A) (5 + 4) + 1 = 5 + (4 + 1) : asociatividad de la suma
B) 2( 4 + 7 ) = 2 × 4 + 2 × 7 : distributividad
C) 11 + 9 = 9 + 11 : conmutatividad de la suma
D) 33 + 0 = 33 : identidad de la suma
E) 5 × 1 = 5 : identidad de la multiplicación
F) 9 × 6 = 6 × 9 : conmutatividad de la multiplicación
G) ( 7 - 2 ) 6 = 7 × 6 - 2 × 6 : distributividad
H) 3 × 6 - 3 × 2 = 3 (6 - 3) : distributividad a la inversa (factoring)
2,3,5,7,11 son números primos
Cientos
a) (9-3) + 2 = 6 + 2 = 8
b) 7 - (5-2) = 7 - 3 = 4
c) (3 + 7) × 3 = 10 × 3 = 30
d) (8 - 2) × 3 = 6 × 3 = 18
8 \( \)\( \)\( \)
Reglas
1) Si el dígito en las décimas es menor que 5 , elimine todos los dígitos después del punto decimal sin cambiar el dígito de las unidades.
2) Si el dígito de las décimas es igual a 5 o más, elimine todos los dígitos después del punto decimal y agregue 1 el dígito de las unidades.
a) 0,41 redondeado al número entero más cercano es igual a \( \color{red}0 \) porque el primer dígito después del punto decimal es igual a 4 y por lo tanto menor que 5 (regla 1 anterior)
b) 1,2999 redondeado al número entero más cercano es igual a \( \color{red}1 \) porque el primer dígito después del punto decimal es igual a 2 y, por lo tanto, menor que 5 (regla 1 anterior)
c) 123,5 redondeado al número entero más cercano es igual a \( \color{red}{124} \) porque el primer dígito después del punto decimal es igual a 5 y por lo tanto mayor o igual a 5 (regla 2 anterior)
a) 0,1 > 0,3 : falso
b) 1,2 < 1,3 : verdadero
c) 0,5 < 0,05 : falso
a) 0,4 × 3 = 1,2
b) 8 - 3 × 0,2 = 7,4
c) 0,5 ÷ 5 = 0,1
2 - Factores, Múltiplos y Divisibilidad de Números
Soluciones
Los factores de 8 son: 1,2,4,8
Los factores de 12 son: 1,2,3,4,6,12
Los factores comunes de 8 y 12 son: 1, 2, 4
El mayor de los factores comunes anteriores es: 4
Por lo tanto, el MCD de 8 y 12 es igual a \( \color{red}4 \).
Los múltiplos de 3 son: \( 3, 6, 9, 12, 15, 18, \color{red}{21} , 24 , 27 , ...\)
Los múltiplos de 7 son: \( 7, 14, \color{red}{21} , 28 , ... \)
El común y el mínimo común múltiplo de 3 y 7 es igual a 21 .
a) \( 12\color{red}5 \) y c) \( 20\color{red}0 \) son divisibles por \( 5 \).
b) \( 28\color{red}0 \) y c) \( 47\color{red}6 \) son divisibles por \( 2 \).
a) La suma de los dígitos en \( 105 \) está dada por: \( 1+0+5 = \color{red}6\)
\( \color{red}6 \) es divisible por \( 3 \) y por lo tanto el número dado \( 105 \) es divisible por \( 3 \).
b) La suma de los dígitos en \( 101 \) está dada por: \( 1+0+1 = \color{red}2 \)
\( \color{red}2 \) NO es divisible por \( 3 \) y por lo tanto el número dado \( 101 \) NO es divisible por \( 3 \).
c) La suma de los dígitos en \( 234 \) está dada por: \( 2+3+4 = \color{red}9 \)
\( \color{red}9 \) es divisible por \( 3 \) y por lo tanto el número dado \( 234 \) es divisible por \( 3 \).
3 - Fracciones y Números Mixtos
Soluciones
b) \( \displaystyle \frac{10}{3} \) y c) \( \displaystyle \frac{3}{3} \) son fracciones impropias.
a) \( \displaystyle \frac{7}{5} = \frac{5+2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = 1\frac{2}{5} \)
b) \( \displaystyle \frac{8}{3} = \frac{3+3+2}{3} \\~\\ \qquad = \frac{3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = 1 + 1+ \frac{2}{3} \\~\\ \qquad = 2\frac{2}{3} \)
c) \( \displaystyle \frac{9}{2} = \frac{2+2+2+2+1}{2} \\~\\ \qquad = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \\~\\ \qquad = 1+1+1+1+ \frac{1}{2} = 4\frac{1}{2}\)
a)
Las fracciones dadas tienen denominadores conocidos \( 2 \) y \( 4\): necesitamos multiplicar el denominador \( 2 \) por \( 2 \) para obtener el denominador \( 4 \)
Por eso
Multiplica el numerador y el denominador de la fracción \( \displaystyle \frac{1}{2} \) por \( 2 \) para obtener una fracción equivalente \( \displaystyle \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{\color{rojo}2}{4} \)
Para que los pares de fracciones dados sean equivalentes, el numerador que falta debe ser igual a \( \color{red}2 \)
b)
Las fracciones dadas tienen numeradores conocidos \( 2 \) y \( 6\): necesitamos multiplicar el numerador \( 2 \) por \( 3 \) para obtener el numerador \( 6 \)
Por eso
Multiplica el numerador y el denominador de la fracción \( \displaystyle \frac{2}{5} \) por \( 3 \) para obtener una fracción equivalente \( \displaystyle \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{\color{rojo}{15}} \)
Para que los pares de fracciones dados sean equivalentes, el denominador faltante debe ser igual a \( \color{red}{15} \)
c)
Las fracciones dadas tienen denominadores conocidos \( 3 \) y \( 9\): necesitamos multiplicar el denominador \( 3 \) por \( 3 \) para obtener el denominador \( 9 \)
Por eso
Multiplica el numerador y el denominador de la fracción \( \displaystyle \frac{1}{3} \) por \( 3 \) para obtener una fracción equivalente \( \displaystyle \frac{1 \times 3}{3 \times 3} = \frac{\color{rojo}3}{9} \)
Para que los pares de fracciones dados sean equivalentes, el numerador que falta debe ser igual a \( \color{red}3 \)
a)
Las fracciones en la expresión tienen el mismo denominador y por lo tanto evaluamos restando los numeradores y manteniendo el mismo denominador de la siguiente manera
\( \displaystyle \frac{4}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4-1}{10} = \frac{3}{10} \)
b)
Reescribe la fracción \( \frac{1}{2} \) con el denominador \( 4 \) multiplicando su numerador y denominador por \( 2 \)
\( \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2 } + \frac{3}{4} \)
Simplificar
\( = \frac{2}{4 } + \frac{3}{4} \)
Ahora que las fracciones tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores y evaluamos de la siguiente manera
\( = \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4} \)
c)
Regla de multiplicación de fracciones: Multiplica numeradores entre sí y numeradores entre sí.
\( \displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \times 2}{2 \times 3} \)
Simplificar
\( = \frac{2}{6} \)
d)
Regla de división de fracciones: multiplicar las primeras fracciones por el recíproco de la segunda fracción.
\( \displaystyle \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} \)
Aplicar la regla de multiplicación de fracciones y simplificar.
\( = \frac{3 \times 2}{4 \times 1} = \frac{6}{4}\)
e)
Reescribe \( 3 \) como una fracción \( 3 = \frac{3}{1} \)
\( \displaystyle \frac{3}{4} \div 3 = \frac{3}{4} \div \frac{3}{1} \)
Usa la regla de división de fracciones.
\( = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} \)
Usa la regla de multiplicación de fracciones.
\( = \frac{3 \times 1}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \)
f)
Reescribe \( 2 \) como una fracción \( 2 = \frac{2}{1} \)
\( \displaystyle 2 \times \frac{2}{6} = \frac{2}{1} \times \frac{2}{6} \)
Usa la regla de multiplicación
\( = \frac{4}{6} \)
g)
Suma las partes enteras de los números mixtos y las fracciones por separado.
\( \displaystyle 1\frac{1}{4} + 2\frac{1}{4} = (1 + 2 ) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = 3\frac{2}{4} \)
h)
Restar las partes enteras de los números mixtos y las fracciones por separado.
\( \displaystyle 3\frac{2}{5} - 1 \frac{1}{5} = (3-1) + (\frac{2}{5} - \frac{1}{5}) = 3 \frac{1}{5}\)
a) \( \displaystyle \frac{7}{10} = 7 \div 10 = 0.7 \)
b) \( \displaystyle \frac{17}{100} = 17 \div 100 = 0.17\)
a) \( \displaystyle 1\frac{1}{4} \)
b) \( \displaystyle \frac{1}{4} \)
c) \( \displaystyle 3\frac{3}{8} \)
4 - Exponentes
Soluciones
a) \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 \)
b) Cinco cuadrados : \( 5^2 \)
c) \( 4\) en cubos : \( 4^3 \)
d) \( 6\) a la séptima potencia : \( 6^7 \)
a) \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)
b) \( 1^5 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1\)
c) \( 4^2 = 4 \times 4 = 16\)
d) \( 1000^0 = 1 \) (Cualquier número distinto de cero elevado a \( 0 \) es igual a \( 1 \)
5 - Ratios y tasas
Soluciones
a) \( 2:3 \) b) \( 3:2 \) c) \( 3:5 \)
a) \( 11:8 \) b) \( 8:19 \)
Por lo tanto, si \( x \) es el número de niños del total de \( 600 \) estudiantes, entonces \( 3 x \) es el número de niñas del total de \( 600 \) estudiantes.
El número total de niños y niñas es \( 600 \), por lo tanto podemos escribir la ecuación
\( x + 3x = 600 \)
Agrupar términos semejantes en el lado izquierdo de la ecuación.
\( 4x = 600 \)
Divide ambos lados de la ecuación por \(4\)
\( 4x \div 4 = 600 \div 4 \)
Simplificar
\( x = 600 \div 4 = 150 \) los estudiantes son niños.
Comprueba si la respuesta al problema tiene sentido
El número de niñas es \( 3 x = 3 \times 150 = 450 \)
Por tanto, el número total de niños y niñas es igual a \(150 + 450 = 600 \), que es exactamente lo que se da.
6 - Porcentaje y problemas relacionados
Soluciones
7 - Convertir unidades de medida
Soluciones
Divide ambos lados de la igualdad dada \( \quad 1 \text{ hl} = 100 \text{ L} \quad \) por \( 100 \) y simplifica para obtener otra igualdad escrita como \( \quad 1\text{ L} = \frac{1}{100} \text{ hl} \)
Convertimos de la siguiente manera
\( 320 \text{ L} = 320 \times \frac{1}{100} \text{ hl} = \frac{320}{100} \text{ hl} = 3.2 \text{ hl} \)
Divide ambos lados de la igualdad dada \( \quad 1 \text{ m} = 1000 \text{ mm} \quad \) por \( 1000 \) y simplifica para obtener otra igualdad escrita como \( \quad \frac{1 }{1000} \text{ m} = 1\text{ mm} \)
Convertir
\( 234500 \text{ mm} = 234500 \times \frac{1}{1000} \text{ m} = \frac{234500}{1000} \text{ m} = 234.5 \text{ m}\)
Divide ambos lados de la igualdad dada \( \quad 1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \quad \) por \( 1000 \) para obtener la igualdad \( \quad 1 \text{ m} = \frac{1}{1000} \text{ km} \)
De ahí la conversión
\( 2300 \text{ m} = 2300 \times \frac{1}{1000} \text{ km} = 2.3 \text{ km}\)
\( 1.2 \text{ L} = 1.2 \times 1000 \text{ mL} = 1200 \text{ mL} \)
Divide ambos lados de la igualdad dada \( \quad 1 \; \text{hr} = 3600 \; \text{sec} \quad \) por \( 3600 \) y reescribelo como
\( \quad 1 \text{ seg} = \frac{1}{3600} \; \text{ horas} \)
Por eso
\( 7200 \text{ sec} = 7200 \times \frac{1}{3600} \; \text{hrs} = \frac{7200}{3600} \; \text{ hrs} = 2 \text{ hrs} \)
Divide ambos lados de la igualdad dada \( \quad 1 \text{ mi} = 1760 \text{ yd} \quad \) por \( 1760 \) para obtener la igualdad
\( \quad 1 \text{ yd} = \frac{1}{1760} \text{ mi} \)
Por eso
\( 2640 \text{ yds} = 2640 \times \frac{1}{1760} \text{ mi} = \frac{2640}{1760} \text{ mi} = 1.5 \text{ mi} \)
\( 3 \text{ m} = 3 \times 39.37 \text{ in} = 118.11 \text{ in}\)
8 - Expresiones matemáticas
Soluciones
Sustituye \( x \) por \( 0,2 \) en la expresión dada
\( \; x + 2 \; = 0,2 + 2 = 2,2 \)
Sustituye \( x \) por \( 3 \) en la expresión dada
\( \; 2 (x + 2) \; = 2 (3 + 2) = 2 (5) = 2 \times 5 = 10 \)
Sustituye \( a \) y \( b \) por \( 3 \) y \( 2 \) respectivamente en la expresión dada
\( a - b = 3 - 2 = 1 \)
Sustituye \( x \) por \( 6 \) en la expresión dada
\( \; \displaystyle \frac{2 x}{3} = \frac{2 \times 6}{3} = \frac{12}{3} =4 \)
a) \( x - 3 \)
b) \( 5(x+2) \)
c) \( (2x +1)^2 \)
d) \( 3 (x+1) = 2 \).
a) \( 3 \lt x \)
b) \( 5 \ge x \)
c) \( y \le 9 \)
d) \( x - 2 \le - 2 \).
a) \( 2(x + 4) = 2 \times x + 2 \times 4 \\~\\ \qquad = 2x + 8\)
b) \( 3 (a + b +2) = 3 \times a + 3 \times b + 3 \times 2 \\~\\ \qquad = 3a + 3b + 6 \)
c) \( \displaystyle \frac{1}{4}( 8 x + 4) = \frac{1}{4} \times 8 x + \frac{1}{4} \times 4 \\~\\ \qquad = \frac{8}{4} \times x + \frac{4}{4} = 2 x + 1\)
d) \( 0,2 (x + 2) = 0,2 \times x + 0,2 \times 2 \\~\\ \qquad = 0,2 x + 0,4 \)
Los factores de \( 9 \) son: \( 1, \color{red}3, 9 \)
Los factores de \( 6 \) son: \( 1, 2, \color{red}3, 6 \)
El máximo común divisor (MCD) de \( 9 \) y \( 6 \) es \( \color{red}3 \)
b)
\( 9 = \color{red}3 \times 3 \)
\( 6 = \color{red}3 \times 2 \)
c)
\( 9 x + 6 = \color{red}3 \times 3 \times x + \color{red}3 \times 2\)
Utilice la propiedad distributiva a la inversa (es decir, \( \color{red}{a \times x + a \times y = a(x + y)} \) ) para factorizar la expresión dada.
\( 9 x + 6 = \color{red}3 \times 3 \times x + \color{red}3 \times 2 = \color{red}3 (3 x + 2)\)
9 - Ecuación con una variable y problemas relacionados
Soluciones
a)
Dada la ecuación \( x + 2 = 8\)
Resta \( 2 \) de ambos lados de la ecuación
\( x + 2 \color{rojo}{- 2} = 8 \color{rojo}{- 2} \)
Simplificar
\( x = 6 \quad \) es la solución de la ecuación dada.
b) Dada la ecuación \( 2 x = 6 \)
Divide ambos lados de la ecuación por \( 2 \)
\( 2 x \color{rojo}{\div 2} = 6 \color{rojo}{\div 2} \)
Simplificar
\( x = 3 \quad \) es la solución de la ecuación dada.
c)
Dada la ecuación \( x - 3 = 7 \)
Suma \( 3 \) de ambos lados de la ecuación
\( x - 3 \color{rojo}{+3} = 8 \color{rojo}{+3} \)
Simplificar
\( x = 11 \quad \) es la solución de la ecuación dada.
a)
La fórmula del perímetro \( P \) de un jardín rectangular de largo \( L \) y ancho \( W \) viene dada por
\( P = 2 \times L + 2 \times W\)
Sustituimos \( L, W \) y \( P \) por los dados \( L = 3 \), \( W = x \) y \( P = 10 \) en la fórmula anterior
\( 10 = 2 \times 3 + 2 \times x \)
Simplifica y reescribe como
\( 2 x + 6 = 10\)
b)
Resta \( 6 \) de ambos lados de la ecuación
\( 2 x + 6 \color{red}{- 6} = 10 \color{red}{- 6}\)
Simplificar
\(2 x = 4 \)
Divide ambos lados de la ecuación por \(2\)
\( 2 x \color{red}{\div 2} = 4 \color{red}{\div 2}\)
Simplificar
\( x = 2 \) es el ancho del jardín rectangular, por lo tanto \( W = 2 \)
c)
Una forma de comprobar nuestros cálculos es calcular el perímetro del jardín rectangular.
\( P = 2 \times L + 2 \times W \\ \qquad = 2 \times 3 + 2 \times 2 = 6 + 4 = 10 \)
que corresponde al perímetro dado \( P = 10 \ ).
10 - Plano de coordenadas
Soluciones
a) \( (0,1) \) está ubicado en el lado positivo del eje y
b) \( (-2,-3) \) se encuentra en el cuadrante 3
c) \( (2,9) \) se ubica en el cuadrante 1
d) \( (-4,6) \) se encuentra en el cuadrante 2
e) \( (3,-4) \) se ubica en el cuadrante 4
f) \( (-3,0) \) está ubicado en el lado negativo del eje x
\( A = (-1,1) \)
\( B = (0,-1) \)
\( C = (2,0) \)
\( D = (3,1) \)
\( E = (-2,-1) \)
\( F= (3,-2) \)
\( G = (0,3) \)
\( H = (0,0) \)
a) Para \( t = 0 \) , \( d = 0 \)
Para \( t = 1 \) hora , \( d = 5 \) km
Para \( t = 2 = 1 + 1 \) horas , \( d = 5 + 5 = 10 \) km
Para \( t = 3 = 1 + 1 + 1 \) horas , \( d = 5 + 5 + 5 = 15 \) km
Para \( t = 4 = 1 + 1 + 1 + 1 \) horas , \( d = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 \) km
Para \( t = 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \) horas , \( d = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25 \) km .
b) Los puntos de la tabla anterior se trazan a continuación y se unen para formar una línea.
.
11 - Desigualdades
Soluciones
A continuación se muestra la recta numérica con los valores involucrados en las desigualdades dadas.
Al comparar dos números usando el número, el número de la izquierda es menor que el número de la derecha
a) \( -4 \lt 0 \) , verdadero porque \( -4 \) está a la izquierda de \( 0 \)
b) \( 0 \gt 4 \) , falso porque \( 0 \) está a la izquierda de \( 4 \)
c) \( -6 \lt -4 \) , verdadero porque \( -6 \) está a la izquierda de \( -4 \)
d) \( -6 \gt 5 \) , falso porque \( -6 \) está a la izquierda de \( 5 \)
e) \( 0 \lt 6 \) , verdadero porque \( 0 \) está a la izquierda de \( 6 \)
12 - Geometría
Soluciones
La suma de todos los ángulos internos de un triángulo es igual a
b) \( 180^{\circ} \).
En la figura dada, los ángulos \( \angle AOB \) y \( \angle BOC \) son
b) Suplementario.
a) \( \angle AOB \; \text{and} \; \angle DOF \quad \) , NO ángulos verticales
b) \( \angle BOC \; \text{and} \; \angle EOF \quad \) , Ángulos verticales
c) \( \angle COD \; \text{and} \; \angle FOB \) , NO ángulos verticales
d) \( \angle FOB \; \text{and} \; \angle COE \quad \) , Ángulos verticales
e) \( \angle AOC \; \text{and} \; \angle DOE \quad \) , NO ángulos verticales
f) \( \angle BOD \; \text{and} \; \angle EOA \) , Ángulos verticales
a) Pentágono: 5 lados
b) Trapezoide: 4 lados
c) Triángulo: 3 lados
c) Cometa: 4 lados
b) Dos ángulos son iguales y los lados opuestos a los ángulos iguales son iguales.
\( \text{Perimeter} = 2 \times \text{length} + 2 \times \text{width} = 2 \times 10 + 2 \times 5 = 20 + 10 = 30 \) cm
\( Area = 3.14 \times \text{radius}^2 = 3.14 \times (1)^2 = 3.14 \) square meters.
Como ABCD es un rectángulo, ADE es un triángulo rectángulo. El área de la superficie sombreada se puede calcular restando el área del triángulo rectángulo ADE del área del rectángulo ABCD.
Área del triángulo rectángulo ADE \( \quad = \frac{1}{2} \times \overline{DE} \times \overline{AD} = \frac{1}{2} \times 2 \times 7 = 7 \) centímetros cuadrados
Área del rectángulo ABCD \( \quad = \overline{AB} \times \overline{AD} = 10 \times 7 = 70 \) centímetros cuadrados
Área de la superficie sombreada = Área del rectángulo ABCD - Área del triángulo rectángulo ADE \( \quad = 70 - 7 = 63 \) centímetros cuadrados
Tenga en cuenta que la región sombreada cuyo área se calcula arriba es un trapezoide y su área se puede calcular usando la fórmula para el área de un trapezoide.
13 - Figuras tridimensionales
Soluciones
Número de caras \( \quad = 1 + 1 + 4 = 6 \)
a)
Área de los rectángulos ABCD \( \quad = 6 \times 4 = 24 \) unidades al cuadrado
Área de los rectángulos ADHE \( \quad = 4 \times 10 = 40 \) unidades al cuadrado
Área de los rectángulos DCGH \( \quad = 6 \times 10 = 60 \) unidades al cuadrado
b)
El área de la superficie \( A \) del prisma rectangular es igual al DOBLE de la suma de las áreas de los rectángulos ABCD, ADHE y DCGH.
\( A = 2 \times (24+40+60) = 248 \) unidades al cuadrado
c)
Volumen \( \quad = 6 \times 4 \times 10 = 240 \) unidades al cubo
El volumen está dado por el producto del área \( a \) del triángulo rectángulo ABC y la longitud del prisma \( \overline{AF} \)
De ahí la ecuación
\( 24 = a \times \overline{AF} \)
El área \( a \) del triángulo rectángulo ABC \( \quad = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \)
Sustituye \( a \) por su valor en la ecuación
\( 24 = 6 \; \overline{AF} \)
Divide ambos lados de la ecuación por \( 6 \) y resuelve para \( \overline{AF} \) para obtener
\( \overline{AF} = 4\)
El área total de la superficie está dada por la suma de las áreas de las 5 caras: los dos triángulos rectángulos y los 3 rectángulos.
El área de superficie total \( \quad = (6 + 6) + (4 \times 4 + 3 \times 4 + 5 \times 4) = 60 \) unidades al cuadrado
14 - Datos y gráficos
Soluciones
Número de horas por día
Lunes: 3 horas
Martes: 3 horas
Miércoles: 2 horas
Jueves: 4 horas
Viernes: 3 horas
Número total de horas \( \quad = 3 + 3 + 2 + 4 + 3 = 15 \)
a)
Del histograma, \( 3 \) estudiantes obtuvieron puntuaciones en el rango 90-99.
b)
Del histograma, \( 7 \) estudiantes obtuvieron puntajes en el rango 80-89 y \( 4 \) estudiantes obtuvieron puntajes en el rango 60-69.
Por eso
\( 7 - 4 = 3 \) más estudiantes obtuvieron calificaciones en el rango 80-89 que estudiantes que obtuvieron calificaciones en el rango 60-69.
15 - Estadísticas
Soluciones
Valor de datos más grande \( \; = 7 \)
Valor de datos más pequeño \( \; = 1 \)
rango = Valor de datos más grande - Valor de datos más pequeño \( \; = 7 - 1 = 6 \)
media \( \displaystyle = \frac{1 + 4 + 2 + 2 + 3 + 2 + 7}{7} = \frac{21}{7} = 3 \)
moda = los datos con mayor frecuencia de repetición \( \; = 2 \) (mencionado 3 veces)
Ordene los valores de los datos de menor a mayor \[ \{ 1 , 2 , 2 , \color{rojo}2 , 3 , 4 , 7 \} \] la mediana es el valor de datos que se encuentra en el medio (rojo) de los valores de datos ordenados \( \; = 2 \)
16 - Probabilidades
Soluciones
b) -0,5 y c) 2 no pueden ser medidas de probabilidad.
\( \color{red}2 \) los resultados son posibles si lanzas una moneda: cara y cruz
b)
\( \color{blue}5 \) los resultados son posibles si seleccionas una de cinco cartas diferentes al azar.
c)
\( \color{red}2 \times \color{blue}5 = 10 \) los resultados son posibles si lanzas una moneda y seleccionas una de cinco cartas diferentes al azar.
a)
Si lanzas un dado justo con números del 1 al 6 en las caras, hay \( \color{red}6\) resultados posibles: \( \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \} \)
b)
Es imposible obtener 0 porque no es un resultado posible y por tanto la probabilidad es igual a 0.
c)
Hay una cara \( \color{green}1 \) con un 5, por lo tanto la probabilidad de obtener 5 es igual a \( \color{green}1 / \color{red}6 \)
d)
Hay \( \color{blue}2 \) números mayores que 4 que son 5 y 6, por lo tanto la probabilidad de obtener un número mayor que 4 es igual a \( \color{blue}2 / \color {rojo}6 \)?
