Esta página le enseñará a establecer y resolver proporciones en matemáticas. Debajo de la lección introductoria, encontrará una serie de preguntas de práctica de 7º grado acompañadas de soluciones paso a paso para ayudarle a verificar su trabajo.
La tabla a continuación muestra la distancia recorrida por un automóvil en kilómetros (km) y el tiempo en horas necesario para recorrer esa distancia. Suponemos que el automóvil viaja a una velocidad constante. ¿Cuántas horas se necesitan para recorrer 500 kilómetros?
| Distancia (km) | 50 | 100 | 150 | 500 |
|---|---|---|---|---|
| Tiempo (horas) | 1 | 2 | 3 | $t$ |
Observe que si dividimos la distancia por el tiempo para las tres primeras columnas, obtenemos una tasa constante:
$$\frac{50}{1} = 50, \quad \frac{100}{2} = 50, \quad \frac{150}{3} = 50$$
Esta tasa es la velocidad constante de $50 \text{ km/h}$. Decimos que la distancia es proporcional al tiempo. Debido a que el automóvil mantiene la misma velocidad, esta regla de proporcionalidad también funciona para la distancia de $500 \text{ km}$:
$$\frac{150}{3} = \frac{500}{t}$$
La principal dificultad al resolver proporciones es la presencia de denominadores (como $3$ y $t$). Para resolver la proporción, necesitamos eliminar estos denominadores. Hacemos esto multiplicando ambos lados de la ecuación por el producto de los denominadores ($3 \times t = 3t$).
Paso 1: Multiplique ambos lados por $3t$:
$$3t \times \frac{150}{3} = 3t \times \frac{500}{t}$$
Paso 2: Simplifique cancelando los términos comunes en cada lado:
$$t \times 150 = 3 \times 500$$
$$150t = 1500$$
Paso 3: Divida ambos lados por $150$ para aislar $t$:
$$t = \frac{1500}{150} = \mathbf{10 \text{ horas}}$$
$$\frac{x}{2} = \frac{4}{8}$$
Multiplique ambos lados de la proporción por el producto de los denominadores ($2 \times 8 = 16$):
$$16 \times \frac{x}{2} = 16 \times \frac{4}{8}$$
Simplifique cancelando factores comunes:
$$8x = 2 \times 4$$
$$8x = 8$$
Divida ambos lados por $8$:
$$\frac{8x}{8} = \frac{8}{8} \implies \mathbf{x = 1}$$
$$\frac{3}{p} = \frac{1}{5}$$
Multiplique ambos lados de la proporción por el producto de los denominadores ($5 \times p = 5p$):
$$5p \times \frac{3}{p} = 5p \times \frac{1}{5}$$
Simplifique cancelando los factores comunes:
$$5 \times 3 = p \times 1$$
$$\mathbf{15 = p}$$
Multiplique ambos lados de la proporción por el producto de los denominadores ($5 \times 15 = 75$):
$$75 \times \frac{31}{5} = 75 \times \frac{w}{15}$$
Simplifique calculando las divisiones:
$$15 \times 31 = 5 \times w$$
$$465 = 5w$$
Divida ambos lados por $5$ para aislar $w$:
$$w = \frac{465}{5} \implies \mathbf{w = 93}$$
Método abreviado alternativo: Como solo necesita aislar $w$, simplemente puede multiplicar ambos lados por $15$:
$$15 \times \frac{31}{5} = w \implies 3 \times 31 = w \implies \mathbf{w = 93}$$
$$\frac{2k}{3} = \frac{20}{6}$$
Multiplique ambos lados de la proporción por el producto de los denominadores ($3 \times 6 = 18$):
$$18 \times \frac{2k}{3} = 18 \times \frac{20}{6}$$
Simplifique realizando la división primero:
$$6 \times 2k = 3 \times 20$$
$$12k = 60$$
Divida ambos lados por $12$:
$$\frac{12k}{12} = \frac{60}{12} \implies \mathbf{k = 5}$$
$$\frac{3}{7} = \frac{y}{0}$$
Sin solución. La división por cero no está definida en matemáticas, lo que hace imposible que la fracción a la derecha mantenga un valor numérico válido.
$$\frac{1}{4} = \frac{0}{x}$$
Sin solución. Si $x = 0$, el lado derecho no está definido. Para cualquier otro valor donde $x \neq 0$, el lado derecho se simplifica a $0$. Sin embargo, el lado izquierdo es $\frac{1}{4}$, que no es igual a $0$. Por lo tanto, esta proporción no tiene solución válida.
Primero, reduzca la fracción en el lado derecho a su forma más simple:
$$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$$
Reescriba la proporción:
$$\frac{m}{4} = \frac{1}{4}$$
Dado que los denominadores son iguales, los numeradores también deben ser iguales. Por lo tanto:
$$\mathbf{m = 1}$$
$$\frac{6}{14} = \frac{2t}{14}$$
Debido a que los denominadores en ambos lados ya son iguales a $14$, sus numeradores deben ser iguales para que la proporción sea verdadera:
$$6 = 2t$$
Divida ambos lados por $2$ para aislar $t$:
$$\frac{6}{2} = \frac{2t}{2} \implies \mathbf{3 = t}$$