Problemas de Matemáticas de 6º Grado con Soluciones Paso a Paso

Bienvenido a nuestra colección de problemas de matemáticas de 6º grado con soluciones paso a paso y explicaciones claras. Estos problemas cuidadosamente diseñados ayudan a los estudiantes a practicar el pensamiento crítico, mejorar las habilidades de resolución de problemas y construir una base sólida en matemáticas. Perfecto para estudiantes, profesores y padres que buscan recursos efectivos de matemáticas de 6º grado.

Soluciones a los Problemas


  1. Dos números \( N \) y \( 16 \) tienen \( \text{MCM} = 48 \) y \( \text{MCD} = 8 \). Encuentra \( N \).

    Solución


    El producto de dos enteros es igual al producto de su MCM y MCD. Por lo tanto, \[ 16 \times N = 48 \times 8 \] \[ N = \dfrac{48 \times 8}{16} = 24 \]

  2. Si el área de un círculo es \( 81\pi \) pies cuadrados, encuentra su circunferencia.

    Solución


    El área está dada por \[ \pi r^2 = 81\pi \] \[ r^2 = 81 \quad \Rightarrow \quad r = 9 \] La circunferencia es \[ 2\pi r = 2\pi \times 9 = 18\pi \ \text{pies} \]

  3. Encuentra el máximo común divisor (MCD) de 24, 40 y 60.

    Solución


    Escribimos la factorización prima: \[ 24 = 2^3 \times 3 \] \[ 40 = 2^3 \times 5 \] \[ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \] \[ \text{MCD} = 2^2 = 4 \]

  4. En una escuela hay 240 niños y 260 niñas.
    a) ¿Cuál es la proporción entre el número de niñas y el número de niños?
    b) ¿Cuál es la proporción entre el número de niños y el número total de alumnos?

    Solución


    a) \[ 260 : 240 = 13 : 12 \] b) \[ 240 : (240 + 260) = 240 : 500 = 12 : 25 \]

  5. Si Tim almorzó por \$50.50 y dio una propina del 20%, ¿cuánto gastó en total?

    Solución


    \[ \text{Propina} = 20\% \times 50.50 = \dfrac{20}{100} \times 50.50 = 10.10 \] \[ \text{Total} = 50.50 + 10.10 = \$60.60 \]

  6. Encuentra \( k \) si \[ \dfrac{64}{k} = 4 \]

    Solución


    Dado que \[ \dfrac{64}{16} = 4 \] tenemos \[ k = 16 \]

  7. Pequeño John tenía \$8.50. Gastó \$1.25 en dulces y les dio a sus dos amigos \$1.20 a cada uno. ¿Cuánto le quedó?

    Solución


    \[ 1.25 + 1.20 + 1.20 = 3.65 \] \[ 8.50 - 3.65 = 4.85 \]

  8. ¿Cuál es \( x \) si \[ x + 2y = 10, \quad y = 3 \]

    Solución


    \[ x + 2(3) = 10 \quad \Rightarrow \quad x + 6 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \]

  9. Una compañía telefónica cobra \$0.50 más \$0.11 por minuto. Escribe una expresión para una llamada que dura \( N \) minutos.

    Solución


    \[ C = 0.50 + 0.11N \]

  10. Un carro recorre 40 kilómetros por galón. ¿Cuántos galones se necesitan para 180 kilómetros?

    Solución


    \[ \dfrac{180}{40} = 4.5 \quad \Rightarrow \quad 4.5 \ \text{galones} \]

  11. Una máquina llena 150 botellas cada 8 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar 675 botellas?

    Solución


    El número de grupos de 150 botellas en 675 es \[ \dfrac{675}{150} = 4.5 \] Cada grupo requiere 8 minutos, así que \[ 4.5 \times 8 = 36 \ \text{minutos} \] Por lo tanto, toma 36 minutos.

  12. Un carro viaja a 65 millas por hora. ¿Qué distancia recorre en 5 horas?

    Solución


    \[ 5 \times 65 = 325 \ \text{millas} \]

  13. Un cuadrado pequeño de lado \( 2x \) se corta de un rectángulo de \( 20 \times 10 \). Encuentra el área restante.

    Solución


    \[ A = 20 \times 10 = 200 \] \[ B = (2x)^2 = 4x^2 \] \[ \text{Restante} = 200 - 4x^2 \]

  14. Un rectángulo \( A: 10 \times 5 \) es similar al rectángulo \( B: 30 \times W_2 \). Encuentra el área de \( B \).

    Solución


    \[ \dfrac{30}{10} = \dfrac{W_2}{5} \quad \Rightarrow \quad W_2 = 15 \] \[ \text{Área} = 30 \times 15 = 450 \ \text{cm}^2 \]

  15. Una escuela tiene 10 clases iguales. 70 estudiantes están ausentes: 5 clases a media capacidad, 3 clases a tres cuartos de capacidad, 2 clases con \( \tfrac{1}{8} \) ausentes. Encuentra el total de estudiantes matriculados.

    Solución


    \[ \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{2}{8}x = 70 \] \[ \dfrac{28}{8}x = 70 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \] \[ 10 \times 20 = 200 \ \text{estudiantes} \]

  16. Un cuadrado de \( 4 \times 4 \) está formado por 16 cuadrados unitarios. Cuenta todos los cuadrados.

    Solución


    Hay cuadrados de 4 tamaños diferentes:
    1. \(16\) cuadrados de dimensión \(1 \times 1\)
    2. \(9\) cuadrados de dimensión \(2 \times 2\)
    3. \(4\) cuadrados de dimensión \(3 \times 3\)
    4. \(1\) cuadrado de dimensión \(4 \times 4\)
    En total: \[ 16 + 9 + 4 + 1 = 30 \]

  17. El perímetro del cuadrado \( A \) es 3 veces el del cuadrado \( B \). Encuentra la proporción de sus áreas.

    Solución


    \[ 4x = 12y \quad \Rightarrow \quad x = 3y \] \[ \dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{(3y)^2}{y^2} = 9 \]

  18. John dio la mitad de sus sellos a Jim, quien dio la mitad a Carla. Carla se quedó con 12 después de dar \( \tfrac{1}{4} \) a Thomas. Encuentra el número original de John.

    Solución


    \[ \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}x = 12 \] \[ \dfrac{3}{16}x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{16}{3}\times12 = 64 \]

  19. Dos pelotas: A tarda 30 segundos por rotación, B tarda 20 segundos. ¿Cuándo se volverán a encontrar en el punto de inicio?

    Solución


    \[ \text{MCM}(30,20) = 60 \ \text{segundos} \]

  20. Un segmento de 3 unidades se divide en 9 partes. ¿Qué fracción son 2 partes?

    Solución


    \[ 1 \ \text{parte} = \dfrac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad 2 \ \text{partes} = \dfrac{2}{3} \]

  21. Mary hace una caja con cartón de \( 15 \times 10 \) cortando cuadrados de 3 cm. Encuentra su volumen.

    Solución


    \[ L = 15 - 6 = 9, \quad W = 10 - 6 = 4, \quad H = 3 \] \[ V = 9 \times 4 \times 3 = 108 \ \text{cm}^3 \]

  22. Un carro viaja a 75 km/h. ¿Cuántos metros recorre en un minuto?

    Solución


    \[ 75 \times \dfrac{1000}{60} = 1250 \ \text{metros por minuto} \]

  23. Carla tiene 5. Jim es 13 años más joven que Peter. Hace un año, la edad de Peter era el doble de la suma de las edades de Carla y Jim. Encuentra sus edades actuales.

    Solución


    \[ x - 1 = 2\left( (5-1) + (x-14) \right) \] \[ x - 1 = 2(x-10) \] \[ x = 19, \quad \text{Jim} = 6, \quad \text{Carla} = 5 \]

  24. Linda gastó \( \tfrac{3}{4} \) de sus ahorros en muebles, luego la mitad del resto (\$150) en un refrigerador. Encuentra sus ahorros originales.

    Solución


    \[ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}x\right) = 150 \] \[ \dfrac{x}{8} = 150 \quad \Rightarrow \quad x = 1200 \]

  25. Harry y Kate están a 2500 m de distancia. Velocidades: Harry 40 m/min, Kate 60 m/min, perro 120 m/min. ¿Qué distancia correrá el perro?

    Solución


    \[ t = \dfrac{2500}{40+60} = 25 \ \text{minutos} \] \[ d = 120 \times 25 = 3000 \ \text{metros} \]

Referencias