Encontrar Factores y Múltiplos de Números Enteros - 6º Grado

Factores

La división y la multiplicación son operaciones relacionadas.

• La división \(6 \div 3 = 2\) (con residuo igual a 0) se puede escribir como la multiplicación: \(6 = 2 \times 3\)
• La división \(15 \div 3 = 5\) (con residuo igual a 0) se puede escribir como la multiplicación: \(15 = 5 \times 3\)
• La multiplicación \(10 = 2 \times 5\) se puede escribir como la división: \(10 \div 5 = 2\) (con residuo igual a 0)
• La multiplicación \(18 = 6 \times 3\) se puede escribir como la división: \(18 \div 3 = 6\) (con residuo igual a 0)

Ejemplos

• 1) \(6 = 1 \times 6\) ; \(6 = 2 \times 3\). 1, 2, 3 y 6 se llaman factores de 6.
• 2) \(12 = 12 \times 1 = 3 \times 4 = 6 \times 2\). 1, 2, 3, 4, 6 y 12 se llaman factores de 12.
• 3) \(20 = 1 \times 20 = 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 5 = 4 \times 5\). 1, 2, 3, 4, 5, 10 y 20 se llaman factores de 20.

Ejemplo: Encuentra todos los factores de 30

Divide 30 entre todos los números comenzando desde el 1 y selecciona la división que dé un residuo igual a 0, luego escribe los factores.

• \(30 \div 1 = 30\) residuo 0 o \(30 = 30 \times 1\). Por lo tanto, 1 y 30 son factores.
• \(30 \div 2 = 15\) residuo 0 o \(30 = 15 \times 2\). Por lo tanto, tanto 2 como 15 son factores.
• \(30 \div 3 = 10\) residuo 0 o \(30 = 10 \times 3\). Por lo tanto, tanto 3 como 10 son factores.
• \(30 \div 4 = 7\) residuo 2. 4 no es un factor.
• \(30 \div 5 = 6\) residuo 0 o \(30 = 6 \times 5\). Por lo tanto, tanto 5 como 6 son factores.

Nos detenemos aquí porque ya se han encontrado todos los factores mayores que 5. Los factores de 30 son: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Múltiplos

Toma un número entero y multiplícalo por 1, 2, 3, 4, ... para obtener los múltiplos de la siguiente manera:

• \(5 \times 1 = 5\)
• \(5 \times 2 = 10\)
• \(5 \times 3 = 15\)
• \(5 \times 4 = 20\)

Los resultados de la multiplicación de 5 por 1, 2, 3, 4, ... que son 5, 10, 15, 20, ... se llaman los múltiplos de 5.

Responde las Siguientes Preguntas

1. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son VERDADERAS y cuáles son FALSAS? Explica tu respuesta.
   1. La división de 4 entre 2 es igual a 2 con un residuo distinto de cero.
   2. 3 es un factor de 9.
   3. 5 y 3 son factores de 15.
   4. 3 es un factor de 7.
   5. La división de 10 entre 10 da un residuo igual a 0.
   6. 16 es un factor de 16.
   7. 1 es un factor de todos los números enteros.
   8. Cualquier número entero mayor que 1 tiene al menos dos factores.
2. Encuentra todos los factores para los siguientes números enteros.
   1. 2
   2. 6
   3. 10
   4. 24
3. ¿Cuál de los siguientes números es un factor de 120?
   1. 2
   2. 5
   3. 10
   4. 11
   5. 20
   6. 30
   7. 50
4. Encuentra y ordena de menor a mayor todos los factores de 12 y todos los factores de 24. Encuentra todos los factores que son comunes (los mismos) para 12 y 24.
5. Encuentra los primeros 5 múltiplos de cada uno de los siguientes números.
   1. 2
   2. 11
   3. 25
6. Encuentra los primeros 5 múltiplos de 6 y 8. Encuentra un múltiplo que sea común (el mismo) para ambos, 6 y 8.

Soluciones a los Problemas Anteriores

1. Afirmaciones Verdaderas o Falsas

   1. FALSO: \(4 \div 2 = 2\) con residuo 0.
   2. VERDADERO: \(9 = 3 \times 3\).
   3. VERDADERO: \(15 = 5 \times 3\).
   4. FALSO: No hay ningún número entero \(N\) tal que \(7 = 3 \times N\).
   5. VERDADERO: \(10 \div 10 = 1\) con residuo igual a 0.
   6. VERDADERO: \(16 = 16 \times 1\).
   7. VERDADERO: \(N = N \times 1\).
   8. VERDADERO: \(N = N \times 1\), lo que significa que tiene al menos dos factores: 1 y \(N\) (sí mismo).

2. Encontrar Todos los Factores

   1. Factores de 2:

      \(2 \div 1 = 2\) con residuo 0, o \(2 = 2 \times 1\). Por lo tanto, los factores de 2 son 1 y 2.

   2. Factores de 6:

      \(6 \div 1 = 6\) con residuo 0, o \(6 = 6 \times 1\). Dos factores 1 y 6.

      \(6 \div 2 = 3\) con residuo 0, o \(6 = 3 \times 2\). Dos factores 2 y 3.

      Como ya se han encontrado todos los factores mayores que 2, detenemos el proceso de división y escribimos la lista de factores de 6: 1, 2, 3 y 6.

   3. Factores de 10:

      \(10 \div 1 = 10\) con residuo 0, o \(10 = 10 \times 1\). Dos factores 1 y 10.

      \(10 \div 2 = 5\) con residuo 0, o \(10 = 5 \times 2\). Dos factores 2 y 5.

      \(10 \div 3 = 3\) con residuo 1; 3 no es un factor de 10.

      \(10 \div 4 = 2\) con residuo 2; 4 no es un factor de 10.

      Como ya se han encontrado todos los factores mayores que 4, detenemos el proceso de división y escribimos la lista de factores de 10: 1, 2, 5 y 10.

   4. Factores de 24:

      \(24 \div 1 = 24\) con residuo 0, o \(24 = 24 \times 1\). Dos factores 1 y 24.

      \(24 \div 2 = 12\) con residuo 0, o \(24 = 12 \times 2\). Dos factores 2 y 12.

      \(24 \div 3 = 8\) con residuo 0, o \(24 = 8 \times 3\). Dos factores 3 y 8.

      \(24 \div 4 = 6\) con residuo 0, o \(24 = 6 \times 4\). Dos factores 4 y 6.

      \(24 \div 5 = 4\) con residuo 4; no hay factores.

      Como ya se han encontrado todos los factores mayores que 5, detenemos el proceso de división y escribimos la lista de factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

3. Factores de 120

   Dividimos 120 entre cada uno de los números de la lista. Si el residuo es igual a cero, el divisor (número en la lista) es un factor de 120.

   • \(120 \div 2 = 60\) con residuo 0, 2 es un factor de 120.
   • \(120 \div 5 = 24\) con residuo 0, 5 es un factor de 120.
   • \(120 \div 10 = 12\) con residuo 0, 10 es un factor de 120.
   • \(120 \div 11 = 10\) con residuo 10, 11 NO es un factor de 120.
   • \(120 \div 20 = 6\) con residuo 0, 20 es un factor de 120.
   • \(120 \div 30 = 4\) con residuo 0, 30 es un factor de 120.
   • \(120 \div 50 = 2\) con residuo 20, 50 NO es un factor de 120.

   En la lista dada todos son factores de 120 excepto 11 y 50.

4. Factores de 12 y 24

   Primero encontramos todos los factores de 12:

   • \(12 \div 1 = 12\) con residuo 0, 1 y 12 son factores de 12.
   • \(12 \div 2 = 6\) con residuo 0, 2 y 6 son factores de 12.
   • \(12 \div 3 = 4\) con residuo 0, 3 y 4 son factores de 12.

   Como ya se han encontrado todos los factores mayores que 3, detenemos el proceso de división y escribimos la lista de factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

   Los factores de 24 se encontraron en la solución del problema 2) parte d) y están dados por: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

   Los factores comunes de 12 y 24 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

5. Primeros 5 Múltiplos

   Los primeros 5 múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por 1, 2, 3, 4 y 5.

   1. Múltiplos de 2:

      \(2 \times 1 = 2\) ; \(2 \times 2 = 4\) ; \(2 \times 3 = 6\) ; \(2 \times 4 = 8\) ; \(2 \times 5 = 10\)

   2. Múltiplos de 11:

      \(11 \times 1 = 11\) ; \(11 \times 2 = 22\) ; \(11 \times 3 = 33\) ; \(11 \times 4 = 44\) ; \(11 \times 5 = 55\)

   3. Múltiplos de 25:

      \(25 \times 1 = 25\) ; \(25 \times 2 = 50\) ; \(25 \times 3 = 75\) ; \(25 \times 4 = 100\) ; \(25 \times 5 = 125\)

6. Múltiplos de 6 y 8

   Los primeros 5 múltiplos de 6 y 8 se obtienen multiplicando 6 y 8 por 1, 2, 3, 4 y 5.

   1. Los primeros 5 múltiplos de 6 son:

      \(6 \times 1 = 6\) ; \(6 \times 2 = 12\) ; \(6 \times 3 = 18\) ; \(6 \times 4 = 24\) ; \(6 \times 5 = 30\)

   2. Los primeros 5 múltiplos de 8 son:

      \(8 \times 1 = 8\) ; \(8 \times 2 = 16\) ; \(8 \times 3 = 24\) ; \(8 \times 4 = 32\) ; \(8 \times 5 = 40\)

   24 es un múltiplo común de 6 y 8.

Referencias y Enlaces

• Matemáticas de Secundaria (Grados 6, 7, 8, 9) - Preguntas y Problemas Gratuitos Con Respuestas
• Matemáticas de Preparatoria / Bachillerato (Grados 10, 11 y 12) - Preguntas y Problemas Gratuitos Con Respuestas
• Matemáticas de Primaria (Grados 4 y 5) con Preguntas y Problemas Gratuitos Con Respuestas