Ecuaciones de Una Variable - 6º Grado

Una ecuación en matemáticas es una afirmación de que dos expresiones matemáticas son iguales. Por lo tanto, una ecuación debe contener un signo de igual (=).

De la lista dada, solo las siguientes contienen un signo de igual y, por lo tanto, son ecuaciones:

• b) \(x + 2 = 4\)
• c) \(8 = x\)
• e) \(\frac{x - 8}{3} = 9\)

Las demás (a, d, f) son solo expresiones matemáticas.

Según la definición, una ecuación debe tener un signo de igual. Las siguientes no son ecuaciones (son expresiones):

• a) \(3x - 9\)
• d) \(8 \times x\)

Nota: La opción c (\(12 - 7 = 5\)) es una ecuación numérica, y las opciones b y e son ecuaciones algebraicas.

Probamos los valores de \(x\) sustituyéndolos en la ecuación \(\;2x - 4 = 4\; \) y comparando ambos lados.

• Probando \(x = 0\):
  Lado izquierdo: \(2(0) - 4 = -4\)
  Lado derecho: \(4\)
  \(-4 \neq 4\) → No es una solución.
• Probando \(x = 4\):
  Lado izquierdo: \(2(4) - 4 = 8 - 4 = 4\)
  Lado derecho: \(4\)
  \(4 = 4\) → \(x = 4\) es la solución correcta.

Comprueba qué valores satisfacen \(\frac{x}{3} - 1 = 2\):

• a) \(x = -3\): Lado izquierdo = \(\frac{-3}{3} - 1 = -1 - 1 = -2\). Lado derecho = \(2\). No es una solución.
• b) \(x = 6\): Lado izquierdo = \(\frac{6}{3} - 1 = 2 - 1 = 1\). Lado derecho = \(2\). No es una solución.
• c) \(x = -9\): Lado izquierdo = \(\frac{-9}{3} - 1 = -3 - 1 = -4\). Lado derecho = \(2\). No es una solución.
• d) \(x = 9\): Lado izquierdo = \(\frac{9}{3} - 1 = 3 - 1 = 2\). Lado derecho = \(2\). Esta es la solución.

Para resolver una ecuación, despejamos \(x\) aplicando la operación inversa a ambos lados del signo de igual:

1. \(x - 6 = 12\)
   Suma 6 a ambos lados: \(x = 12 + 6 \Rightarrow \mathbf{x = 18}\)
2. \(3 = x + 3\)
   Resta 3 de ambos lados: \(3 - 3 = x \Rightarrow \mathbf{x = 0}\)
3. \(2 + x = 8\)
   Resta 2 de ambos lados: \(x = 8 - 2 \Rightarrow \mathbf{x = 6}\)
4. \(2x = 16\)
   Divide ambos lados entre 2: \(x = \frac{16}{2} \Rightarrow \mathbf{x = 8}\)
5. \(\frac{x}{3} = 5\)
   Multiplica ambos lados por 3: \(x = 5 \times 3 \Rightarrow \mathbf{x = 15}\)

Resolvemos ambas ecuaciones en cada par y comparamos sus soluciones:

1. \(x = 2\) y \(2x = 4\) (que se simplifica a \(x=2\))
   Mismas soluciones.
2. \(x + 3 = 6 \Rightarrow x = 3\)
   \(x + 4 = 8 \Rightarrow x = 4\)
   Soluciones diferentes.
3. \(\frac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4\)
   \(x = -4\)
   Soluciones diferentes.
4. \(3x = 9 \Rightarrow x = 3\)
   \(x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3\)
   Mismas soluciones.

Los pares (a) y (d) tienen las mismas soluciones.

Plantea la ecuación: \(2x + 6 = 12\)

Resta 6 de ambos lados: \(2x = 6\)

Divide entre 2: \(\mathbf{x = 3}\)

Comprobación: \(2(3) + 6 = 6 + 6 = 12\) ✔

Plantea la ecuación: \(4x + 6 = 2 + 12\)

Simplifica el lado derecho: \(4x + 6 = 14\)

Resta 6 de ambos lados: \(4x = 8\)

Divide entre 4: \(\mathbf{x = 2}\)

Comprobación: \(4(2) + 6 = 8 + 6 = 14\) y \(2 + 12 = 14\) ✔

Traduce "suma" a una adición: \(d + 23 = 56\)

Resta 23 de ambos lados: \(d = 56 - 23\)

\(\mathbf{d = 33}\)

Traduce "restado de" cuidadosamente (el 7 viene después de la x): \(x - 7 = 41\)

Suma 7 a ambos lados: \(x = 41 + 7\)

\(\mathbf{x = 48}\)

Traduce "producto" a una multiplicación: \(6y = 36\)

Divide ambos lados entre 6: \(y = \frac{36}{6}\)

\(\mathbf{y = 6}\)

Traduce a una ecuación: \(\frac{b}{5} = 4\)

Multiplica ambos lados por 5: \(b = 4 \times 5\)

\(\mathbf{b = 20}\)

Plantea la ecuación que representa el total de sus cartas: \(x + 23 = 121\)

Resta 23 de ambos lados: \(x = 121 - 23\)

\(\mathbf{x = 98}\) (Jacky tiene 98 cartas)

Sea \(c\) la contribución de Toby. Plantea la ecuación: \(34 + 45 + c = 123\)

Simplifica las constantes en el lado izquierdo: \(79 + c = 123\)

Resta 79 de ambos lados: \(c = 123 - 79\)

\(\mathbf{c = 44}\) (Toby contribuyó con $44)