Soluciones con explicaciones completas a preguntas de ecuaciones cuadráticas para 8° grado. Algunos de estos problemas pueden ser desafiantes, por lo que vale la pena resolverlos incluso si toman tiempo. Aprendemos resolviendo problemas que al principio no sabemos cómo solucionar.
Dos enteros consecutivos son de la forma:
\( x \) y \( x + 1 \)
Su producto es igual a 56:
\[ x(x + 1) = 56 \]Resolvemos y encontramos los dos números \( x \) y \( x + 1 \). La ecuación anterior se puede escribir como:
\[ x^{2} + x - 56 = 0 \]Factorizamos y resolvemos:
\[ (x - 7)(x + 8) = 0 \]Soluciones: \( x = 7 \), \( x = -8 \)
\( x = -8 \) no es válido porque los números deben ser positivos. Por lo tanto:
\( x = 7 \) y \( x + 1 = 8 \) son los dos números consecutivos.
Dos enteros consecutivos son de la forma:
\( x \) y \( x + 1 \)
La suma de sus cuadrados es igual a 145:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} = 145 \]Expandimos y agrupamos términos semejantes, luego escribimos en forma estándar:
\[ 2x^{2} + 2x - 144 = 0 \]Dividimos todos los términos por 2:
\[ x^{2} + x - 72 = 0 \]Factorizamos y resolvemos:
\[ (x + 9)(x - 8) = 0 \]Soluciones: \( x = 8 \) (solo la solución positiva)
Los dos números consecutivos son:
\( x = 8 \) y \( x + 1 = 9 \).
El área es igual a largo por ancho, entonces:
\[ (x + 2)(x + 1) = 42 \]Expandimos y agrupamos términos semejantes:
\[ x^{2} + 3x + 2 = 42 \]Reescribimos en forma estándar:
\[ x^{2} + 3x - 40 = 0 \]Factorizamos y resolvemos:
\[ (x + 8)(x - 5) = 0 \]Soluciones: \( x = -8 \) y \( x = 5 \)
Solo \( x = 5 \) da longitud y ancho positivos:
Longitud: \( x + 2 = 7 \)
Ancho: \( x + 1 = 6 \)
El perímetro es:
\[ 2 \times \text{longitud} + 2 \times \text{ancho} = 14 + 12 = 26 \]Sea \( y \) la longitud del cateto más corto. Entonces el cateto más largo es:
\( y + 3 \)
La hipotenusa es 3 cm más larga que el cateto más largo, entonces:
\( (y + 3) + 3 = y + 6 \)
Usamos el teorema de Pitágoras:
\[ y^{2} + (y + 3)^{2} = (y + 6)^{2} \]Expandimos y simplificamos:
\[ y^{2} + y^{2} + 6y + 9 = y^{2} + 12y + 36 \] \[ y^{2} - 6y - 27 = 0 \]Factorizamos y resolvemos:
\[ (y - 9)(y + 3) = 0 \]Solo \( y = 9 \) es válido ya que la longitud debe ser positiva.
Longitud de la hipotenusa:
\( y + 6 = 15 \text{ cm} \)
El objeto está a 80 pies sobre el suelo cuando \( h = 80 \), entonces:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 = 80 \]Reescribimos en forma estándar:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 - 80 = 0 \implies -16t^{2} + 64t - 48 = 0 \]Factorizamos y resolvemos:
\[ -16(t^{2} - 4t + 3) = 0 \] \[ -16 (t - 1)(t - 3) = 0 \]Soluciones: \( t = 1 \) segundo y \( t = 3 \) segundos.
El objeto alcanza 80 pies en \( t = 1 \), sube, luego baja y pasa nuevamente por 80 pies en \( t = 3 \) antes de seguir cayendo.
Sea \( L \) el largo y \( W \) el ancho. Dado:
\[ L \times W = 96 \]El perímetro es 40, entonces:
\[ 2(L + W) = 40 \implies L + W = 20 \implies L = 20 - W \]Sustituimos en la ecuación del área:
\[ (20 - W) \times W = 96 \]Expandimos y reorganizamos:
\[ 20W - W^{2} = 96 \implies W^{2} - 20W + 96 = 0 \]Factorizamos y resolvemos:
\[ (W - 8)(W - 12) = 0 \]Soluciones: \( W = 8 \), \( W = 12 \)
Encontramos el \( L \) correspondiente:
\[ \begin{cases} W = 8 \implies L = 12 \\ W = 12 \implies L = 8 \end{cases} \]Asumiendo que el largo es mayor, las dimensiones son:
\( W = 8 \) y \( L = 12 \)
Sea \( b \) la base, entonces la altura es \( b + 3 \). Fórmula del área:
\[ 54 = \frac{1}{2} \times b \times (b + 3) \]Multiplicamos ambos lados por 2:
\[ 108 = b(b + 3) \]Reescribimos como cuadrática:
\[ b^{2} + 3b - 108 = 0 \]Resolvemos la cuadrática:
\[ b = 9 \quad \text{o} \quad b = -12 \]La base debe ser positiva, entonces \( b = 9 \). La altura es:
\[ 9 + 3 = 12 \]Sean los enteros \( x \), \( x + 1 \), y \( x + 2 \).
Producto del primero y el tercero:
\[ x(x + 2) = x^{2} + 2x \]Uno menos que el cuadrado del segundo:
\[ (x + 1)^{2} - 1 = x^{2} + 2x + 1 - 1 = x^{2} + 2x \]Ambas expresiones son iguales para todo \( x \) real. Por lo tanto, cualquier conjunto de tres enteros consecutivos cumple la condición.
Sea \( x \) el número más pequeño. Entonces el número mayor es \( x + \frac{7}{2} \).
El producto es:
\[ x \left( x + \frac{7}{2} \right) = 2 \]Reescribimos como una cuadrática:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x - 2 = 0 \]Resolvemos la cuadrática:
\[ x = \frac{1}{2} \quad \text{o} \quad x = -4 \]La solución positiva es \( x = \frac{1}{2} \), entonces los números son:
\[ \frac{1}{2} \quad \text{y} \quad \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = 4 \]Sean los enteros \( x \), \( x + 1 \), y \( x + 2 \).
La suma de sus cuadrados es:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} = 77 \]Expandimos y simplificamos:
\[ 3x^{2} + 6x - 72 = 0 \]Resolvemos la cuadrática:
\[ x = 4 \quad \text{o} \quad x = -6 \]Para \( x = 4 \), los enteros son:
\( 4, 5, 6 \)
Para \( x = -6 \), los enteros son:
\( -6, -5, -4 \)