A continuación se presentan soluciones detalladas a las preguntas sobre cómo resolver problemas de tasas.
La distancia entre dos ciudades en un mapa es de 15 centímetros. La escala del mapa es de 5 centímetros a 15 kilómetros. ¿Cuál es la distancia real \( d \), en kilómetros, entre las dos ciudades?
Primero, expresa la tasa unitaria con las cantidades conocidas en kilómetros por centímetro:
\[ \frac{15 \ \text{kilómetros}}{5 \ \text{centímetros}} \]Sea \( d \) la distancia real en kilómetros correspondiente a 15 centímetros. La tasa unitaria usando la cantidad desconocida \( d \) es:
\[ \frac{d}{15 \ \text{centímetros}} \]Dado que las dos tasas son iguales:
\[ \frac{15 \ \text{kilómetros}}{5 \ \text{centímetros}} = \frac{d}{15 \ \text{centímetros}} \]Multiplicación cruzada:
\[ 15 \ \text{kilómetros} \times 15 \ \text{centímetros} = d \times 5 \ \text{centímetros} \]Divide ambos lados entre \( 5 \ \text{centímetros} \):
\[ \frac{15 \ \text{kilómetros} \times 15 \ \text{centímetros}}{5 \ \text{centímetros}} = \frac{d \times 5 \ \text{centímetros}}{5 \ \text{centímetros}} \]Simplifica:
\[ \frac{15 \ \text{kilómetros} \times 15 \ \cancel{\text{centímetros}}}{5 \ \cancel{\text{centímetros}}} = \frac{d \times \cancel{5} \ \cancel{\text{centímetros}}}{\cancel{5} \ \cancel{\text{centímetros}}} \] \[ d = 45 \ \text{kilómetros} \]Un automóvil consume 10 galones de combustible para recorrer una distancia de 220 millas. Suponiendo una tasa de consumo constante, ¿cuántos galones se necesitan para viajar 330 millas?
Expresa la tasa unitaria con las cantidades conocidas en millas por galón:
\[ \frac{220 \ \text{millas}}{10 \ \text{galones}} \]Sea \( x \) el número de galones necesarios para viajar 330 millas. Entonces la tasa unitaria usando \( x \) es:
\[ \frac{330 \ \text{millas}}{x} \]Dado que las dos tasas son iguales:
\[ \frac{220 \ \text{millas}}{10 \ \text{galones}} = \frac{330 \ \text{millas}}{x} \]Multiplicación cruzada:
\[ 220 \ \text{millas} \times x = 330 \ \text{millas} \times 10 \ \text{galones} \]Divide ambos lados entre \( 220 \ \text{millas} \):
\[ \frac{220 \ \text{millas} \times x}{220 \ \text{millas}} = \frac{330 \ \text{millas} \times 10 \ \text{galones}}{220 \ \text{millas}} \]Simplifica para encontrar \( x \):
\[ x = 15 \ \text{galones} \]Diez boletos para un cine cuestan \$66. ¿Cuál es el costo de 22 boletos para el mismo cine?
Puede ser más fácil encontrar el costo \( c \) de un boleto (la tasa unitaria), que está dado por:
\[ c = \frac{\$66}{10 \text{ boletos}} = 6.6 \text{ dólares por boleto} \]Para encontrar el costo \( C \) de 22 boletos, multiplica el costo de un boleto por 22:
\[ C = 22 \text{ boletos} \times c = 22 \times 6.6 = \$145.2 \]Las latas de refresco se empaquetan en cajas que contienen la misma cantidad de latas. Hay 36 latas en 4 cajas.
a) ¿Cuántas latas hay en 7 cajas?
b) ¿Cuántas cajas se necesitan para empaquetar 99 latas de refresco?
a) Primero, encuentra el número \( n \) de latas por caja (tasa unitaria):
\[ n = \frac{36 \text{ latas}}{4 \text{ cajas}} = 9 \text{ latas por caja} \]En 7 cajas, el número de latas \( N \) es:
\[ N = 7 \times n = 7 \text{ cajas} \times 9 \text{ latas por caja} = 63 \text{ latas} \]b) Sea \( B \) el número de cajas necesarias para empaquetar 99 latas. Usando la tasa unitaria, escribe la proporción:
\[ \frac{9 \text{ latas}}{1 \text{ caja}} = \frac{99 \text{ latas}}{B} \]Multiplicación cruzada:
\[ 9 \text{ latas} \times B = 99 \text{ latas} \times 1 \text{ caja} \]Divide ambos lados entre \( 9 \text{ latas} \):
\[ \frac{9 \text{ latas} \times B}{9 \text{ latas}} = \frac{99 \text{ latas} \times 1 \text{ caja}}{9 \text{ latas}} \]Simplifica:
\[ B = 11 \text{ cajas} \]Joe compró 4 kilogramos de manzanas a un costo de \$15. ¿Cuánto pagaría por 11 kilogramos de las mismas manzanas en la misma tienda?
Primero, encuentra el costo \( c \) de un kilogramo de manzanas (tasa unitaria):
\[ c = \frac{\$15}{4 \text{ kg}} = \$3.75 \text{ por kg} \]Conociendo el costo de 1 kg, el costo \( C \) de 11 kg es:
\[ C = 11 \text{ kg} \times c = 11 \text{ kg} \times \$3.75 \text{ por kg} = \$41.25 \]Una bomba tarda 10 minutos en mover 55 galones de agua colina arriba. Usando la misma bomba bajo las mismas condiciones:
a) ¿Cuánta agua se mueve en 22 minutos?
b) ¿Cuánto tiempo toma mover 165 galones de agua?
a) Primero, encuentra el número de galones \( n \) movidos en un minuto (tasa unitaria):
\[ n = \frac{55 \text{ galones}}{10 \text{ minutos}} = 5.5 \text{ galones por minuto} \]El número \( N \) de galones movidos en 22 minutos es:
\[ N = 22 \text{ minutos} \times 5.5 \text{ galones por minuto} = 121 \text{ galones} \]b) Sea \( T \) el número de minutos para mover 165 galones. Usando la igualdad de tasas:
\[ \frac{55 \text{ galones}}{10 \text{ minutos}} = \frac{165 \text{ galones}}{T} \]Multiplicación cruzada:
\[ 55 \text{ galones} \times T = 165 \text{ galones} \times 10 \text{ minutos} \]Divide ambos lados entre \( 55 \text{ galones} \) y simplifica:
\[ T = \frac{165 \text{ galones} \times 10 \text{ minutos}}{55 \text{ galones}} = 30 \text{ minutos} \]Un contenedor con 324 litros de agua tiene una fuga de 3 litros cada 5 horas. ¿Cuánto tiempo tarda el contenedor en vaciarse?
Sea \( T \) el número de horas para que se fuguen 324 litros. Usando la igualdad de tasas:
\[ \frac{3 \text{ litros}}{5 \text{ horas}} = \frac{324 \text{ litros}}{T} \]Multiplicación cruzada:
\[ 3 \text{ litros} \times T = 5 \text{ horas} \times 324 \text{ litros} \]Divide ambos lados entre \( 3 \text{ litros} \) y simplifica:
\[ T = \frac{5 \text{ horas} \times 324 \text{ litros}}{3 \text{ litros}} = 540 \text{ horas} \]Veintiuna latas de pasta de tomate del mismo tamaño tienen un peso de 7300 gramos. ¿Cuál es el peso de 5 latas?
Sea \( W \) el peso de 5 latas. Usando la igualdad de tasas:
\[ \frac{21 \ \text{latas}}{7300 \ \text{gramos}} = \frac{5 \ \text{latas}}{W} \]Multiplicación cruzada:
\[ 21 \ \text{latas} \times W = 5 \ \text{latas} \times 7300 \ \text{gramos} \]Divide ambos lados entre \( 21 \ \text{latas} \) y simplifica:
\[ W = \frac{5 \ \text{latas} \times 7300 \ \text{gramos}}{21 \ \text{latas}} \approx 1738.1 \ \text{gramos} \]Un contenedor vacío se llena con una bomba de agua a razón de 5 litros cada 45 segundos. Pero el contenedor también tiene una fuga de agua a razón de 1 litro cada 180 segundos. ¿Cuál es la cantidad de agua en el contenedor después de una hora?
En este problema, tenemos dos tasas:
La tasa de llenado \( R_f \)
La tasa de fuga \( R_l \)
Calcula las dos tasas:
\[ R_f = \frac{5 \ \text{litros}}{45 \ \text{segundos}}, \quad R_l = \frac{1 \ \text{litro}}{180 \ \text{segundos}} \]También sabemos:
\[ 1 \ \text{hora} = 3600 \ \text{segundos} \]La cantidad \( Q_1 \) de agua bombeada después de 1 hora es:
\[ Q_1 = R_f \times 3600 = \frac{5}{45} \times 3600 = 400 \ \text{litros} \]La cantidad \( Q_2 \) de agua perdida por la fuga después de 1 hora es:
\[ Q_2 = R_l \times 3600 = \frac{1}{180} \times 3600 = 20 \ \text{litros} \]Por lo tanto, la cantidad \( Q \) de agua en el contenedor después de 1 hora es:
\[ Q = Q_1 - Q_2 = 400 - 20 = 380 \ \text{litros} \]