¿Cómo se encuentra el volumen de un cubo si conoce su área de superficie?

Primero, divida el área de superficie total por 6 para encontrar el área de una cara. Luego, calcule la raíz cuadrada de ese número para encontrar la longitud del lado. Finalmente, eleve al cubo la longitud del lado (multiplíquelo por sí mismo tres veces) para encontrar el volumen.

¿Cuál es la diferencia entre ángulos complementarios y suplementarios?

Los ángulos complementarios son dos ángulos cuyas medidas suman 90 grados. Los ángulos suplementarios son dos ángulos cuyas medidas suman 180 grados.

¿Cómo se encuentra la razón entre las áreas de dos formas semejantes?

Si conoce la razón de sus longitudes de lado correspondientes, puede encontrar la razón de sus áreas elevando al cuadrado la razón de la longitud del lado. Por ejemplo, si la razón de los lados es 1:4, la razón de las áreas es 1:16.

Problemas de geometría: Preguntas de práctica y soluciones paso a paso de 8º grado

Fórmulas de cilindros: Encuentre el área de superficie total y el volumen de un contenedor cilíndrico cerrado con un radio de 5 cm y una altura de 34 cm.

Pista: Área $ A = 2\pi r^2 + 2\pi rh $, Volumen $ V = \pi r^2 h $

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Paso 1: Calcule el área de superficie total

$ A = 2\pi(5)^2 + 2\pi(5)(34) $ (Sustituya $ r=5 $ y $ h=34 $)
$ A = 2\pi(25) + 2\pi(170) $
$ A = 50\pi + 340\pi $
Área = $ 390\pi \text{ cm}^2 $

Paso 2: Calcule el volumen

$ V = \pi(5)^2(34) $
$ V = \pi(25)(34) $
Volumen = $ 850\pi \text{ cm}^3 $

Fórmulas de conos: Encuentre el área de superficie total y el volumen de un contenedor cónico cerrado con un radio de 5 cm y una altura de 15 cm. (Redondee sus respuestas al número entero más cercano).

Pista: Área $ A = \pi r^2 + \pi r\sqrt{r^2 + h^2} $, Volumen $ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h $

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Paso 1: Calcule el área de superficie total

Primero, encuentre la altura inclinada: $ \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} \approx 15.81 $ cm.
$ A = \pi(5)^2 + \pi(5)(15.81) $
$ A = 25\pi + 79.05\pi = 104.05\pi $
$ 104.05 \times 3.14159 \approx 326.88 $
Área $\approx 327 \text{ cm}^2 $

Paso 2: Calcule el volumen

$ V = \frac{1}{3}\pi(5)^2(15) $
$ V = \frac{1}{3}\pi(25)(15) = \pi(25)(5) = 125\pi $
$ 125 \times 3.14159 \approx 392.69 $
Volumen $\approx 393 \text{ cm}^3 $

Trabajando hacia atrás (Cubos): Un cubo tiene un área de superficie total de las seis caras igual a 150 pies cuadrados. ¿Cuál es el volumen del cubo?

Pista: Área $ A = 6s^2 $, Volumen $ V = s^3 $ (donde $ s $ es la longitud del lado)

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Paso 1: Encuentre la longitud del lado ($ s $)

El área de superficie total es la suma de 6 caras cuadradas idénticas.
$ 6s^2 = 150 $
$ s^2 = 25 $ (Divida por 6)
$ s = 5 \text{ pies} $ (Saque la raíz cuadrada)

Paso 2: Calcule el volumen

$ V = s^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 $
Volumen = $ 125 \text{ pies cúbicos} $

Ángulos complementarios: ¿Qué dos ángulos son complementarios?

21$^{\circ} $ y 78$^{\circ} $
58$^{\circ} $ y 22$^{\circ} $
67$^{\circ} $ y 23$^{\circ} $
140$^{\circ} $ y 40$^{\circ} $

Definición: Los ángulos complementarios suman 90$^{\circ} $.

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Debemos encontrar el par que suma exactamente 90$^{\circ} $:

A) 21 + 78 = 99$^{\circ} $
B) 58 + 22 = 80$^{\circ} $
C) 67 + 23 = 90$^{\circ} $ (Estos son complementarios)
D) 140 + 40 = 180$^{\circ} $ (Estos son suplementarios)

Respuesta: C

Ángulos suplementarios: ¿Qué dos ángulos no son suplementarios?

30$^{\circ} $ y 150$^{\circ} $
5$^{\circ} $ y 175$^{\circ} $
89$^{\circ} $ y 91$^{\circ} $
23$^{\circ} $ y 177$^{\circ} $

Definición: Los ángulos suplementarios suman 180$^{\circ} $.

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Debemos encontrar el par que no suma exactamente 180$^{\circ} $:

A) 30 + 150 = 180$^{\circ} $
B) 5 + 175 = 180$^{\circ} $
C) 89 + 91 = 180$^{\circ} $
D) 23 + 177 = 200$^{\circ} $ (Estos no son iguales a 180)

Respuesta: D

Área de trapecio: Encuentre la altura $ h $ del trapecio para que su área sea igual a 400 centímetros cuadrados. $Trapecio con base superior 10cm, base inferior 30cm y altura h$

Pista: $ A_{\text{trapecio}} = \frac{1}{2}h(b_1 + b_2) $

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Las bases dadas son $ b_1 = 27 $ y $ b_2 = 13 $. El Área es 400.
$ 400 = \frac{1}{2}h(27 + 13) $ (Sustituya los valores conocidos)
$ 400 = \frac{1}{2}h(40) $
$ 400 = 20h $
$ h = \dfrac{400}{20} $
$ h = 20 \text{ cm} $

Área de paralelogramo: Encuentre el ancho $ w $ del paralelogramo para que su área sea igual a 600 pies cuadrados. $Paralelogramo con altura 20 pies y base w$

Pista: $ A_{\text{paralelogramo}} = \text{base} \times \text{altura} $

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La altura dada es 20 pies. El área es 600. La base está etiquetada como $ w $.
$ 600 = w \times 20 $
$ w = \dfrac{600}{20} $
$ w = 30 \text{ pies} $

Área compleja: Encuentre el área de la forma sombreada según las dimensiones visuales proporcionadas. $Forma geométrica compleja$

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El área de la región sombreada es igual al área del rectángulo grande de 40 por 25, al cual le restamos el área del rectángulo blanco pequeño de 14 por 12 (izquierda) y el área del triángulo blanco de altura 10 y ancho 25 (derecha).
$ \text{Área de la región sombreada} = 40 \times 25 - 14 \times 12 - \dfrac{1}{2} \times 10 \times 25 = 707 \; \text {cm}^2 $

Área de superficie de una caja abierta: Encuentre el área de superficie total de la caja, que está abierta por la parte superior. $Dimensiones de una caja rectangular abierta$

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Para encontrar el área de superficie de una caja abierta, calculamos el área de la base (12 por 9) y sumamos dos veces el área del frente (12 por 11) y dos veces el área del lado derecho (11 por 9). No incluimos la cara superior.

Utilizando las dimensiones proporcionadas en el gráfico, calcule las caras rectangulares individuales.
$ \text{Área de superficie total} = 12 \times 9 + 2 \times 11 \times 9 + 2 \times 11 \times 12 = 570 \; \text{cm}^2 $.

Geometría de coordenadas: Si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, ¿cuáles son las coordenadas del punto D? $Cuadrícula de coordenadas que muestra los puntos A, B y C$

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Para que ABCD sea un paralelogramo, los lados opuestos deben ser paralelos y de igual longitud. Usando vectores, para que ABCD sea un paralelogramo los vectores $ \vec{AB} $ y $ \vec{DC} $ deben ser iguales.

Componentes de $ \vec{AB} = \lt 8-2 , 6 - 6 \gt = \lt 6 , 0 \gt $.
Sea $ (a,b) $ las coordenadas del punto D.
Componentes de $ \vec{DC} = \lt 7-a , 2 - b \gt $.
Los vectores son iguales si sus componentes son iguales, de ahí las ecuaciones: $ 7 - a = 6 $ y $ 2 - b = 0 $.
Resuelva las ecuaciones para encontrar: $ a = 1 $ y $ b = 2 $
El punto D está ubicado en (1, 2).

Triángulos rectángulos: ¿Cuáles de los triángulos mostrados son triángulos rectángulos? $Cuatro triángulos etiquetados A, B, C, D$

Pista: En un triángulo rectángulo, $ a^2 + b^2 = c^2 $ (Teorema de Pitágoras) y un ángulo debe ser igual a 90$^{\circ} $.

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A: Los ángulos se dan en el triángulo A: El tercer ángulo es igual a $180-62-28 = 90^{\circ} $, el triángulo A es un triángulo rectángulo
B: Los lados se dan en el triángulo B: Use el Teorema de Pitágoras asumiendo que el lado más largo de longitud $ 5 $ es la hipotenusa: $ 3^2 + 3.9^2 = 24.21 $ no es igual a $ 5^2 $ y, por lo tanto, el triángulo B NO es un triángulo rectángulo.
C: Los lados se dan en el triángulo C: Use el Teorema de Pitágoras asumiendo que el lado más largo de longitud $ 15 $ es la hipotenusa: $ 9^2 + 12^2 = 225 $ es igual a $ 15^2 = 225 $ y, por lo tanto, el triángulo C es un triángulo rectángulo.
Los triángulos A y C son triángulos rectángulos.

Ángulos de triángulo: Encuentre el ángulo exterior $ x $ si el triángulo ABC es un triángulo rectángulo con el ángulo B = 90$^{\circ} $. $Triángulo rectángulo con un ángulo exterior x$

Pista: Los ángulos interiores suman 180$^{\circ} $. Los ángulos exteriores y su ángulo interior adyacente son suplementarios (suman 180$^{\circ} $).

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Primero, determine el ángulo interior faltante usando la regla de que la suma de los ángulos interiores es 180$^{\circ} $ en el triángulo ABC.
El ángulo interior adyacente a $ x $ es $ 180^{\circ} - 90^{\circ} - 47^{\circ} = 43^{\circ} $.
Debido a que $ x $ forma una línea recta con ese ángulo interior y el ángulo de $ 35^{\circ} $, deben sumar 180$^{\circ} $.
$ x + 43 + 35 = 180^{\circ} $
Resuelva para $ x $ : $ x = 102^{\circ} $

Triángulos semejantes: Encuentre todos los lados desconocidos $ x, y, z, $ y $ w $ si los tres triángulos son semejantes. $Tres triángulos semejantes de escala creciente$

Pista: Cuando dos triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales: $ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} $

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Para encontrar los lados faltantes, establezca razones usando los lados correspondientes de triángulos semejantes.

$ \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} = \dfrac{3}{x} $
$ \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} $
Resuelva las ecuaciones: $ \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} $ , $ \dfrac{12}{36} = \dfrac{3}{x} $ , $ \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} $ y $ \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} $ para obtener.
$ x = 9 $
$ y = 51 $
$ z = 144 $
$ w = 36 $

Reflexión de coordenadas: Un cuadrilátero con vértices (-2,6), (6,8), (9,2) y (4,-1) se refleja sobre el eje x. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices después de la reflexión?

Pista: Reflexión sobre el eje x: $ (x,y) \to (x,-y) $

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Para reflejar un punto a través del eje x, la coordenada x permanece igual y la coordenada y cambia su signo.

$ (-2, 6) \to $ $ (-2, -6) $
$ (6, 8) \to $ $ (6, -8) $
$ (9, 2) \to $ $ (9, -2) $
$ (4, -1) \to $ $ (4, 1) $

Escalas de volumen: El lado del cubo A es 3 veces el lado del cubo B. El volumen del cubo A es 3,375 pies cúbicos. Encuentre el volumen del cubo B.

Pista: $ V = s^3 $

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Método 1: Factor de escala

Si la razón de longitud de lado es 3:1, la razón de volumen es elevada al cubo: $ 3^3 : 1^3 = 27:1 $.
Esto significa que el Cubo A es 27 veces más grande en volumen que el Cubo B.
$ 3375 \div 27 = $ $ 125 \text{ pies cúbicos} $.

Método 2: Álgebra

$ V_A = (s_A)^3 = 3375 $. Por lo tanto, $ s_A = \sqrt[3]{3375} = 15 \text{ pies} $.
Dado que $ s_A = 3 \times s_B $, entonces $ 15 = 3 \times s_B $, así que $ s_B = 5 \text{ pies} $.
$ V_B = (5)^3 = $ $ 125 \text{ pies cúbicos} $.

Escalas de área (Rectángulos semejantes): La longitud del rectángulo A es 24 cm y la longitud del rectángulo B es 96 cm. Los dos rectángulos son semejantes. Encuentre la razón entre el área de A y el área de B.

Pista: La razón de las áreas de figuras semejantes es el cuadrado de la razón de sus lados correspondientes.

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Encuentre la razón de sus longitudes correspondientes: $ \dfrac{24}{96} $.
Simplifique la razón de los lados: $ \dfrac{24}{96} = \dfrac{1}{4} $.
Para encontrar la razón de las áreas, eleve al cuadrado la razón de los lados: $ \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1^2}{4^2} = \dfrac{1}{16} $.
La razón entre el área de A y el área de B es 1:16.

Problemas y preguntas de geometría de 8º grado con respuestas

Preguntas de práctica

Enlaces y referencias