Cómo Hacer la Multiplicación Cruzada para Resolver Ecuaciones con Fracciones
¿Cómo se hace la multiplicación cruzada y se resuelven ecuaciones algebraicas que incluyen fracciones? Se presentan ejemplos y preguntas con sus soluciones detalladas.
¿Qué es la multiplicación cruzada en matemáticas y dónde se utiliza?
Ejemplo: Consideremos la ecuación: \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \)
Las ecuaciones con fracciones como la anterior son difíciles de resolver debido a los denominadores. Encontremos una ecuación equivalente a la anterior pero sin denominadores.
1 - Multiplica ambos lados de la ecuación por el producto de los denominadores \( b \times d \) para que la ecuación dada se convierta en:
\( b \times d \times \dfrac{a}{b} = b \times d \times \dfrac{c}{d} \)
2 - Simplifica ambos lados en la ecuación anterior.
\( \cancel{b} \times d \times \dfrac{a}{\cancel{b}} = b \times \cancel{d} \times \dfrac{c}{\cancel{d}} \)
3 - Reescribe sin denominador
\( a \times d = b \times c\)
El método anterior de transformar una ecuación con fracciones en una ecuación sin fracciones se llama "multiplicación cruzada".
¿Cómo se utiliza la multiplicación cruzada?
Se puede utilizar para resolver ecuaciones.
Ejemplo 2: Resuelve la ecuación \( \dfrac{x}{3} = \dfrac{10}{6} \).
1 - Multiplica cruzadamente el denominador de uno con el numerador del otro para obtener la ecuación.
\( 6 \times x = 3 \times 10 \)
2 - Divide ambos lados por el coeficiente de \( x \), que es 6
\( \dfrac{6 \times x}{6} = \dfrac{3 \times 10}{6} \)
3 - Simplifica para encontrar x.
\( x = 5 \)
Se puede utilizar para verificar si dos fracciones son equivalentes.
Ejemplo 3: ¿Son equivalentes las fracciones \( \dfrac{4}{3} \) y \( \dfrac{12}{9} \)?
1 - Multiplica cruzadamente el denominador de uno con el numerador del otro para obtener dos cantidades.
\( 4 \times 9 = 36\) y \( 3 \times 12 = 36\)
2 - Compara las dos cantidades. Si son iguales, entonces las fracciones son equivalentes, que es el caso en el ejemplo anterior y podemos escribir.
\( \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{9} \)
Los ejercicios a continuación con soluciones y explicaciones son todos sobre el uso de la multiplicación cruzada.
Responde a las siguientes preguntas.
Resuelve las ecuaciones
a) \( \dfrac{x}{6} = \dfrac{3}{2} \)
b) \( \dfrac{1}{3x} = \dfrac{2}{24} \)
c) \( \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{4x} \)
d) \( \dfrac{4}{6} = \dfrac{x}{9} \)
e) \( 2 = \dfrac{x}{14} \)
f) \( \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{1}{7} \)
¿Cuáles de las siguientes parejas de fracciones son equivalentes (iguales)?
a) \( \dfrac{5}{6} \) y \( \dfrac{15}{18} \)
b) \( \dfrac{5}{3} \) y \( \dfrac{20}{13} \)
c) \( \dfrac{25}{35} \) y \( \dfrac{5}{7} \)
d) \( \dfrac{23}{7} \) y \( \dfrac{46}{17} \)
