Simplificar Expresiones Algebraicas Usando Términos Semejantes - 6to Grado

Esta página presenta ejemplos y preguntas de práctica para 6to grado sobre la suma y resta de términos semejantes en álgebra. Al final se proporcionan preguntas con soluciones paso a paso detalladas y explicaciones claras para ayudar a los estudiantes a dominar la simplificación de expresiones.

Repaso: Términos Semejantes y Simplificación

En una expresión algebraica, los términos semejantes son todos los términos que tienen la misma variable elevada a las mismas potencias.

Ejemplos de Términos Semejantes

1) \( 2x , \; 4x , \; x , \; \text{y } 10x \) son todos términos semejantes con coeficientes \( 2, \; 4, \; 1, \; \text{y } 10 \) respectivamente.

Nota: Los coeficientes de los términos semejantes pueden ser diferentes, pero la potencia de la variable, \( x \) en este caso, debe ser la misma.

2) En la expresión algebraica: \[ 2x + 7x - 6 + 4x^{2} - 6x , \] los términos \( 2x, \; 7x, \; \text{y } -6x \) son todos semejantes porque tienen la misma variable \( x \) elevada a la misma potencia \( 1 \).

Los términos semejantes son importantes porque se pueden sumar y restar, lo que lleva a la simplificación de expresiones algebraicas.

Sumamos y/o restamos términos semejantes sumando sus coeficientes.

Ejemplos: Simplificación de Expresiones Algebraicas

3) Simplifica, sumando y restando, la expresión: \[ 3 x + 10 + 5 x - 6 x - 4 \]

Dada \[ 3 x + 10 + 5 x - 6 x - 4\] Usa paréntesis para agrupar términos semejantes \[ = (3 x + 5 x - 6 x) + (10 - 4) \] Identifica coeficientes y saca la variable de los paréntesis (factorización) \[ = (3 + 5 - 6) x + (10 - 4) \] Suma y/o resta coeficientes y números para simplificar \[ = 2 x + 6 \]

4) Usa la propiedad distributiva, luego suma y resta para simplificar la expresión \( 2(x - 3) + 3(x + 1) \)

Usa la propiedad distributiva para expandir \( 2(x - 3) \) y \( 3(x + 1) \): \[ 2(x - 3) = (2)(x) + (2)(-3) = 2 x - 6 \] \[ 3(x + 1) = (3)(x) + (3)(1) = 3 x + 3 \]

Ahora escribimos la expresión completa usando los resultados anteriores: \[ 2(x - 3) + 3(x + 1) = 2 x - 6 + 3 x + 3 \]

Agrupa términos semejantes: \[ = (2 x + 3 x) + ( - 6 + 3 ) = ( 2 + 3) x + ( - 6 + 3 ) = 5 x - 3 \]

Nota: Todos los números reales son términos semejantes porque se pueden sumar y restar.

Resuelve las siguientes preguntas (soluciones al final de la página)


  1. ¿Cuáles son los términos semejantes y sus coeficientes en cada una de las siguientes expresiones?
    1. \( 7 x - 5 x + 6 + 3x \)
    2. \( 6 x + 11 x + 9 + x - 7 \)
    3. \( 3 x + 9 y + 9 x - y \)
    4. \( \dfrac{1}{3} x + (2/3) x - 3 \)

  2. Simplifica las siguientes expresiones.
    1. \( 2 x + x \)
    2. \( 12 x - 5 x + 11 - 4 x \)
    3. \( 9 x + 11 x + 19 - x - 7 \)
    4. \( 4 x + 8 y + 10 x - 3 y \)
    5. \( x + 5 + 3 y + 6 x - x - 2 y + 6 \)
    6. \( \dfrac{1}{2} x + \dfrac{3}{2} x + 2 \)

  3. Simplifica las siguientes expresiones e identifica las que tienen los mismos términos (expresiones equivalentes).
    1. \( 3 x + 3 + 4 x + 2 \)
    2. \( 4 x + 2 a + 6 x + 6a \)
    3. \( x + 2 + 3 x + 3 x + 3 \)
    4. \( x - x + 3 y \)
    5. \( 7 a + 10 x + a \)
    6. \( 4 x + 3 y - 4 x \)

  4. Usa la propiedad distributiva y luego simplifica las siguientes expresiones.
    1. \( 3 (x + 1) + 5 x - 4 \)
    2. \( 3 (x - 1) + 2 (x + 2) + 5 x \)
    3. \( 4 (x + 2) + 2 (y + 2) + x + 3 y \)
    4. \( 3 (\dfrac{x}{3} + 1) + 2 (\dfrac{x}{2} - 1) + 3 \)

Soluciones a las Preguntas Anteriores

  1. Solución


    Los términos semejantes tienen la misma variable elevada a la misma potencia. Por lo tanto:
    1. En la expresión \( 7x - 5x + 6 + 3x \), los términos \( 7x \), \( -5x \), y \( 3x \) son términos semejantes. Los coeficientes de los términos semejantes \( 7x \), \( -5x \), y \( 3x \) son \( 7 \), \( -5 \), y \( 3 \) respectivamente.
    2. En la expresión \( 6x + 11x + 9 + x - 7 \), los términos \( 6x \), \( 11x \), y \( x \) son términos semejantes; \( 9 \) y \( -7 \) son números y por lo tanto términos semejantes. Los coeficientes de los términos semejantes \( 6x \), \( 11x \), y \( x \) son \( 6 \), \( 11 \), y \( 1 \) respectivamente. Los números son \( 9 \) y \( -7 \).
    3. En la expresión \( 3x + 9y + 9x - y \), hay dos grupos de términos semejantes: 1) \( 3x \) y \( 9x \) son términos semejantes. 2) \( 9y \) y \( -y \) son términos semejantes. Los coeficientes de los términos semejantes \( 3x \) y \( 9x \) en el grupo (1) son \( 3 \) y \( 9 \) respectivamente. Los coeficientes de los términos semejantes \( 9y \) y \( -y \) en el grupo (2) son \( 9 \) y \( -1 \) respectivamente.
    4. En la expresión \( \tfrac{1}{3}x + \tfrac{2}{3}x - 3 \), los términos \( \tfrac{1}{3}x \) y \( \tfrac{2}{3}x \) son términos semejantes, y sus coeficientes son \( \tfrac{1}{3} \) y \( \tfrac{2}{3} \) respectivamente.

  2. Solución

    Para simplificar expresiones algebraicas, primero agrupamos y luego sumamos y/o restamos los coeficientes de los términos semejantes (ver ejemplos arriba).
    1. Dada: \( 2x + x \)
      Identifica coeficientes y factoriza: \( (2 + 1)x \)
      Simplifica: \( 3x \)
    2. Dada: \( 12x - 5x + 11 - 4x \)
      Agrupa términos semejantes: \( (12x - 5x - 4x) + 11 \)
      Factoriza \(x\): \( (12 - 5 - 4)x + 11 \)
      Simplifica: \( 3x + 11 \)
    3. Dada: \( 9x + 11x + 19 - x - 7 \)
      Agrupa términos semejantes: \( (9x + 11x - x) + (19 - 7) \)
      Factoriza \(x\): \( (9 + 11 - 1)x + (19 - 7) \)
      Simplifica: \( 19x + 12 \)
    4. La expresión dada tiene dos variables: \( 4x + 8y + 10x - 3y \)
      Agrupa términos semejantes: \( (4x + 10x) + (8y - 3y) \)
      Factoriza \(x\) y \(y\): \( (4 + 10)x + (8 - 3)y \)
      Simplifica: \( 14x + 5y \)
    5. La expresión dada tiene dos variables: \( x + 5 + 3y + 6x - x - 2y + 6 \)
      Agrupa términos semejantes: \( (x + 6x - x) + (3y - 2y) + (5 + 6) \)
      Factoriza \(x\) y \(y\): \( (1 + 6 - 1)x + (3 - 2)y + (5 + 6) \)
      Simplifica: \( 6x + y + 11 \)
    6. La expresión dada tiene fracciones: \( \tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2}x + 2 \)
      Agrupa términos semejantes: \( \left(\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2}x\right) + 2 \)
      Factoriza \(x\): \( \left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2}\right)x + 2 \)
      Simplifica: \( \tfrac{4}{2}x + 2 = x + 2 \)

  3. Solución


    Primero simplificamos las expresiones dadas (ver ejercicio 2 arriba).
    1. \(3x + 3 + 4x + 2 = (3x + 4x) + (3 + 2) = (3 + 4)x + (3 + 2) = 7x + 5\)
    2. \(4x + 2a + 6x + 6a = (4x + 6x) + (2a + 6a) = (4 + 6)x + (2 + 6)a = 10x + 8a\)
    3. \(x + 2 + 3x + 3x + 3 = (x + 3x + 3x) + (2 + 3) = (1 + 3 + 3)x + (2 + 3) = 7x + 5\)
    4. \(x - x + 3y = (1 - 1)x + 3y = 0x + 3y = 0 + 3y = 3y\)
    5. \(7a + 10x + a = (7a + a) + 10x = (7 + 1)a + 10x = 8a + 10x\)
    6. \(4x + 3y - 4x = (4x - 4x) + 3y = (4 - 4)x + 3y = 0x + 3y = 0 + 3y = 3y\)

    Conclusión:
    Las expresiones en los incisos a) y c) son equivalentes;
    las expresiones en los incisos b) y e) son equivalentes;
    y las expresiones en los incisos d) y f) son equivalentes.

  4. Solución

    Primero usamos la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis y luego simplificamos.
    1. Dada: \( 3 (x + 1) + 5x - 4 \)
      Usa la propiedad distributiva para multiplicar: \( = (3)(x) + (3)(1) + 5x - 4 \)
      Multiplica y simplifica: \( = 3x + 3 + 5x - 4 \)
      Usa paréntesis para agrupar términos semejantes: \( = (3x + 5x) + (3 - 4) \)
      Identifica coeficientes y factoriza \( x \): \( = (3 + 5)x + (3 - 4) \)
      Simplifica: \( = 8x - 1 \)
    2. Dada: \( 3 (x - 1) + 2 (x + 2) + 5x \)
      Usa la propiedad distributiva para multiplicar: \( = (3)(x) + (3)(-1) + (2)(x) + (2)(2) + 5x \)
      Multiplica y simplifica: \( = 3x - 3 + 2x + 4 + 5x \)
      Usa paréntesis para agrupar términos semejantes: \( = (3x + 2x + 5x) + (-3 + 4) \)
      Identifica coeficientes y factoriza \( x \): \( = (3 + 2 + 5)x + (-3 + 4) \)
      Simplifica: \( = 10x + 1 \)
    3. Dada: \( 4 (x + 2) + 2 (y + 2) + x + 3y \)
      Usa la propiedad distributiva para multiplicar: \( = (4)(x) + (4)(2) + (2)(y) + (2)(2) + x + 3y \)
      Multiplica y simplifica: \( = 4x + 8 + 2y + 4 + x + 3y \)
      Usa paréntesis para agrupar términos semejantes: \( = (4x + x) + (2y + 3y) + (8 + 4) \)
      Identifica coeficientes y factoriza variables: \( = (4 + 1)x + (2 + 3)y + (8 + 4) \)
      Simplifica: \( = 5x + 5y + 12 \)
    4. Dada: \( 3 \left(\dfrac{x}{3} + 1\right) + 2 \left(\dfrac{x}{2} - 1\right) + 3 \)
      Usa la propiedad distributiva para multiplicar: \( = (3)\left(\dfrac{x}{3}\right) + (3)(1) + (2)\left(\dfrac{x}{2}\right) + (2)(-1) + 3 \)
      Multiplica y simplifica: \( = \dfrac{3x}{3} + 3 + \dfrac{2x}{2} - 2 + 3 \)
      Usa paréntesis para agrupar términos semejantes: \( = \left(\dfrac{3x}{3} + 3 + \dfrac{2x}{2}\right) + (3 - 2 + 3) \)
      Identifica coeficientes y factoriza \( x \): \( = \left(\dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{2}\right) x + (3 - 2 + 3) \)
      Simplifica: \( = (1 + 1) x + 4 = 2x + 4 \)

Más Referencias y Enlaces