Soluciones para el examen de práctica de matemáticas de 6.º grado

Las soluciones a las preguntas del examen de práctica de matemáticas de sexto grado se presentan junto con explicaciones detalladas.
Las preguntas deben resolverse sin calculadora, excepto muy pocas preguntas.

1 - Números

Soluciones

1. 
   A)   (5 + 4) + 1 = 5 + (4 + 1) : asociatividad de la suma
   B)   2( 4 + 7 ) = 2 × 4 + 2 × 7 : distributividad
   C)   11 + 9 = 9 + 11 : conmutatividad de la suma
   D)   33 + 0 = 33 : identidad de la suma
   E)   5 × 1 = 5 : identidad de la multiplicación
   F)   9 × 6 = 6 × 9 : conmutatividad de la multiplicación
   G)   ( 7 - 2 ) 6 = 7 × 6 - 2 × 6 : distributividad
   H)   3 × 6 - 3 × 2 = 3 (6 - 3) : distributividad a la inversa (factoring)
   
   
2. 
   2,3,5,7,11 son números primos
   
   
3. 
   Cientos
   
4. 
   a)   (9-3) + 2 = 6 + 2 = 8
   b)   7 - (5-2) = 7 - 3 = 4
   c)   (3 + 7) × 3 = 10 × 3 = 30
   d)   (8 - 2) × 3 = 6 × 3 = 18
   
   
5. 
   8
6. 
   Reglas
   1) Si el dígito en las décimas es menor que 5 , elimine todos los dígitos después del punto decimal sin cambiar el dígito de las unidades.
   2) Si el dígito de las décimas es igual a 5 o más, elimine todos los dígitos después del punto decimal y agregue 1 el dígito de las unidades.
   a)   0,41 redondeado al número entero más cercano es igual a $\color{red}0$ porque el primer dígito después del punto decimal es igual a 4 y por lo tanto menor que 5 (regla 1 anterior)
   b)   1,2999 redondeado al número entero más cercano es igual a $\color{red}1$ porque el primer dígito después del punto decimal es igual a 2 y, por lo tanto, menor que 5 (regla 1 anterior)
   c)   123,5 redondeado al número entero más cercano es igual a $\color{red}{124}$ porque el primer dígito después del punto decimal es igual a 5 y por lo tanto mayor o igual a 5 (regla 2 anterior)
   
   
7. 
   a)   0,1 > 0,3 : falso
   b)   1,2 < 1,3 : verdadero
   c)   0,5 < 0,05 : falso
   
   
8. Evalúa las siguientes expresiones
   a)   0,4 × 3 = 1,2
   b)   8 - 3 × 0,2 = 7,4
   c)   0,5 ÷ 5 = 0,1

   2 - Factores, Múltiplos y Divisibilidad de Números

   Soluciones

9. 
   Los factores de 8 son: 1,2,4,8
   Los factores de 12 son: 1,2,3,4,6,12
   Los factores comunes de 8 y 12 son: 1, 2, 4
   El mayor de los factores comunes anteriores es: 4
   Por lo tanto, el MCD de 8 y 12 es igual a $\color{red}4$.
   
   
10. 
    Los múltiplos de 3 son: $3, 6, 9, 12, 15, 18, \color{red}{21} , 24 , 27 , ...$
    Los múltiplos de 7 son: $7, 14, \color{red}{21} , 28 , ...$
    El común y el mínimo común múltiplo de 3 y 7 es igual a 21 .
    
    
11. Regla: Cualquier número con el último dígito a la derecha (valor posicional de las unidades) igual a $0$ o $5$ es divisible por $5$. Por eso
    a)   $12\color{red}5$    y    c)   $20\color{red}0$   son divisibles por $5$.
    
    
12. Regla: Cualquier número con el último dígito a la derecha (valor posicional de las unidades) igual a $0, 2, 4, 6$ o $8$ es divisible por $2$.
    b)   $28\color{red}0$    y     c)   $47\color{red}6$   son divisibles por $2$.
    
    
13.   Regla: Cualquier número cuyos dígitos sumen un número divisible por $3$ es divisible por $3$.
    a)   La suma de los dígitos en $105$ está dada por: $1+0+5 = \color{red}6$
    $\color{red}6$ es divisible por $3$ y por lo tanto el número dado $105$ es divisible por $3$.
    
    b)   La suma de los dígitos en $101$ está dada por: $1+0+1 = \color{red}2$
    $\color{red}2$ NO es divisible por $3$ y por lo tanto el número dado $101$ NO es divisible por $3$.
    
    c)   La suma de los dígitos en $234$ está dada por: $2+3+4 = \color{red}9$
    $\color{red}9$ es divisible por $3$ y por lo tanto el número dado $234$ es divisible por $3$.

    3 - Fracciones y Números Mixtos

    Soluciones

14. Definición: Una fracción cuyo numerador es mayor o igual a su denominador es una fracción impropia.
    b)   $\displaystyle \frac{10}{3}$    y     c)   $\displaystyle \frac{3}{3}$ son fracciones impropias.
    
    
15. 
    a)   $\displaystyle \frac{7}{5} = \frac{5+2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = 1\frac{2}{5}$
    
    b)   $\displaystyle \frac{8}{3} = \frac{3+3+2}{3} \\~\\ \qquad = \frac{3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = 1 + 1+ \frac{2}{3} \\~\\ \qquad = 2\frac{2}{3}$
    
    c)   $\displaystyle \frac{9}{2} = \frac{2+2+2+2+1}{2} \\~\\ \qquad = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \\~\\ \qquad = 1+1+1+1+ \frac{1}{2} = 4\frac{1}{2}$
    
    
16. Regla: Si multiplicamos (o dividimos) el numerador y el denominador de una fracción dada por el mismo número, obtenemos una nueva fracción equivalente a la fracción dada.
    a)
    Las fracciones dadas tienen denominadores conocidos $2$ y $4$: necesitamos multiplicar el denominador $2$ por $2$ para obtener el denominador $4$
    Por eso
    Multiplica el numerador y el denominador de la fracción $\displaystyle \frac{1}{2}$ por $2$ para obtener una fracción equivalente $\displaystyle \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{\color{rojo}2}{4}$
    Para que los pares de fracciones dados sean equivalentes, el numerador que falta debe ser igual a $\color{red}2$
    
    b)
    Las fracciones dadas tienen numeradores conocidos $2$ y $6$: necesitamos multiplicar el numerador $2$ por $3$ para obtener el numerador $6$
    Por eso
    Multiplica el numerador y el denominador de la fracción $\displaystyle \frac{2}{5}$ por $3$ para obtener una fracción equivalente $\displaystyle \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{\color{rojo}{15}}$
    Para que los pares de fracciones dados sean equivalentes, el denominador faltante debe ser igual a $\color{red}{15}$
    
    c)
    Las fracciones dadas tienen denominadores conocidos $3$ y $9$: necesitamos multiplicar el denominador $3$ por $3$ para obtener el denominador $9$
    Por eso
    Multiplica el numerador y el denominador de la fracción $\displaystyle \frac{1}{3}$ por $3$ para obtener una fracción equivalente $\displaystyle \frac{1 \times 3}{3 \times 3} = \frac{\color{rojo}3}{9}$
    Para que los pares de fracciones dados sean equivalentes, el numerador que falta debe ser igual a $\color{red}3$
    
    
17. 
    a)
    Las fracciones en la expresión tienen el mismo denominador y por lo tanto evaluamos restando los numeradores y manteniendo el mismo denominador de la siguiente manera
    $\displaystyle \frac{4}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4-1}{10} = \frac{3}{10}$
    
    b)
    Reescribe la fracción $\frac{1}{2}$ con el denominador $4$ multiplicando su numerador y denominador por $2$
    $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2 } + \frac{3}{4}$
    Simplificar
    $= \frac{2}{4 } + \frac{3}{4}$
    Ahora que las fracciones tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores y evaluamos de la siguiente manera
    $= \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4}$
    
    c)
    Regla de multiplicación de fracciones: Multiplica numeradores entre sí y numeradores entre sí.
    $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \times 2}{2 \times 3}$
    Simplificar
    $= \frac{2}{6}$
    
    d)
    Regla de división de fracciones: multiplicar las primeras fracciones por el recíproco de la segunda fracción.
    $\displaystyle \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1}$
    Aplicar la regla de multiplicación de fracciones y simplificar.
    $= \frac{3 \times 2}{4 \times 1} = \frac{6}{4}$
    
    e)
    Reescribe $3$ como una fracción $3 = \frac{3}{1}$
    $\displaystyle \frac{3}{4} \div 3 = \frac{3}{4} \div \frac{3}{1}$
    Usa la regla de división de fracciones.
    $= \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}$
    Usa la regla de multiplicación de fracciones.
    $= \frac{3 \times 1}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
    
    f)
    Reescribe $2$ como una fracción $2 = \frac{2}{1}$
    $\displaystyle 2 \times \frac{2}{6} = \frac{2}{1} \times \frac{2}{6}$
    Usa la regla de multiplicación
    $= \frac{4}{6}$
    
    g)
    Suma las partes enteras de los números mixtos y las fracciones por separado.
    $\displaystyle 1\frac{1}{4} + 2\frac{1}{4} = (1 + 2 ) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = 3\frac{2}{4}$
    
    h)
    Restar las partes enteras de los números mixtos y las fracciones por separado.
    $\displaystyle 3\frac{2}{5} - 1 \frac{1}{5} = (3-1) + (\frac{2}{5} - \frac{1}{5}) = 3 \frac{1}{5}$
    
    
18. Escribir como decimal
    a)   $\displaystyle \frac{7}{10} = 7 \div 10 = 0.7$
    b)   $\displaystyle \frac{17}{100} = 17 \div 100 = 0.17$
    
    
19. 
    a) $\displaystyle 1\frac{1}{4}$
    
    b) $\displaystyle \frac{1}{4}$
    
    c) $\displaystyle 3\frac{3}{8}$

    4 - Exponentes

    Soluciones

20. 
    a)   $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5$
    b)   Cinco cuadrados : $5^2$
    c)   $4$ en cubos : $4^3$
    d)   $6$ a la séptima potencia : $6^7$
    
    
21. 
    a)   $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
    b)   $1^5 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$
    c)   $4^2 = 4 \times 4 = 16$
    d)   $1000^0 = 1$     (Cualquier número distinto de cero elevado a $0$ es igual a $1$

    5 - Ratios y tasas

    Soluciones

22. 
    a)   $2:3$     b)   $3:2$     c)   $3:5$
    
    
23.  
    a)   $11:8$        b)   $8:19$
    
    
24.   $\$15 \div 5 \text{kg} = \$3 / \text{kg}$
    
    
25.   $120 \text{km} \div 2 \text{hours} = 60 \text{km} / \text{hr}$
    
    
26.   La proporción de niños y niñas es $1:3$.
    Por lo tanto, si $x$ es el número de niños del total de $600$ estudiantes, entonces $3 x$ es el número de niñas del total de $600$ estudiantes.
    El número total de niños y niñas es $600$, por lo tanto podemos escribir la ecuación
    $x + 3x = 600$
    Agrupar términos semejantes en el lado izquierdo de la ecuación.
    $4x = 600$
    Divide ambos lados de la ecuación por $4$
    $4x \div 4 = 600 \div 4$
    Simplificar
    $x = 600 \div 4 = 150$ los estudiantes son niños.
    Comprueba si la respuesta al problema tiene sentido
    El número de niñas es $3 x = 3 \times 150 = 450$
    Por tanto, el número total de niños y niñas es igual a $150 + 450 = 600$, que es exactamente lo que se da.

    6 - Porcentaje y problemas relacionados

    Soluciones

27. $\displaystyle \frac{60}{100} \times 20 = \frac{60 \times 20}{100} = 12$
    
    
28. $\displaystyle 35\% = \frac{35}{100} = 35 \div 100 = 0.35$
    
    
29. $\displaystyle 15\% = \frac{15}{100} = \frac{15 \div 5}{100 \div 5} = \frac{3}{20}$
    
    
30. $50\% \times \displaystyle \frac{1}{4} = \frac{50}{100} \times \frac{1}{4} = \frac{50}{400} = 0.125$
    
    
31. $\displaystyle \frac {3}{5} = 3 \div 5 = 0.6 = 60 \div 100 = 60\%$
    
    
32. $\displaystyle \frac{600}{3000} = 0.2 = 20 \div 100 = \frac{20}{100} = 20\%$ del salario de Amanda se gasta en ropa.
    
    
33. change in percent $\displaystyle = \frac{\text{new price - original price}}{\text{original price}} = \frac{100 - 125}{125} = - 0.2 = - 20\%$
    
    
34. $\displaystyle 40 - 40\% \times 40 = 40 - \frac{40}{100} \times 40 = 40 - \frac{1600}{100} = 40 - 16 = \$24$ es el precio después del descuento.

    7 - Convertir unidades de medida

    Soluciones

35. 
    Divide ambos lados de la igualdad dada $\quad 1 \text{ hl} = 100 \text{ L} \quad$ por $100$ y simplifica para obtener otra igualdad escrita como $\quad 1\text{ L} = \frac{1}{100} \text{ hl}$
    Convertimos de la siguiente manera
    $320 \text{ L} = 320 \times \frac{1}{100} \text{ hl} = \frac{320}{100} \text{ hl} = 3.2 \text{ hl}$
    
    
36. 
    Divide ambos lados de la igualdad dada $\quad 1 \text{ m} = 1000 \text{ mm} \quad$ por $1000$ y simplifica para obtener otra igualdad escrita como $\quad \frac{1 }{1000} \text{ m} = 1\text{ mm}$
    Convertir
    $234500 \text{ mm} = 234500 \times \frac{1}{1000} \text{ m} = \frac{234500}{1000} \text{ m} = 234.5 \text{ m}$
    
    
37. 
    Divide ambos lados de la igualdad dada $\quad 1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \quad$ por $1000$ para obtener la igualdad $\quad 1 \text{ m} = \frac{1}{1000} \text{ km}$
    De ahí la conversión
    $2300 \text{ m} = 2300 \times \frac{1}{1000} \text{ km} = 2.3 \text{ km}$
    
    
38. 
    $1.2 \text{ L} = 1.2 \times 1000 \text{ mL} = 1200 \text{ mL}$
    
    
39. 
    Divide ambos lados de la igualdad dada $\quad 1 \; \text{hr} = 3600 \; \text{sec} \quad$ por $3600$ y reescribelo como
    $\quad 1 \text{ seg} = \frac{1}{3600} \; \text{ horas}$
    Por eso
    $7200 \text{ sec} = 7200 \times \frac{1}{3600} \; \text{hrs} = \frac{7200}{3600} \; \text{ hrs} = 2 \text{ hrs}$
    
    
40. 
    Divide ambos lados de la igualdad dada $\quad 1 \text{ mi} = 1760 \text{ yd} \quad$ por $1760$ para obtener la igualdad
    $\quad 1 \text{ yd} = \frac{1}{1760} \text{ mi}$
    Por eso
    $2640 \text{ yds} = 2640 \times \frac{1}{1760} \text{ mi} = \frac{2640}{1760} \text{ mi} = 1.5 \text{ mi}$
    
    
41. 
    $3 \text{ m} = 3 \times 39.37 \text{ in} = 118.11 \text{ in}$
    
    

    8 - Expresiones matemáticas

    Soluciones

42. 
    Sustituye $x$ por $0,2$ en la expresión dada
    $\; x + 2 \; = 0,2 + 2 = 2,2$
    
    
43. 
    Sustituye $x$ por $3$ en la expresión dada
    $\; 2 (x + 2) \; = 2 (3 + 2) = 2 (5) = 2 \times 5 = 10$
    
    
44. 
    Sustituye $a$ y $b$ por $3$ y $2$ respectivamente en la expresión dada
    $a - b = 3 - 2 = 1$
    
    
45. 
    Sustituye $x$ por $6$ en la expresión dada
    $\; \displaystyle \frac{2 x}{3} = \frac{2 \times 6}{3} = \frac{12}{3} =4$

    
    

46. 
    a)   $x - 3$
    b)   $5(x+2)$
    c)   $(2x +1)^2$
    d)   $3 (x+1) = 2$.

47. 
    a)   $3 \lt x$
    b)   $5 \ge x$
    c)   $y \le 9$
    d)   $x - 2 \le - 2$.

48. 
    a)   $2(x + 4) = 2 \times x + 2 \times 4 \\~\\ \qquad = 2x + 8$
    
    b)   $3 (a + b +2) = 3 \times a + 3 \times b + 3 \times 2 \\~\\ \qquad = 3a + 3b + 6$
    
    c)   $\displaystyle \frac{1}{4}( 8 x + 4) = \frac{1}{4} \times 8 x + \frac{1}{4} \times 4 \\~\\ \qquad = \frac{8}{4} \times x + \frac{4}{4} = 2 x + 1$
    
    d)   $0,2 (x + 2) = 0,2 \times x + 0,2 \times 2 \\~\\ \qquad = 0,2 x + 0,4$

49. 
    Los factores de $9$ son: $1, \color{red}3, 9$
    Los factores de $6$ son: $1, 2, \color{red}3, 6$
    El máximo común divisor (MCD) de $9$ y $6$ es $\color{red}3$
    b)
    $9 = \color{red}3 \times 3$
    $6 = \color{red}3 \times 2$
    c)
    $9 x + 6 = \color{red}3 \times 3 \times x + \color{red}3 \times 2$
    Utilice la propiedad distributiva a la inversa (es decir, $\color{red}{a \times x + a \times y = a(x + y)}$ ) para factorizar la expresión dada.
    $9 x + 6 = \color{red}3 \times 3 \times x + \color{red}3 \times 2 = \color{red}3 (3 x + 2)$
    

    9 - Ecuación con una variable y problemas relacionados

    Soluciones

50. 
    a)
    Dada la ecuación $x + 2 = 8$
    Resta $2$ de ambos lados de la ecuación
    $x + 2 \color{rojo}{- 2} = 8 \color{rojo}{- 2}$
    Simplificar
    $x = 6 \quad$ es la solución de la ecuación dada.
    
    b) Dada la ecuación $2 x = 6$
    Divide ambos lados de la ecuación por $2$
    $2 x \color{rojo}{\div 2} = 6 \color{rojo}{\div 2}$
    Simplificar
    $x = 3 \quad$ es la solución de la ecuación dada.
    
    c)
    Dada la ecuación $x - 3 = 7$
    Suma $3$ de ambos lados de la ecuación
    $x - 3 \color{rojo}{+3} = 8 \color{rojo}{+3}$
    Simplificar
    $x = 11 \quad$ es la solución de la ecuación dada.
    
    
51. 
    a)
    La fórmula del perímetro $P$ de un jardín rectangular de largo $L$ y ancho $W$ viene dada por
    $P = 2 \times L + 2 \times W$
    Sustituimos $L, W$ y $P$ por los dados $L = 3$, $W = x$ y $P = 10$ en la fórmula anterior
    $10 = 2 \times 3 + 2 \times x$
    Simplifica y reescribe como
    $2 x + 6 = 10$
    b)
    Resta $6$ de ambos lados de la ecuación
    $2 x + 6 \color{red}{- 6} = 10 \color{red}{- 6}$
    Simplificar
    $2 x = 4$
    Divide ambos lados de la ecuación por $2$
    $2 x \color{red}{\div 2} = 4 \color{red}{\div 2}$
    Simplificar
    $x = 2$ es el ancho del jardín rectangular, por lo tanto $W = 2$
    c)
    Una forma de comprobar nuestros cálculos es calcular el perímetro del jardín rectangular.
    $P = 2 \times L + 2 \times W \\ \qquad = 2 \times 3 + 2 \times 2 = 6 + 4 = 10$
    que corresponde al perímetro dado \( P = 10 \ ).

    10 - Plano de coordenadas

    Soluciones

52. 
    a)   $(0,1)$ está ubicado en el lado positivo del eje y
    b)   $(-2,-3)$ se encuentra en el cuadrante 3
    c)   $(2,9)$ se ubica en el cuadrante 1
    d)   $(-4,6)$ se encuentra en el cuadrante 2
    e)   $(3,-4)$ se ubica en el cuadrante 4
    f)   $(-3,0)$ está ubicado en el lado negativo del eje x
    
    
53. 
    $A = (-1,1)$
    $B = (0,-1)$
    $C = (2,0)$
    $D = (3,1)$
    $E = (-2,-1)$
    $F= (3,-2)$
    $G = (0,3)$
    $H = (0,0)$
    
    
54. 
    a) Para   $t = 0$ , $d = 0$
    Para   $t = 1$ hora   ,    $d = 5$ km
    Para   $t = 2 = 1 + 1$ horas   ,    $d = 5 + 5 = 10$ km
    Para   $t = 3 = 1 + 1 + 1$ horas   ,    $d = 5 + 5 + 5 = 15$ km
    Para   $t = 4 = 1 + 1 + 1 + 1$ horas   ,    $d = 5 + 5 + 5 + 5 = 20$ km
    Para   $t = 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1$ horas   ,    $d = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25$ km .
    
    b) Los puntos de la tabla anterior se trazan a continuación y se unen para formar una línea.
    
    .

    11 - Desigualdades

    Soluciones

55. 
    A continuación se muestra la recta numérica con los valores involucrados en las desigualdades dadas.
    
    Al comparar dos números usando el número, el número de la izquierda es menor que el número de la derecha
    a)   $-4 \lt 0$     ,     verdadero porque $-4$ está a la izquierda de $0$
    b)   $0 \gt 4$     ,     falso porque $0$ está a la izquierda de $4$
    c)   $-6 \lt -4$     ,     verdadero porque $-6$ está a la izquierda de $-4$
    d)   $-6 \gt 5$     ,     falso porque $-6$ está a la izquierda de $5$
    e)   $0 \lt 6$     ,     verdadero porque $0$ está a la izquierda de $6$

    12 - Geometría

    Soluciones

56. 
    La suma de todos los ángulos internos de un triángulo es igual a
    b)   $180^{\circ}$.
    
57. 
    En la figura dada, los ángulos $\angle AOB$ y $\angle BOC$ son
    b)   Suplementario.
    
58. 
    a)   $\angle AOB \; \text{and} \; \angle DOF \quad$ , NO ángulos verticales
    b)   $\angle BOC \; \text{and} \; \angle EOF \quad$ , Ángulos verticales
    c)   $\angle COD \; \text{and} \; \angle FOB$ , NO ángulos verticales
    d)   $\angle FOB \; \text{and} \; \angle COE \quad$ , Ángulos verticales
    e)   $\angle AOC \; \text{and} \; \angle DOE \quad$ , NO ángulos verticales
    f)   $\angle BOD \; \text{and} \; \angle EOA$ , Ángulos verticales
    
    
59.   Da el número de lados de cada una de las figuras geométricas que se enumeran a continuación.
    a)   Pentágono:    5 lados
    b)   Trapezoide:    4 lados
    c)   Triángulo:    3 lados
    c)   Cometa:    4 lados
    
60. 
    b) Dos ángulos son iguales y los lados opuestos a los ángulos iguales son iguales.
    
    
61. 
    $\text{Perimeter} = 2 \times \text{length} + 2 \times \text{width} = 2 \times 10 + 2 \times 5 = 20 + 10 = 30$ cm
    
    
62. 
    $Area = 3.14 \times \text{radius}^2 = 3.14 \times (1)^2 = 3.14$ square meters.
    
    
63. 
    Como ABCD es un rectángulo, ADE es un triángulo rectángulo. El área de la superficie sombreada se puede calcular restando el área del triángulo rectángulo ADE del área del rectángulo ABCD.
    Área del triángulo rectángulo ADE $\quad = \frac{1}{2} \times \overline{DE} \times \overline{AD} = \frac{1}{2} \times 2 \times 7 = 7$ centímetros cuadrados
    Área del rectángulo ABCD $\quad = \overline{AB} \times \overline{AD} = 10 \times 7 = 70$ centímetros cuadrados
    Área de la superficie sombreada = Área del rectángulo ABCD - Área del triángulo rectángulo ADE $\quad = 70 - 7 = 63$ centímetros cuadrados
    Tenga en cuenta que la región sombreada cuyo área se calcula arriba es un trapezoide y su área se puede calcular usando la fórmula para el área de un trapezoide.

    13 - Figuras tridimensionales

    Soluciones

64. Número de aristas $\quad = 4 + 4 + 4 = 12$
    Número de caras $\quad = 1 + 1 + 4 = 6$
    
    
65. 
    a)
    Área de los rectángulos ABCD $\quad = 6 \times 4 = 24$ unidades al cuadrado
    Área de los rectángulos ADHE $\quad = 4 \times 10 = 40$ unidades al cuadrado
    Área de los rectángulos DCGH $\quad = 6 \times 10 = 60$ unidades al cuadrado
    b)
    El área de la superficie $A$ del prisma rectangular es igual al DOBLE de la suma de las áreas de los rectángulos ABCD, ADHE y DCGH.
    $A = 2 \times (24+40+60) = 248$ unidades al cuadrado
    c)
    Volumen $\quad = 6 \times 4 \times 10 = 240$ unidades al cubo
    
    
66. 
    El volumen está dado por el producto del área $a$ del triángulo rectángulo ABC y la longitud del prisma $\overline{AF}$
    De ahí la ecuación
    $24 = a \times \overline{AF}$
    El área $a$ del triángulo rectángulo ABC $\quad = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$
    Sustituye $a$ por su valor en la ecuación
    $24 = 6 \; \overline{AF}$
    Divide ambos lados de la ecuación por $6$ y resuelve para $\overline{AF}$ para obtener
    $\overline{AF} = 4$
    El área total de la superficie está dada por la suma de las áreas de las 5 caras: los dos triángulos rectángulos y los 3 rectángulos.
    El área de superficie total $\quad = (6 + 6) + (4 \times 4 + 3 \times 4 + 5 \times 4) = 60$ unidades al cuadrado

    14 - Datos y gráficos

    Soluciones

67. 
    Número de horas por día
    Lunes: 3 horas
    Martes: 3 horas
    Miércoles: 2 horas
    Jueves: 4 horas
    Viernes: 3 horas
    Número total de horas $\quad = 3 + 3 + 2 + 4 + 3 = 15$
    
    
68. 
    a)
    Del histograma, $3$ estudiantes obtuvieron puntuaciones en el rango 90-99.
    b)
    Del histograma, $7$ estudiantes obtuvieron puntajes en el rango 80-89 y $4$ estudiantes obtuvieron puntajes en el rango 60-69.
    Por eso
    $7 - 4 = 3$ más estudiantes obtuvieron calificaciones en el rango 80-89 que estudiantes que obtuvieron calificaciones en el rango 60-69.

    15 - Estadísticas

    Soluciones

69. 
    Valor de datos más grande $\; = 7$
    Valor de datos más pequeño $\; = 1$
    rango = Valor de datos más grande - Valor de datos más pequeño $\; = 7 - 1 = 6$
    media $\displaystyle = \frac{1 + 4 + 2 + 2 + 3 + 2 + 7}{7} = \frac{21}{7} = 3$
    moda = los datos con mayor frecuencia de repetición $\; = 2$   (mencionado 3 veces)
    Ordene los valores de los datos de menor a mayor $$\{ 1 , 2 , 2 , \color{rojo}2 , 3 , 4 , 7 \}$$ la mediana es el valor de datos que se encuentra en el medio (rojo) de los valores de datos ordenados $\; = 2$

    16 - Probabilidades

    Soluciones

70. La medida de una probabilidad está entre 0 y 1 inclusive. Por eso
    b) -0,5 y c) 2 no pueden ser medidas de probabilidad.
    
    
71. a)
    $\color{red}2$ los resultados son posibles si lanzas una moneda: cara y cruz
    b)
    $\color{blue}5$ los resultados son posibles si seleccionas una de cinco cartas diferentes al azar.
    c)
    $\color{red}2 \times \color{blue}5 = 10$ los resultados son posibles si lanzas una moneda y seleccionas una de cinco cartas diferentes al azar.
    
    
72. 
    a)
    Si lanzas un dado justo con números del 1 al 6 en las caras, hay $\color{red}6$ resultados posibles: $\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \}$
    b)
    Es imposible obtener 0 porque no es un resultado posible y por tanto la probabilidad es igual a 0.
    c)
    Hay una cara $\color{green}1$ con un 5, por lo tanto la probabilidad de obtener 5 es igual a $\color{green}1 / \color{red}6$
    d)
    Hay $\color{blue}2$ números mayores que 4 que son 5 y 6, por lo tanto la probabilidad de obtener un número mayor que 4 es igual a $\color{blue}2 / \color {rojo}6$?

Más referencias y enlaces

1. Temas de matemáticas de sexto grado
2. Preguntas sobre fracciones y problemas con soluciones