Factorización prima - Grado 6

Números primos

Ejemplo 1

2 es un número primo, ¿por qué?

2 se puede dividir entre 1     2 ÷ 1 = 2 con resto igual a cero

2 se puede dividir entre 2 (él mismo)     2 ÷ 2 = 1 con resto igual a cero

Intenta encontrar otro número entero que divida a 2 con resto cero. No hay.

Ejemplo 2

El 7 es un número primo, ¿por qué?

7 se puede dividir entre 1     7 ÷ 1 = 7 con resto igual a cero

7 se puede dividir entre 7 (en sí mismo)     7 ÷ 7 = 1 con resto igual a cero

Intenta encontrar otro número entero que divida a 7 con resto cero. No hay.

Los primeros 10 números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Puedes generar más números primos y probarlos.

Números compuestos

Definición: cualquier número entero que se pueda dividir (con resto igual a cero) por otro número entero distinto de 1 y él mismo se llama número compuesto.

4 es un número compuesto, ¿por qué?

4 se puede dividir entre 1, sí mismo y 2.

6 es un número compuesto, ¿por qué?

6 se puede dividir entre 1, sí mismo, 2 y 3.

12 es un número compuesto: se puede dividir entre 1, él mismo, 2, 3, 4 y 6.

30 es un número compuesto: se puede dividir entre 1, sí mismo, 2, 3, 5, 6, 10 y 15.

Factorización

De la división a la multiplicación y a la factorización.

La división y la multiplicación son operaciones relacionadas.

La división 6 ÷ 3 = 2 se puede escribir como una multiplicación: 6 = 2 × 3

Factorizar un número entero es escribirlo como producto de dos o más números enteros.

Ejemplos

1) 6 = 1 × 6; 6 = 2 × 3     1, 2, 3 y 6 se llaman factores de 6.

2) 12 = 12 × 1 = 3 × 4 = 6 × 2     1, 2, 3, 4, 6 y 12 se llaman factores de 12.

3) 20 = 1 × 20 = 2 ×10 = 2 × 2 × 5 = 4 × 5     1, 2, 3, 4, 5, 10 y 20 se llaman factores de 20.

Factorización prima

La factorización prima consiste en escribir un número entero compuesto como producto de números primos únicamente.

Ejemplos

1) 6 = 2 × 3     los factores 2 y 3 son números primos.

2) 12 = 2 × 2 × 3     los factores 2 y 3 son números primos.

3) 20 = 2 × 2 × 5     los factores 2 y 5 son números primos.

Ejemplo 1

Escribe la factorización prima de 12.

1) Ver si el primer número primo 2 es factor del número dado 12

12 ÷ 2 = 6 con resto = 0        2 es un factor de 12        12 = 2 × 6

2) Ver si el primer número primo 2 es factor de 6

6 ÷ 2 = 3 con resto = 0        2 es un factor de 6        6 = 2 × 3        Por tanto 12 = 2 × 6 = 2 × 2 × 3

12 = 2 × 2 × 3 está completamente factorizado usando solo los números primos 2 y 3

Ejemplo 2

Escribe la factorización prima de 21.

1) Ver si el primer número primo 2 es factor del número dado 21

21 ÷ 2 = 10 pero resto = 1 entonces 2 no es factor de 21

2) ¿El siguiente número primo 3 es factor de 21?

21 ÷ 3 = 7 con resto 0        3 es un factor de 21        21 = 3 × 7

3 y 7 son números primos y por tanto 21 = 3 × 7 está completamente factorizado usando solo los números primos 3 y 7

Esta calculadora de factores primos se puede utilizar para generar todos los factores primos de un número determinado.

Responda las siguientes preguntas

1. Para cada número a continuación, decida cuál es un número primo y cuál es un número compuesto. Explicar.
   
   1. 9

   2. 11

   3. 16

   4. 22

   5. 39

   6. 41

   7. 49

   8. 57
2. ¿Cuál de las siguientes es una factorización prima?
   
   1. 8 = 2 × 4

   2. 10 = 2 × 5

   3. 20 = 2 × 10

   4. 30 = 2 × 3 × 5

   5. 38 = 2 × 19

   6. 42 = 2 × 3 × 7

   7. 56 = 2 × 2 × 14

   8. 75 = 3 × 25

   9. 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5

   10. 100 = 2 × 2 × 25
3. ¿Cuál es la factorización prima de cada uno de los siguientes números enteros?
   
   1. 8

   2. 18

   3. 24

   4. 45

   5. 63

   6. 88

   7. 96

Soluciones a los problemas anteriores

1. 
   
   Un número primo tiene sólo 2 factores: 1 y él mismo. Un compuesto tiene 3 factores o más.
   1. 9 es un número compuesto ya que 9 = 3 × 3 , tiene 3 factores: 1, 3 y él mismo

   2. 11 es un número primo porque tiene sólo 2 factores: 1 y él mismo

   3. 16 es un número compuesto ya que 16 = 4 × 4 = 2 × 8 , tiene 5 factores: 1, 2, 4 , 8 y él mismo

   4. 22 es un número compuesto ya que 22 = 2 × 11, tiene 4 factores: 1, 2, 11 y él mismo

   5. 39 es un número compuesto ya que 39 = 3 × 13 , tiene 4 factores: 1, 3, 13 y él mismo

   6. 41 es un número primo porque tiene sólo 2 factores: 1 y él mismo

   7. 49 es un número compuesto ya que 49 = 7 × 7, tiene 4 factores: 1, 7 y él mismo

   8. 57 es un número compuesto ya que 57 = 3 × 19 , tiene 4 factores: 1, 3, 19 y él mismo
2. 
   Una factorización prima incluye únicamente números primos.
   1. 8 = 2 × 4           el factor 4 no es un número primo, por lo tanto no es una factorización prima.

   2. 10 = 2 × 5           ambos factores 2 y 5 son números primos, por lo que es una factorización prima.

   3. 20 = 2 × 10           el factor 10 no es un número primo, por lo tanto no es una factorización prima.

   4. 30 = 2 × 3 × 5;           todos los factores 2, 3 y 5 son números primos, por lo que es una factorización prima.

   5. 38 = 2 × 19           ambos factores 2 y 19 son números primos, por lo que es una factorización prima.

   6. 42 = 2 × 3 × 7           todos los factores 2, 3 y 7 son números primos, por lo que es una factorización prima.

   7. 56 = 2 × 2 × 14           el factor 14 no es un número primo, por lo tanto no es una factorización prima.

   8. 75 = 3 × 25           el factor 25 no es un número primo, por lo tanto no es una factorización prima.

   9. 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5           todos los factores 2 y 5 son números primos, por lo que es una factorización prima.

   10. 100 = 4 × 25           ambos factores son compuestos; no es una factorización prima.
3. 
   La factorización prima se realiza mediante divisiones sucesivas utilizando números primos.
   1. 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2

   2. 18 = 2 × 9 = 2 × 3 × 3

   3. 24 = 2 × 12 = 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 3

   4. 45 = 3 × 15 = 3 × 3 × 5

   5. 63 = 7 × 9 = 7 × 3 × 3

   6. 88 = 2 × 44 = 2 × 2 × 22 = 2 × 2 × 2 × 11

   7. 96 = 2 × 48 = 2 × 2 × 24 = 2 × 2 × 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

Referencias