Aprende cómo realizar la multiplicación en cruz para resolver ecuaciones algebraicas con fracciones y para verificar si dos fracciones son equivalentes. Esta página proporciona ejemplos claros, explicaciones paso a paso y preguntas de práctica con sus soluciones detalladas para ayudar a estudiantes, padres y maestros a dominar esta importante habilidad matemática.
Consideremos la ecuación:
\[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \]
Las ecuaciones con fracciones como la anterior a veces son difíciles de resolver debido a los denominadores. Busquemos una ecuación equivalente sin denominadores.
El método anterior para transformar una ecuación con fracciones en una ecuación sin fracciones se llama multiplicación en cruz.
Ejemplo 1: Resuelve la ecuación \[ \dfrac{x}{3} = \dfrac{10}{6} \]
Paso 1: Multiplica en cruz para eliminar los denominadores:
\[ 6 \times x = 3 \times 10 \]
Paso 2: Divide ambos lados por el coeficiente de \( x \) (que es 6):
\[ \dfrac{6 \times x}{6} = \dfrac{30}{6} \]
Paso 3: Simplifica para encontrar \( x \):
\[ x = 5 \]
Ejemplo 2: ¿Son las fracciones \( \dfrac{4}{3} \) y \( \dfrac{12}{9} \) equivalentes?
Paso 1: Multiplica en cruz:
\[ 4 \times 9 = 36 \qquad \text{y} \qquad 3 \times 12 = 36 \]
Paso 2: Compara los resultados. Como ambos productos son iguales, las fracciones son equivalentes. Por lo tanto, podemos escribir:
\[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{9} \]
Los ejercicios a continuación tratan sobre el uso de la multiplicación en cruz para resolver variables y verificar la equivalencia de fracciones.
Resuelve la ecuación: \( \dfrac{x}{6} = \dfrac{3}{2} \)
Usa la multiplicación en cruz para reescribir la ecuación:
\[ 2 \times x = 3 \times 6 \]
Simplifica:
\[ 2x = 18 \]
Divide ambos lados entre 2:
\[ \frac{2x}{2} = \frac{18}{2} \implies \mathbf{x = 9} \]
Resuelve la ecuación: \( \dfrac{1}{3x} = \dfrac{2}{24} \)
Multiplica en cruz denominadores y numeradores:
\[ 1 \times 24 = 3x \times 2 \]
Simplifica:
\[ 24 = 6x \]
Divide ambos lados entre 6:
\[ x = \frac{24}{6} \implies \mathbf{x = 4} \]
Resuelve la ecuación: \( \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{4x} \)
Usa la multiplicación en cruz:
\[ 3 \times 4x = 2 \times 12 \]
Simplifica:
\[ 12x = 24 \]
Divide ambos lados entre 12:
\[ x = \frac{24}{12} \implies \mathbf{x = 2} \]
Resuelve la ecuación: \( \dfrac{4}{6} = \dfrac{x}{9} \)
Multiplica en cruz:
\[ 4 \times 9 = 6 \times x \]
Simplifica y resuelve para \(x\):
\[ 36 = 6x \implies x = \frac{36}{6} \implies \mathbf{x = 6} \]
Resuelve la ecuación: \( 2 = \dfrac{x}{14} \)
Expresa 2 como una fracción (\(\frac{2}{1}\)) y multiplica en cruz:
\[ \frac{2}{1} = \frac{x}{14} \]
Multiplica en cruz:
\[ 2 \times 14 = 1 \times x \]
Simplifica:
\[ \mathbf{28 = x} \]
Resuelve la ecuación: \( \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{1}{7} \)
Multiplica en cruz:
\[ 2 \times 7 = (x + 2) \times 1 \]
Simplifica y resuelve para \(x\):
\[ 14 = x + 2 \]
\[ x = 14 - 2 \implies \mathbf{x = 12} \]
¿Cuál de los siguientes pares de fracciones son equivalentes (iguales)?
Definición: Para que dos fracciones sean equivalentes, sus cantidades de multiplicación en cruz deben ser iguales.
a) \( \dfrac{5}{6} \) y \( \dfrac{15}{18} \)
\( A = 5 \times 18 = 90 \)
\( B = 6 \times 15 = 90 \)
Como \(A = B\), las fracciones son equivalentes (\( \frac{5}{6} = \frac{15}{18} \)).
b) \( \dfrac{5}{3} \) y \( \dfrac{20}{13} \)
\( A = 5 \times 13 = 65 \)
\( B = 3 \times 20 = 60 \)
Como \(A \neq B\), las fracciones no son equivalentes.
c) \( \dfrac{25}{35} \) y \( \dfrac{5}{7} \)
\( A = 25 \times 7 = 175 \)
\( B = 35 \times 5 = 175 \)
Como \(A = B\), las fracciones son equivalentes (\( \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \)).
d) \( \dfrac{23}{7} \) y \( \dfrac{46}{17} \)
\( A = 23 \times 17 = 391 \)
\( B = 7 \times 46 = 322 \)
Como \(A \neq B\), las fracciones no son equivalentes.