos hay en el mes de enero?
Enero tiene 31 días. Hay 24 horas en un día y 60 minutos en una hora.
$$\text{Total de minutos} = 31 \times 24 \times 60$$
$$31 \times 1,440 = 44,640 \text{ minutos}$$
¿Cuál es la ubicación de cada uno de los puntos: \((-2, 0)\), \((0, 3)\) y \((-2, -3)\) en un plano cartesiano (plano de coordenadas)?
Ordena \(\frac{7}{5}\), \(\frac{12}{10}\), \(\frac{21}{20}\) y 111% del más pequeño al más grande (de menor a mayor).
Convierte todos los valores a decimales para una fácil comparación:
Ahora ordena los decimales de menor a mayor: \(1.05 < 1.11 < 1.20 < 1.40\).
Reemplazando con los valores originales da:
\(\frac{21}{20}\) , 111% , \(\frac{12}{10}\) , \(\frac{7}{5}\)