Soluciones a Problemas de Geometría de 8º Grado

A continuación se presentan soluciones detalladas y explicaciones completas para problemas y preguntas de geometría de 8º grado.

1. Encuentra el área superficial total y el volumen de un contenedor cilíndrico cerrado con un radio de 5 cm y una altura de 34 cm.

Solución

El área superficial total A de un cilindro está dada por la suma del área de la superficie lateral más las áreas de la base y el fondo del contenedor.

\begin{align} A &= 2 \times \text{radio} \times \pi \times \text{altura} + \pi \times \text{radio}^2 + \pi \times \text{radio}^2 \\ &= 2 \times 5 \times \pi \times 34 + \pi \times 5^2 + \pi \times 5^2 \\ &= 340\pi + 25\pi + 25\pi = 390\pi \text{ centímetros cuadrados} \\ &= 1224.6 \text{ centímetros cuadrados (usando } \pi = 3.14\text{)} \end{align}

El volumen V del cilindro dado es igual a

\begin{align} V &= \pi \times \text{radio}^2 \times \text{altura} \\ &= \pi \times 25 \times 34 = 850\pi \text{ centímetros cúbicos} \\ &= 2669 \text{ centímetros cúbicos (usando } \pi = 3.14\text{)} \end{align}

2. Encuentra el área superficial total y el volumen de un contenedor cónico cerrado con un radio de 5 cm y una altura de 15 cm. (Redondea tu respuesta a la unidad más cercana).

Solución

El área superficial total A de un cono está dada por la suma del área de la superficie lateral más el área de la base.

\begin{align} A &= \pi \times \text{radio} \times \text{generatriz} + \pi \times \text{radio}^2 \end{align}

La generatriz S, la altura del cono (h = 15 cm) y el radio (r = 5 cm) de su base forman un triángulo rectángulo donde S puede encontrarse usando el teorema de Pitágoras de la siguiente manera.

\begin{align} S^2 &= 15^2 + 5^2 = 250 \\ S &= 15.8 \text{ cm} \end{align}
\begin{align} A &= \pi \times 5 \times 15.8 + \pi \times 25 \\ &= 104\pi \text{ centímetros cuadrados} \\ &= 327 \text{ centímetros cuadrados (usando } \pi = 3.14\text{)} \end{align}

El volumen V del cono está dado por

\begin{align} V &= \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \\ &= \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 15 \\ &= 125\pi \text{ centímetros cúbicos} \\ &= 393 \text{ centímetros cúbicos} \end{align}

3. Un cubo tiene un área superficial total de las seis caras igual a 150 pies cuadrados. ¿Cuál es el volumen del cubo?

Solución

El área superficial de una cara cuadrada es igual a

\begin{align} \frac{150}{6} = 25 \text{ pies cuadrados} \end{align}

Dado que la cara de un cubo es cuadrada, si x es la longitud de una arista del cubo, entonces

\begin{align} x^2 &= 25 \text{ pies cuadrados} \\ x &= 5 \text{ pies} \end{align}

El volumen V del cubo es igual a

\begin{align} V = 5 \times 5 \times 5 = 125 \text{ pies cúbicos} \end{align}

4. ¿Qué dos ángulos son complementarios?

  1. \(21^{\circ} \) y \(78^{\circ} \)
  2. \(58^{\circ} \) y \(22^{\circ} \)
  3. \(67^{\circ} \) y \(23^{\circ} \)
  4. \(140^{\circ} \) y \(40^{\circ} \)

Solución

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90°

  1. \(21^{\circ} + 78^{\circ} = 99^{\circ}\)
  2. \(58^{\circ} + 22^{\circ} = 80^{\circ}\)
  3. \(67^{\circ} + 23^{\circ} = 90^{\circ}\)
  4. \(140^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}\)

Los ángulos \( 67^{\circ} \) y \( 23^{\circ} \) son complementarios

5. ¿Qué dos ángulos no son suplementarios?

  1. \(30^{\circ}\) y \( 150^{\circ} \)
  2. \( 5^{\circ} \) y \( 175^{\circ} \)
  3. \( 89^{\circ} \) y \( 91^{\circ} \)
  4. \(23^{\circ}\) y \( 177^{\circ} \)

Solución

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a \( 180^{\circ} \)

  1. \(30^{\circ} + 150^{\circ} = 180^{\circ}\)
  2. \(5^{\circ} + 175^{\circ} = 180^{\circ}\)
  3. \(89^{\circ} + 91^{\circ} = 180^{\circ}\)
  4. \(23^{\circ} + 177^{\circ} = 200^{\circ}\)

Los ángulos \(23^{\circ}\) y \( 177^{\circ} \) no son suplementarios.

6. Encuentra la altura h del trapecio para que su área sea igual a 400 cm².

Problema de geometría 6

Solución

El área A de un trapecio está dada por la fórmula

\begin{align} A &= \frac{1}{2}(\text{base}_1 + \text{base}_2) \times \text{altura} \\ &= \frac{1}{2}(27 + 13) \times h \end{align}

El área A del trapecio es igual a 400 cm². Por lo tanto,

\begin{align} \frac{1}{2}(27 + 13) \times h &= 400 \\ \frac{1}{2}(40) \times h &= 400 \\ 20 \times h &= 400 \\ h &= 20 \text{ cm} \end{align}

16. La longitud del rectángulo A es 24 cm y la longitud del rectángulo B es 96 cm. Los dos rectángulos son semejantes. Encuentra la razón del área de A al área de B.

Solución

Sean Wa y Wb los anchos de los rectángulos A y B respectivamente. Dado que los dos rectángulos son semejantes, tenemos la siguiente proporcionalidad

\begin{align} \frac{W_a}{24} = \frac{W_b}{96} \end{align}

Las áreas Aa y Ab de los rectángulos A y B respectivamente están dadas por

\begin{align} A_a = 24 \times W_a \text{ y } A_b = 96 \times W_b \end{align}

La razón Aa / Ab está dada por

\begin{align} \frac{A_a}{A_b} = \frac{24 \times W_a}{96 \times W_b} = \frac{24}{96} \times \frac{W_a}{W_b} \end{align}

La ecuación Wa / 24 = Wb / 96 obtenida anteriormente puede escribirse como

\begin{align} \frac{W_a}{W_b} = \frac{24}{96} \end{align}

Ahora sustituimos para obtener

\begin{align} \frac{A_a}{A_b} = \frac{24}{96} \times \frac{24}{96} = \frac{1}{16} \end{align}

Respuestas a las Preguntas Anteriores

  1. área = 390π cm², volumen = 850π cm³
  2. área = 327 cm², volumen = 393 cm³
  3. volumen = 125 pies³
  4. C) \( 67^{\circ} \) y \( 23^{\circ} \) grados son complementarios
  5. D) \( 23^{\circ} \) y \( 177^{\circ} \) no son suplementarios
  6. h = 20 cm
  7. w = 30 pies
  8. área = 707 cm²
  9. área superficial = 570 cm²
  10. (1, 2)
  11. los triángulos A) y C) son triángulos rectángulos
  12. \( x = 102^{\circ}\)
  13. x = 9, y = 51, z = 144, w = 36
  14. vértices después de la reflexión (-2,-6), (6,-8), (9,-2) y (4,1)
  15. volumen del cubo B = 125 pies³
  16. razón del área de A al área de B = 1:16

Más Referencias y Enlaces