Preguntas de Práctica y Soluciones
Pregunta 1
Una secuencia sigue la regla: Comienza en 2, multiplica por 3 y suma 2 cada vez. ¿Cuál es el quinto número en la secuencia?
Ver Solución
Sigue la regla de la secuencia paso a paso:
- 1er número: 2
- 2do número: \(2 \times 3 + 2 = 8\)
- 3er número: \(8 \times 3 + 2 = 26\)
- 4to número: \(26 \times 3 + 2 = 80\)
- 5to número: \(80 \times 3 + 2 = 242\)
El quinto número es 242.
Pregunta 2
Se recorta un cuadrado con un lado de 2 cm de cada esquina de un cartón rectangular que mide 12 cm de largo y 8 cm de ancho. ¿Cuál es el área del cartón después de quitar los cuatro cuadrados?
Ver Solución
Primero, calcula el área original del cartón:
\[ \text{Área} = \text{largo} \times \text{ancho} = 12 \times 8 = 96 \text{ cm}^2 \]
A continuación, encuentra el área de un cuadrado cortado de una esquina:
\[ \text{Área} = 2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 \]
Dado que hay cuatro esquinas, el área total eliminada es:
\[ 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \]
Resta el área eliminada del área original para encontrar el área restante:
\[ 96 - 16 = \mathbf{80 \text{ cm}^2} \]
Pregunta 3
Dos números \( N \) y 16 tienen un mínimo común múltiplo (MCM) de 48 y un máximo común divisor (MCD) de 8. Encuentra el valor de \( N \).
Ver Solución
El producto de dos números enteros siempre es igual al producto de su MCM y MCD. Por lo tanto:
\[ 16 \times N = 48 \times 8 \]
Resolviendo para \( N \):
\[ N = \dfrac{48 \times 8}{16} = 3 \times 8 = \mathbf{24} \]
Pregunta 4
Encuentra el máximo común divisor (MCD) de 24, 40 y 60.
Ver Solución
Primero, escribe la factorización de primos de cada número:
- \( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \)
- \( 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 \)
- \( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
Identifica los factores primos comunes con los exponentes más pequeños. El único factor primo común entre los tres números es 2, y la potencia más pequeña de 2 común a los tres es \(2^2\).
\[ \text{MCD} = 2^2 = \mathbf{4} \]
Pregunta 5
En una escuela, hay 240 niños y 260 niñas.
Ver Solución
a) Proporción de niñas a niños:
\[ \dfrac{260}{240} \]
Reduce la fracción dividiendo el numerador y el denominador entre 20: \( \dfrac{13}{12} \). La proporción es 13:12.
b) Proporción de niños al total de alumnos:
Total de alumnos = \( 240 + 260 = 500 \).
\[ \dfrac{240}{500} \]
Reduce la fracción dividiendo el numerador y el denominador entre 20: \( \dfrac{12}{25} \). La proporción es 12:25.
Pregunta 6
Si Tim almorzó por $50.50 y dejó una propina del 20%, ¿cuánto gastó en total?
Ver Solución
La propina es el 20% de lo que pagó por el almuerzo. Calcula la propina:
\[ \text{Propina} = 20\% \text{ de } 50.50 = \left( \dfrac{20}{100} \right) \times 50.50 = 10.10 \]
Suma la propina al costo original del almuerzo:
\[ \text{Total} = 50.50 + 10.10 = \mathbf{\$60.60} \]
Pregunta 7
Encuentra \( k \) si \( \dfrac{64}{k} = 4 \).
Ver Solución
La división está relacionada con la multiplicación. La ecuación se puede reescribir como una multiplicación:
\[ 64 = 4k \]
Reescribe esta multiplicación de nuevo como una división para resolver para \( k \):
\[ k = \dfrac{64}{4} = \mathbf{16} \]
Pregunta 8
¿Qué es \( x \) si \( x + 2y = 10 \) y \( y = 3 \)?
Ver Solución
Sustituye \( y = 3 \) en la ecuación:
\[ x + 2(3) = 10 \]
\[ x + 6 = 10 \]
Resta 6 de ambos lados para aislar \( x \):
\[ x = \mathbf{4} \]
Pregunta 9
Una compañía telefónica cobra una tarifa inicial de $0.50 y luego $0.11 por cada minuto adicional. Escribe una expresión que dé el costo \( C \) de una llamada que dura \( N \) minutos.
Ver Solución
El costo \( C \) consiste en una tarifa inicial fija ($0.50) y una tarifa variable ($0.11 multiplicado por el número de minutos, \( N \)).
\[ C = \mathbf{0.50 + 0.11N} \]
Pregunta 10
Un coche rinde 40 kilómetros por galón de gasolina. ¿Cuántos galones de gasolina necesitaría el coche para recorrer 180 kilómetros?
Ver Solución
Por cada 40 kilómetros, se necesita 1 galón. Divide la distancia total por la distancia por galón para encontrar el número de segmentos de 40 km:
\[ \dfrac{180}{40} = 4.5 \]
El coche necesitaría 4.5 galones de gasolina.
Pregunta 11
Una máquina llena 150 botellas de agua cada 8 minutos. ¿Cuántos minutos tardará esta máquina en llenar 675 botellas?
Ver Solución
Primero, encuentra cuántos grupos de 150 botellas caben en 675:
\[ \dfrac{675}{150} = 4.5 \text{ grupos} \]
Dado que cada grupo requiere 8 minutos, multiplica el número de grupos por 8:
\[ 4.5 \times 8 = \mathbf{36 \text{ minutos}} \]
Pregunta 12
Un coche viaja a una velocidad de 65 millas por hora. ¿Qué distancia recorrerá en 5 horas?
Ver Solución
Usa la fórmula de distancia:
\[ \text{Distancia} = \text{Tiempo} \times \text{Velocidad} \]
\[ \text{Distancia} = 5 \times 65 = \mathbf{325 \text{ millas}} \]
Pregunta 13
Un rectángulo \( A \) con una longitud de 10 centímetros y un ancho de 5 centímetros es similar a otro rectángulo \( B \) cuya longitud es de 30 centímetros. Encuentra el área del rectángulo \( B \).
Ver Solución
Dado que los rectángulos son similares, la proporción de sus lados correspondientes es igual:
\[ \dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{W_2}{W_1} \]
\[ \dfrac{30}{10} = \dfrac{W_2}{5} \]
\[ 3 = \dfrac{W_2}{5} \quad \Rightarrow \quad W_2 = 15 \text{ cm} \]
Ahora encuentra el área del rectángulo \( B \):
\[ \text{Área}_B = 30 \times 15 = \mathbf{450 \text{ cm}^2} \]
Pregunta 14
Una escuela tiene 10 clases con el mismo número de estudiantes en cada clase. Un día, el clima era malo y muchos estudiantes faltaron. Cinco clases estaban a la mitad de su capacidad, tres clases estaban \( \frac{3}{4} \) llenas y \( \frac{1}{8} \) de los estudiantes en las últimas dos clases estuvieron ausentes. Un total de 70 estudiantes faltaron. ¿Cuántos estudiantes están registrados en esta escuela?
Ver Solución
Sea \( x \) el número de estudiantes registrados en una clase. Necesitamos expresar los estudiantes ausentes como fracciones de \( x \):
- 5 clases están a la mitad de su capacidad (lo que significa que \( \frac{1}{2} \) faltaron): \( 5 \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{5}{2}x \)
- 3 clases están \( \frac{3}{4} \) llenas (lo que significa que \( \frac{1}{4} \) faltaron): \( 3 \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{4}x \)
- 2 clases tienen \( \frac{1}{8} \) ausentes: \( 2 \times \left(\dfrac{1}{8}x\right) = \dfrac{2}{8}x = \dfrac{1}{4}x \)
Iguala la suma de las ausencias a 70:
\[ \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = 70 \]
Encuentra un denominador común (4):
\[ \dfrac{10}{4}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{14}{4}x = \dfrac{7}{2}x = 70 \]
Resuelve para \( x \):
\[ x = 70 \times \dfrac{2}{7} = 20 \text{ estudiantes por clase} \]
Como hay 10 clases, la población total de estudiantes registrados es \( 10 \times 20 = \mathbf{200 \text{ estudiantes}} \).
Pregunta 15
Un cuadrado grande está formado por 16 cuadrados unitarios congruentes dispuestos en una cuadrícula de \( 4 \times 4 \). ¿Cuál es el número total de cuadrados de cualquier tamaño ocultos dentro de la cuadrícula?
Ver Solución
Hay cuadrados de 4 dimensiones diferentes. Los contamos sistemáticamente:
- 16 cuadrados de dimensión \( 1 \times 1 \).
- 9 cuadrados de dimensión \( 2 \times 2 \).
- 4 cuadrados de dimensión \( 3 \times 3 \).
- 1 cuadrado de dimensión \( 4 \times 4 \).
Número total de cuadrados = \( 16 + 9 + 4 + 1 = \mathbf{30} \)
Pregunta 16
John le dio la mitad de sus sellos a Jim. Jim luego le dio la mitad de sus sellos a Carla. Carla le dio \( \frac{1}{4} \) de los sellos que le dieron a Thomas y se quedó con los 12 restantes. ¿Con cuántos sellos empezó John?
Ver Solución
Sea \( x \) el número de sellos con los que John empezó.
Jim recibió: \( \dfrac{1}{2}x \)
Carla recibió: \( \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{1}{4}x \)
Carla dio \( \frac{1}{4} \), lo que significa que se quedó con \( \frac{3}{4} \) de lo que recibió:
\[ \text{Carla se quedó con} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{16}x \]
Se nos dice que se quedó con 12 sellos. Así que:
\[ \dfrac{3}{16}x = 12 \]
\[ x = 12 \times \dfrac{16}{3} = \mathbf{64 \text{ sellos}} \]
Pregunta 17
Dos bolas A y B rotan a lo largo de una pista circular. La bola A hace 4 rotaciones completas en 120 segundos. La bola B hace 3 rotaciones completas en 60 segundos. Si comienzan a rotar ahora desde el mismo punto, ¿cuánto tiempo tardarán en estar en el mismo punto de partida otra vez?
Ver Solución
Primero, encuentra el tiempo que le toma a cada bola hacer una rotación completa.
Bola A: \( \dfrac{120}{4} = 30 \text{ segundos por rotación} \)
Bola B: \( \dfrac{60}{3} = 20 \text{ segundos por rotación} \)
Se encontrarán en el punto de partida en el mínimo común múltiplo (MCM) de sus tiempos de rotación.
\[ \text{MCM}(30, 20) = \mathbf{60 \text{ segundos}} \]
Pregunta 18
Un segmento tiene 3 unidades de largo. Está dividido en 9 partes iguales. ¿Qué fracción de una unidad son 2 partes del segmento?
Ver Solución
Si un segmento de 3 unidades se divide en 9 partes iguales, la longitud de 1 parte es:
\[ 1 \text{ parte} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \text{ de una unidad} \]
Por lo tanto, 2 partes equivalen a:
\[ 2 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{2}{3} \text{ de una unidad}} \]
Pregunta 19
Un coche viaja a 75 kilómetros por hora. ¿Cuántos metros recorre el coche en un minuto?
Ver Solución
Convierte kilómetros a metros y horas a minutos:
\[ 1 \text{ kilómetro} = 1000 \text{ metros} \]
\[ 1 \text{ hora} = 60 \text{ minutos} \]
Ahora, aplica las conversiones a la velocidad:
\[ 75 \text{ km/h} = \dfrac{75 \times 1000 \text{ metros}}{60 \text{ minutos}} \]
\[ = \dfrac{75000}{60} = \mathbf{1250 \text{ metros por minuto}} \]
Pregunta 20
Linda gastó \( \frac{3}{4} \) de sus ahorros en muebles. Luego gastó \( \frac{1}{2} \) de sus ahorros restantes en un refrigerador. Si el refrigerador le costó $150, ¿cuáles eran sus ahorros originales?
Ver Solución
Sea \( x \) el total de sus ahorros. Si gastó \( \frac{3}{4} \) de sus ahorros, le quedó \( \frac{1}{4} \).
Gastó la mitad de ese remanente en un refrigerador, que costó $150:
\[ \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = 150 \]
\[ \dfrac{1}{8}x = 150 \]
Multiplica ambos lados por 8:
\[ x = 150 \times 8 = \mathbf{\$1200} \]
Pregunta 21
El perímetro del cuadrado A es 3 veces el perímetro del cuadrado B. ¿Cuál es la proporción del área del cuadrado A al área del cuadrado B?
Ver Solución
Sea \( x \) la longitud del lado del cuadrado A y \( y \) la longitud del lado del cuadrado B. Sus perímetros son \( 4x \) y \( 4y \).
\[ 4x = 3(4y) \quad \Rightarrow \quad 4x = 12y \quad \Rightarrow \quad x = 3y \]
La proporción de sus áreas es:
\[ \dfrac{\text{Área}_A}{\text{Área}_B} = \dfrac{x^2}{y^2} \]
Sustituye \( x = 3y \):
\[ \dfrac{(3y)^2}{y^2} = \dfrac{9y^2}{y^2} = \mathbf{9} \] (La proporción es 9:1).
Pregunta 22
Mary quiere hacer una caja rectangular abierta. Ella comienza con un trozo de cartón cuya longitud es de 15 centímetros y su ancho es de 10 centímetros. Luego corta 4 cuadrados congruentes con lados de 3 centímetros en las cuatro esquinas y dobla por las líneas de puntos para hacer la caja. ¿Cuál es el volumen de la caja?
Ver Solución
La altura de la caja será el tamaño del cuadrado cortado (\( 3 \text{ cm} \)).
El nuevo largo es el largo original menos los dos cuadrados cortados de cada lado:
\[ \text{Largo} = 15 - 3 - 3 = 9 \text{ cm} \]
El nuevo ancho es el ancho original menos los dos cuadrados cortados de cada lado:
\[ \text{Ancho} = 10 - 3 - 3 = 4 \text{ cm} \]
Calcula el volumen:
\[ V = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{altura} = 9 \times 4 \times 3 = \mathbf{108 \text{ cm}^3} \]
Pregunta 23
Se recorta un pequeño cuadrado de lado \( 2x \) de la esquina de un rectángulo cuyo ancho es de 10 centímetros y el largo es de 20 centímetros. Escribe una expresión en términos de \( x \) para el área de la figura restante.
Ver Solución
Encuentra el área total del rectángulo original:
\[ A_{\text{rect}} = \text{largo} \times \text{ancho} = 20 \times 10 = 200 \]
Encuentra el área del pequeño cuadrado que se corta:
\[ A_{\text{cuadrado}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]
El área restante es el área del rectángulo menos el área del cuadrado:
\[ \text{Área Restante} = \mathbf{200 - 4x^2} \]
Pregunta 24
Si el área de un círculo es \( 81\pi \) pies cuadrados, encuentra su circunferencia.
Ver Solución
El área de un círculo está dada por \( \pi r^2 \):
\[ \pi r^2 = 81\pi \]
Divide ambos lados por \( \pi \):
\[ r^2 = 81 \quad \Rightarrow \quad r = 9 \text{ pies} \]
La circunferencia es \( 2\pi r \):
\[ C = 2\pi(9) = \mathbf{18\pi \text{ pies}} \]
Pregunta 25
Carla tiene 5 años y Jim es 13 años menor que Peter. Hace un año, la edad de Peter era el doble de la suma de las edades de Carla y Jim. Encuentra la edad actual de cada uno de ellos.
Ver Solución
Sea \( P \) la edad actual de Peter. Esto hace que la edad actual de Jim sea \( P - 13 \).
Hace un año, sus edades eran:
- Peter: \( P - 1 \)
- Carla: \( 5 - 1 = 4 \)
- Jim: \( (P - 13) - 1 = P - 14 \)
Plantea la ecuación basada en la condición de hace un año:
\[ P - 1 = 2 \times [4 + (P - 14)] \]
\[ P - 1 = 2(P - 10) \]
\[ P - 1 = 2P - 20 \]
Resta \( P \) y suma 20 a ambos lados:
\[ P = \mathbf{19} \]
Peter tiene 19, Jim tiene 6 (\(19 - 13\)) y Carla tiene 5.
Pregunta 26
Lisa corrió 2.4 kilómetros por la mañana y 1.75 kilómetros por la noche. Ella quiere correr un total de 6 kilómetros en un día. ¿Cuántos kilómetros más necesita correr para alcanzar su meta?
Ver Solución
Suma las distancias que ya ha corrido:
\[ 2.4 + 1.75 = 4.15 \text{ km} \]
Resta esto de su meta total:
\[ 6 - 4.15 = \mathbf{1.85 \text{ km}} \]
Pregunta 27
Una receta necesita harina y azúcar en la proporción 3:2. Si tienes 4 tazas de azúcar, ¿cuántas tazas de harina necesitas?
Ver Solución
Sea \( x \) la cantidad de harina. Plantea la proporción:
\[ \dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{2} \]
Multiplica en cruz:
\[ 2x = 12 \]
\[ x = \mathbf{6 \text{ tazas}} \]
Pregunta 28
Dos ángulos de un triángulo miden \( 47^\circ \) y \( 58^\circ \). ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?
Ver Solución
La suma de los ángulos de un triángulo es siempre \( 180^\circ \). Sea \( x \) el tercer ángulo.
\[ x + 47 + 58 = 180 \]
\[ x + 105 = 180 \]
\[ x = 180 - 105 = \mathbf{75^\circ} \]
Pregunta 29
Si \( 3x + 4 = 19 \), ¿cuál es el valor de \( x \)?
Ver Solución
Resta 4 de ambos lados:
\[ 3x = 19 - 4 \]
\[ 3x = 15 \]
Divide entre 3:
\[ x = \dfrac{15}{3} = \mathbf{5} \]
Pregunta 30
La temperatura a las 6 a. m. era de \( -4^\circ\text{C} \). Para el mediodía, la temperatura había subido en \( 11^\circ\text{C} \). Luego bajó en \( 6^\circ\text{C} \) para las 6 p. m. ¿Cuál era la temperatura a las 6 p. m.?
Ver Solución
Comienza en \( -4^\circ\text{C} \) y suma el aumento de temperatura:
\[ -4 + 11 = 7^\circ\text{C} \]
Resta el descenso de temperatura:
\[ 7 - 6 = \mathbf{1^\circ\text{C}} \]
Pregunta 31
Amira compró una chaqueta por $84 después de un 30% de descuento. ¿Cuál era el precio original?
Ver Solución
Sea \( x \) el precio original. Un 30% de descuento significa que pagó el 70% del precio original:
\[ 100\% - 30\% = 70\% \]
\[ 0.70x = 84 \]
Divide entre 0.70:
\[ x = \dfrac{84}{0.70} = \mathbf{\$120} \]
Pregunta 32
La distancia entre Harry y Kate es de 2500 metros. Kate y Harry comienzan a caminar el uno hacia el otro, y el perro de Kate comienza a correr de un lado a otro entre Harry y Kate a una velocidad de 120 metros por minuto. Harry camina a una velocidad de 40 metros por minuto, mientras que Kate camina a una velocidad de 60 metros por minuto. ¿Qué distancia habrá recorrido el perro cuando Harry y Kate se encuentren?
Ver Solución
Como caminan el uno hacia el otro, su velocidad combinada es la suma de sus velocidades individuales:
\[ \text{Velocidad Combinada} = 40 + 60 = 100 \text{ m/min} \]
El tiempo que tardan en encontrarse es la distancia dividida por su velocidad combinada:
\[ \text{Tiempo} = \dfrac{2500}{100} = 25 \text{ minutos} \]
El perro corre continuamente por esos 25 minutos a 120 metros por minuto. La distancia total que recorre el perro es:
\[ \text{Distancia} = 120 \text{ m/min} \times 25 \text{ min} = \mathbf{3000 \text{ metros}} \]