Propiedad Distributiva: Expandir y Factorizar Expresiones Algebraicas - 6º Grado

Ejemplos y preguntas de 6º grado sobre cómo usar la propiedad distributiva en álgebra para expandir y factorizar expresiones algebraicas. A continuación se presentan soluciones detalladas y explicaciones.

Usar la Propiedad Distributiva para Expandir Expresiones Algebraicas

Para los números reales \(a\), \(b\) y \(c\), la propiedad distributiva está dada por:

a(b + c) = ab + ac

Evaluemos la expresión numérica \(2(3+4)\) de dos maneras diferentes.

Método 1: Usar el Orden de las Operaciones

Evalúa los paréntesis primero:

$$2(3+4) = 2(7) = 14$$

Método 2: Usar la Propiedad Distributiva

Distribuye la multiplicación sobre la suma:

$$2(3+4) = (2)(3) + (2)(4) = 6 + 8 = 14$$

Ambos métodos dan el mismo resultado. Sin embargo, cuando hay variables involucradas, no puedes simplemente calcular el interior de los paréntesis. La propiedad distributiva se vuelve esencial.

Por ejemplo:

$$2(x+6) = (2)(x) + (2)(6) = 2x + 12$$

Dado que \(x\) es una variable, no puedes simplificar \(x+6\) directamente; se debe usar la propiedad distributiva para expandir la expresión.

Usar la Propiedad Distributiva para Factorizar Expresiones Algebraicas

La propiedad distributiva también se puede aplicar a la inversa para factorizar expresiones. Buscas un factor común en todos los términos y lo sacas fuera de los paréntesis.

ab + ac = a(b + c)

Ejemplo: Factorizar \(3x+6\)

Nota que tanto \(3x\) como \(6\) comparten un factor común de \(3\):

$$3x+6 = 3(x) + 3(2)$$

Aplicar la propiedad distributiva a la inversa da como resultado:

$$3(x+2)$$

Preguntas de Práctica

Pregunta 1: Expande las siguientes expresiones

  1. \(2(x+2)\)
  2. \(3(a+4)\)
  3. \(4(3+b)\)
  4. \(5(3+n)\)
  5. \(2(a+b)\)
  6. \(2(x+y+4)\)
  7. \((7+b)4\)
Ver Soluciones para la Pregunta 1

Multiplica el término exterior por cada término dentro de los paréntesis:

  1. \(2(x+2) = 2(x) + 2(2) = 2x + 4\)
  2. \(3(a+4) = 3(a) + 3(4) = 3a + 12\)
  3. \(4(3+b) = 4(3) + 4(b) = 12 + 4b\)
  4. \(5(3+n) = 5(3) + 5(n) = 15 + 5n\)
  5. \(2(a+b) = 2(a) + 2(b) = 2a + 2b\)
  6. \(2(x+y+4) = 2(x) + 2(y) + 2(4) = 2x + 2y + 8\)
  7. \((7+b)4 = 4(7) + 4(b) = 28 + 4b\)

Pregunta 2: Expande y simplifica

  1. \(3(x+1)+3\)
  2. \(5(1+n)+6\)
  3. \(5(a+2)+2(a+3)\)
  4. \(2(1+b)+6(b+2)+4\)
  5. \(2(a+b)+3(a+b)\)
Ver Soluciones para la Pregunta 2

Primero distribuye, luego agrupa y combina términos semejantes:

  1. \(3(x+1)+3 = 3x + 3 + 3 = 3x + 6\)
  2. \(5(1+n)+6 = 5 + 5n + 6 = 5n + 11\)
  3. \(5(a+2)+2(a+3) = (5a + 10) + (2a + 6) = 7a + 16\)
  4. \(2(1+b)+6(b+2)+4 = (2 + 2b) + (6b + 12) + 4 = 8b + 18\)
  5. \(2(a+b)+3(a+b) = 2a + 2b + 3a + 3b = 5a + 5b\) (Nota: También podrías tratar \((a+b)\) como una sola unidad: \(2(a+b) + 3(a+b) = 5(a+b) = 5a + 5b\))

Pregunta 3: Factoriza las siguientes expresiones

  1. \(2x+4\)
  2. \(3x+3\)
  3. \(4a+12\)
  4. \(21+7b\)
  5. \(15+5x\)
  6. \(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\)
Ver Soluciones para la Pregunta 3

Identifica el máximo común divisor en cada término, luego sácalo de los paréntesis:

  1. \(2x+4 = 2(x) + 2(2) = 2(x + 2)\)
  2. \(3x+3 = 3(x) + 3(1) = 3(x + 1)\)
  3. \(4a+12 = 4(a) + 4(3) = 4(a + 3)\)
  4. \(21+7b = 7(3) + 7(b) = 7(3 + b)\)
  5. \(15+5x = 5(3) + 5(x) = 5(3 + x)\)
  6. \(\frac{x}{2}+\frac{1}{2} = \frac{1}{2}(x) + \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}(x + 1)\)

Más Referencias y Enlaces