Preguntas y Problemas de Álgebra de 7º Grado con Soluciones

Sustituye cada variable por su valor numérico dado, aplica el orden de las operaciones y simplifica.

1. \(12 (-1)^3 + 5 (-1)^2 + 4 (-1) - 6 = 12(-1) + 5(1) - 4 - 6 = -12 + 5 - 4 - 6 = \mathbf{-17}\)
2. \(2 (2)^2 + 3 (-2)^3 - 10 = 2(4) + 3(-8) - 10 = 8 - 24 - 10 = \mathbf{-26}\)
3. \(\dfrac{-2(2) - 1}{2 + 3} = \dfrac{-4 - 1}{5} = \dfrac{-5}{5} = \mathbf{-1}\)
4. \(2 + 2|(-4) - 4| = 2 + 2|-8| = 2 + 2 \times 8 = 2 + 16 = \mathbf{18}\)

Usa la regla de distribución \(a(b + c) = ab + ac\) para expandir las expresiones y luego agrupa términos semejantes.

1. \(-2(x - 8) + 3(x - 7) = -2x + 16 + 3x - 21\)
   \(= (-2x + 3x) + (16 - 21) = \mathbf{x - 5}\)
2. \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3 = 2a + 2 + 5b + 3a + 3b + 3\)
   \(= (2a + 3a) + (5b + 3b) + (2 + 3) = \mathbf{5a + 8b + 5}\)
3. \(a(b + 3) + b(a - 2) + 2a - 5b + 8 = ab + 3a + ba - 2b + 2a - 5b + 8\)
   \(= (ab + ba) + (3a + 2a) + (-2b - 5b) + 8 = \mathbf{2ab + 5a - 7b + 8}\)
4. \(\dfrac{1}{2}(4x + 4) + \dfrac{1}{3}(6x + 12) = 2x + 2 + 2x + 4\)
   \(= (2x + 2x) + (2 + 4) = \mathbf{4x + 6}\)
5. \(4(-x + 2 - 3(x - 2)) = -4x + 8 - 12x + 24\)
   \(= (-4x - 12x) + (8 + 24) = \mathbf{-16x + 32}\)

Simplifica usando las reglas de las fracciones (suma, multiplicación y división).

1. \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{4}{y} = \mathbf{\dfrac{x + 4}{y}}\)
2. \(\left(\dfrac{2x}{4}\right) \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2x \times 1}{4 \times 2} = \dfrac{2x}{8} = \mathbf{\dfrac{x}{4}}\)
3. \(\dfrac{3x}{5} \div \dfrac{x}{5} = \dfrac{3x}{5} \times \dfrac{5}{x} = \dfrac{15x}{5x} = \mathbf{3}\)

Usa las reglas de multiplicación y división con exponentes (suma los exponentes al multiplicar bases iguales, resta al dividir).

1. \(3 x^{2} \times 5 x^{3} = (3 \times 5) x^{2 + 3} = \mathbf{15 x^{5}}\)
2. \(\dfrac{(2 y)^4 \cdot 9 x^3}{4 y^4 \cdot (3 x)^2} = \dfrac{16 y^4 \cdot 9 x^3}{4 y^4 \cdot 9 x^2} = \dfrac{16 \times 9}{4 \times 9} y^{4 - 4} x^{3 - 2} = \mathbf{4x}\)

Encuentra el máximo común divisor (MCD) y factoriza las expresiones usando la distribución a la inversa.

1. \(9x - 3 = 3 \times 3x - 3 \times 1 = \mathbf{3(3x - 1)}\)
2. \(24x + 18y = 6 \times 4x + 6 \times 3y = \mathbf{6(4x + 3y)}\)
3. \(bx + dx = \mathbf{x(b + d)}\)

Resuelve las ecuaciones paso a paso realizando operaciones inversas para aislar \(x\).

1. \[ \begin{aligned} 2x + 5 &= 11 \\ 2x &= 6 \\ x &= \mathbf{3} \end{aligned} \]
2. \[ \begin{aligned} 3x &= \dfrac{6}{5} \\ 15x &= 6 \quad \text{(multiplicando ambos lados por 5)} \\ x &= \dfrac{6}{15} = \mathbf{\dfrac{2}{5}} \end{aligned} \]
3. \[ \begin{aligned} 3(2x + 2) + 2 &= 20 \\ 6x + 6 + 2 &= 20 \\ 6x + 8 &= 20 \\ 6x &= 12 \\ x &= \mathbf{2} \end{aligned} \]

Reescribe los productos de multiplicaciones repetidas usando exponentes.

\[3 \times a \times a \times a - 5 \times b \times b = \mathbf{3 a^3 - 5 b^2}\]

Usa la fórmula del perímetro \(P = 2 \times \text{largo} + 2 \times \text{ancho}\), sustituye las expresiones y el perímetro conocido, y resuelve para \(x\).

\[ \begin{aligned} 2(2x + 3) + 2(x + 1) &= 32 \\ 4x + 6 + 2x + 2 &= 32 \\ 6x + 8 &= 32 \\ 6x &= 24 \\ x &= \mathbf{4} \end{aligned} \]

Usa la fórmula del área \(A = \text{ancho} \times \text{largo}\), sustituye los valores conocidos y resuelve.

\[ \begin{aligned} 3(2x - 1) &= 27 \\ 6x - 3 &= 27 \\ 6x &= 30 \\ x &= \mathbf{5} \end{aligned} \]

Como el 45% son hombres, el \( 100\% - 45\% = 55\% \) son mujeres.

Calcula la proporción de mujeres respecto a hombres.

\[ \text{Proporción} = \dfrac{55\%}{45\%} = \dfrac{55}{45} = \mathbf{\dfrac{11}{9}} \]

Usa la fórmula: \(\text{Distancia} = \text{tiempo} \times \text{velocidad}\).

\[ \begin{aligned} 300 &= 3(x + 30) \\ 300 &= 3x + 90 \\ 210 &= 3x \\ x &= \mathbf{70} \end{aligned} \]

Resuelve la proporción mediante multiplicación cruzada.

\[ \begin{aligned} \dfrac{4}{5} &= \dfrac{a}{16} \\ 4 \times 16 &= 5 \times a \\ 64 &= 5a \\ a &= \dfrac{64}{5} = \mathbf{12.8} \end{aligned} \]

Sustituye el par ordenado \(x = 2\) e \(y = a + 2\) en la ecuación dada y resuelve para \(a\).

\[ \begin{aligned} 2(2) + 2(a + 2) &= 10 \\ 4 + 2a + 4 &= 10 \\ 2a + 8 &= 10 \\ 2a &= 2 \\ a &= \mathbf{1} \end{aligned} \]

Enumera todos los divisores de 25 y 45.

Divisores de 25 son: 1, 5, 25

Divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15, 45

El máximo común divisor de 25 y 45 es \(5\).

\[ \mathbf{1,234,750,002} \]

Encuentra los primeros múltiplos de 15 y 35 hasta obtener uno en común:

Múltiplos de 15: \(15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, \ldots\)

Múltiplos de 35: \(35, 70, 105, 140, \ldots\)

Selecciona el mínimo común múltiplo (MCM):

El MCM es \(105\).

\(\dfrac{2}{3}\) de \(x\) es 30 se escribe matemáticamente como:

\[ \dfrac{2}{3} \times x = 30 \]

Multiplica por 3 y simplifica:

\[ 2x = 90 \]

Resuelve para \(x\):

\[ x = 90 \div 2 = \mathbf{45} \]

El 20% de \(\dfrac{1}{3}\) se escribe como:

\[ 20\% \times \dfrac{1}{3} \]

Usa la equivalencia de fracción \( 20\% = \dfrac{20}{100} \) para simplificar:

\[ = \dfrac{20}{100} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{20}{300} = \mathbf{\dfrac{1}{15}} \]

Sea \( x \) el número más pequeño. Entonces el número más grande es \( x + 17 \).

Su suma es 69, por tanto: \[ x + (x + 17) = 69 \]

Simplifica: \[ 2x + 17 = 69 \]

Resta 17 de ambos lados: \[ 2x = 52 \]

Divide ambos lados entre 2 para resolver para \( x \): \[ x = 26 \]

Así que el número más grande es: \[ x + 17 = 26 + 17 = \mathbf{43} \]

Convierte todos los valores a decimales y ordena:

\[ \begin{aligned} \dfrac{12}{5} &= 2.4 \\ 250\% = \dfrac{250}{100} &= 2.5 \\ \dfrac{21}{10} &= 2.1 \\ 2.3 &= 2.3 \end{aligned} \]

Ordena de menor a mayor (2.1, 2.3, 2.4, 2.5):

\( \mathbf{\dfrac{21}{10}, 2.3, \dfrac{12}{5}, 250\%} \)

Sean \( x \), \( x + 1 \) y \( x + 2 \) los 3 enteros consecutivos.

La suma de los tres enteros consecutivos es 96, por lo tanto:

\[ x + (x + 1) + (x + 2) = 96 \]

Agrupa términos semejantes:

\[ \begin{aligned} 3x + 3 &= 96 \\ 3x &= 93 \\ x &= 31 \end{aligned} \]

El mayor de estos números es \( x + 2 \):

\[ x + 2 = 31 + 2 = \mathbf{33} \]

Sea \(x\) la calificación de geografía. Química es \(2x\). El promedio de las 4 materias es 79:

\[ \dfrac{93 + 88 + x + 2x}{4} = 79 \]

Agrupa términos semejantes en el numerador:

\[ \dfrac{3x + 181}{4} = 79 \]

Multiplica ambos lados por 4 y simplifica:

\[ \begin{aligned} 3x + 181 &= 316 \\ 3x &= 135 \\ x &= 45 \end{aligned} \]

Su calificación en geografía es \(x = \mathbf{45}\).

Su calificación en química es \(2x = 2(45) = \mathbf{90}\).

Sea \(x\) la calificación en inglés.

La calificación en matemáticas es: \( x + 7 \)

La calificación en física es 5 puntos más que en matemáticas: \( (x + 7) + 5 = x + 12 \).

Linda obtuvo un total de 265 puntos:

\[ x + (x + 7) + (x + 12) = 265 \]

Agrupa términos semejantes y simplifica:

\[ \begin{aligned} 3x + 19 &= 265 \\ 3x &= 246 \\ x &= 246 \div 3 = 82 \end{aligned} \]

La calificación en inglés es \( x = \mathbf{82} \)

La calificación en matemáticas es \( x + 7 = 82 + 7 = \mathbf{89} \)

La calificación en física es \( x + 12 = 82 + 12 = \mathbf{94} \)

Cada bicicleta tiene 2 ruedas, por lo tanto, el número de bicicletas es:

\[ \dfrac{100}{2} = \mathbf{50} \text{ bicicletas} \]

El número de ruedas de coche es el total menos las ruedas de bicicleta:

\[ 300 - 100 = 200 \text{ ruedas de coche} \]

Cada coche tiene 4 ruedas, por lo tanto, el número de coches es:

\[ \dfrac{200}{4} = \mathbf{50} \text{ coches} \]