¿Qué es el teorema de la desigualdad triangular?

El teorema de la desigualdad triangular establece que la suma de las longitudes de cualesquiera dos lados de un triángulo debe ser estrictamente mayor que la longitud del tercer lado. Si no se cumple esta condición, el triángulo no puede existir.

¿Cómo se encuentra el área de un triángulo rectángulo en un plano de coordenadas?

Primero, utilice la fórmula de la distancia para hallar las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo. Luego, multiplique las longitudes de los dos catetos y divídalas por 2, usando la fórmula Área = 1/2 × base × altura.

¿Cómo se utilizan triángulos semejantes para hallar longitudes de lados faltantes?

Cuando dos triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales. Puede establecer una razón comparando el lado conocido de un triángulo con el lado conocido correspondiente del otro, e igualarla a la razón del lado que está intentando hallar.

Problemas sobre triángulos de 8º grado: Preguntas de práctica y soluciones paso a paso

Desigualdad triangular: Las longitudes de dos lados de un triángulo son 20 mm y 13 mm. ¿Cuál de estas longitudes no puede representar la longitud del tercer lado?

35 mm
10 cm
20 mm
45 mm

Pista: La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser estrictamente mayor que el tercer lado.

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En cualquier triángulo, la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera debe ser mayor que la longitud del tercer lado.

Dados dos lados con longitudes de 20 mm y 13 mm, su suma es:

$ 20 + 13 = 33 \text{ mm} $

Por lo tanto, la longitud del tercer lado $ x $ debe satisfacer:

$ x \lt 33 \text{ mm} $

Ahora compruebe las opciones dadas (recordando convertir cm a mm):

A) $ 35 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} $ (No es posible)
B) $ 10 \text{ cm} = 100 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} $ (No es posible)
C) $ 20 \text{ mm} \lt 33 \text{ mm} $ (Posible)
D) $ 45 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} $ (No es posible)

Respuesta: Las longitudes de 35 mm, 10 cm y 45 mm no pueden representar el tercer lado.

Ángulos isósceles: El triángulo ABC es un triángulo isósceles. Encuentre el tamaño del ángulo ABC. $Triángulo isósceles ABC con ángulo superior de 72 grados$

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La suma de los ángulos interiores en cualquier triángulo es $ 180^\circ $:

$ 72^\circ + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ $

Debido a que el triángulo ABC es isósceles (indicado por las marcas en los lados AB y AC), sus ángulos de la base son iguales:

$ \angle ACB = \angle ABC $

Sea $ \angle ABC = x $. Entonces:

$ 72^\circ + 2x = 180^\circ $
$ 2x = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ $
$ x = 54^\circ $

Respuesta: $ \angle ABC = 54^\circ $

Perímetro equilátero: El perímetro de un triángulo equilátero es igual a 210 cm. ¿Cuál es la longitud de un lado de este triángulo?

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En un triángulo equilátero, los tres lados tienen la misma longitud. Si la longitud de un lado es $ x $, entonces el perímetro es:

$ 3x = 210 $
$ x = \dfrac{210}{3} $
$ x = 70 \text{ cm} $

Respuesta: La longitud de un lado es 70 cm.

Álgebra pitagórica: Encuentre $ x $ para que el triángulo que se muestra a continuación sea un triángulo rectángulo. $Triángulo rectángulo con catetos 12x y 16x e hipotenusa 10$

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Utilice el teorema de Pitágoras ($ a^2 + b^2 = c^2 $):

$ (12x)^2 + (16x)^2 = 10^2 $
$ 144x^2 + 256x^2 = 100 $
$ 400x^2 = 100 $
$ x^2 = \dfrac{100}{400} = \dfrac{1}{4} $

Tomando la raíz cuadrada positiva (dado que un multiplicador de longitud de lado debe ser positivo):

$ x = \dfrac{1}{2} $

Respuesta: $ x = 0.5 $

Reflexión de coordenadas: ¿Cuáles serán los vértices del triángulo obtenido mediante una reflexión a través del eje x del triángulo definido por los vértices (1, 2), (2, -3) y (4, -1)?

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Cuando un punto $ (x, y) $ se refleja a través del eje x, su posición horizontal permanece igual, pero su posición vertical cambia de signo. La regla es $ (x, y) \to (x, -y) $.

Aplicando esta regla a cada vértice:

$ (1, 2) \to $ $ (1, -2) $
$ (2, -3) \to $ $ (2, 3) $
$ (4, -1) \to $ $ (4, 1) $

Triángulos semejantes: Los dos triángulos que se muestran a continuación son semejantes. Encuentre la longitud de la hipotenusa del triángulo más grande. $Dos triángulos rectángulos semejantes. Triángulo pequeño con catetos 6 y 8. Triángulo grande con cateto correspondiente 15.$

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Primero, encuentre la hipotenusa $ h $ del triángulo rectángulo más pequeño usando el teorema de Pitágoras:

$ h^2 = 8^2 + 6^2 $
$ h^2 = 64 + 36 = 100 $
$ h = 10 $

En triángulos semejantes, los lados correspondientes son proporcionales. Sea $ H $ la hipotenusa del triángulo más grande. La razón de los catetos correspondientes es igual a la razón de las hipotenusas:

$ \dfrac{6}{15} = \dfrac{10}{H} $

Multiplique en cruz para resolver $ H $:

$ 6 H = 150 $
$ H = \dfrac{150}{6} $
$ H = 25 $

Respuesta: La longitud de la hipotenusa del triángulo más grande es 25 unidades.

Aplicación en el mundo real: Una escalera de 13 pies está apoyada contra una pared vertical. El punto más bajo de la escalera está a 4 pies de la pared. ¿Cuál es la altura del punto donde la escalera toca la pared? (Redondee su respuesta al décimo de pie más cercano).

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La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo donde la escalera es la hipotenusa ($ c = 13 $) y la distancia del suelo es un cateto ($ a = 4 $). Sea la altura de la pared $ x $.

Use el teorema de Pitágoras:

$ x^2 + 4^2 = 13^2 $
$ x^2 + 16 = 169 $
$ x^2 = 169 - 16 = 153 $
$ x = \sqrt{153} $

Calculando la raíz cuadrada:

$ x \approx 12.369 $

Respuesta: La escalera toca la pared a aproximadamente 12.4 pies.

Triángulos rectángulos especiales: La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 40 cm. El tamaño de uno de sus ángulos es 45 grados. ¿Cuáles son las longitudes exactas de los otros dos lados del triángulo?

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En un triángulo rectángulo, si un ángulo es $ 45^\circ $, el otro ángulo agudo debe ser $ 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $. Debido a que los ángulos de la base son iguales, el triángulo es isósceles, lo que significa que ambos catetos tienen exactamente la misma longitud. Sea la longitud de cada cateto $ x $.

Usando el teorema de Pitágoras:

$ x^2 + x^2 = 40^2 $
$ 2x^2 = 1600 $
$ x^2 = 800 $
$ x = \sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2} $

Respuesta: La longitud exacta de cada uno de los otros dos lados es $ 20\sqrt{2} $ cm.

Perímetro isósceles: El triángulo ABC es un triángulo isósceles. La longitud de la base es 20 metros y la altura correspondiente es 24 metros. Encuentre el perímetro de ABC.

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La altura de un triángulo isósceles biseca la base, dividiéndola en dos segmentos iguales de 10 metros cada uno, y forma dos triángulos rectángulos idénticos.

$Triángulo isósceles dividido en dos triángulos rectángulos por su altura$

Utilice el teorema de Pitágoras para hallar la longitud $ x $ de los lados inclinados (la hipotenusa de los triángulos rectángulos):

$ x^2 = 24^2 + 10^2 $
$ x^2 = 576 + 100 = 676 $
$ x = \sqrt{676} = 26 \text{ metros} $

El perímetro del triángulo es la suma de la base y los dos lados inclinados idénticos:

$ \text{Perímetro} = 20 + 26 + 26 = 72 $

Respuesta: El perímetro es 72 metros.

Álgebra de área: Un triángulo tiene un área de 90 cm². Encuentre la longitud de la base si la base es 3 cm más larga que la altura.

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Sea $ h $ la altura. La base $ b $ se da como $ b = h + 3 $.

Usando la fórmula del área $ A = \dfrac{1}{2} \times b \times h $:

$ 90 = \dfrac{1}{2}(h + 3)h $

Multiplique ambos lados por 2 para eliminar la fracción:

$ 180 = h(h + 3) $
$ h^2 + 3h - 180 = 0 $

Factorice la ecuación cuadrática:

$ (h + 15)(h - 12) = 0 $

Dado que la altura debe ser una medida positiva, $ h = 12 $.

Calcule la base:

$ b = 12 + 3 = 15 $

Respuesta: La longitud de la base es 15 cm.

Álgebra de perímetro: El perímetro de un triángulo es de 74 pulgadas. La longitud del primer lado es el doble de la longitud del segundo lado. El tercer lado es 4 pulgadas más largo que el primero. Encuentre la longitud de cada lado.

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Sea $ x $ la longitud del segundo lado. Podemos definir los otros lados basados en $ x $:

Primer lado = $ 2x $
Segundo lado = $ x $
Tercer lado = $ 2x + 4 $

El perímetro es la suma de los tres lados:

$ 2x + x + (2x + 4) = 74 $
$ 5x + 4 = 74 $
$ 5x = 70 $
$ x = 14 $

Ahora, sustituya $ x = 14 $ de nuevo en las expresiones de los lados:

Primer lado: $ 2(14) = 28 \text{ pulgadas} $
Segundo lado: $ 14 \text{ pulgadas} $
Tercer lado: $ 28 + 4 = 32 \text{ pulgadas} $

Respuesta: Las longitudes de los lados son 28, 14 y 32 pulgadas.

Área de coordenadas: Determine el área del triángulo encerrado por las líneas $ y = -4 $, $ x = 1 $ y $ y = -2x + 8 $.

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Los vértices del triángulo son los puntos donde se cruzan estas tres líneas. Encontremos los puntos A, B y C.

$Triángulo graficado en plano de coordenadas con líneas que se intersecan$

Encuentre el punto A (intersección de $ x = 1 $ e $ y = -2x + 8 $):

Sustituya $ x = 1 $ en la ecuación: $ y = -2(1) + 8 = 6 $
A = (1, 6)

Encuentre el punto C (intersección de $ y = -4 $ e $ y = -2x + 8 $):

Sustituya $ y = -4 $ en la ecuación: $ -4 = -2x + 8 \implies -2x = -12 \implies x = 6 $
C = (6, -4)

Encuentre el punto D (intersección de $ x = 1 $ e $ y = -4 $):

D = (1, -4)

Debido a que las líneas $ x = 1 $ (vertical) e $ y = -4 $ (horizontal) son perpendiculares, este es un triángulo rectángulo. La base y la altura son las distancias rectas vertical y horizontal:

Altura (AB) = distancia vertical de $ y = 6 $ a $ y = -4 $ = $ |6 - (-4)| = 10 $
Base (BC) = distancia horizontal de $ x = 1 $ a $ x = 6 $ = $ |6 - 1| = 5 $

Calcule el área:

$ \text{Área} = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25 $

Respuesta: El área del triángulo es 25 unidades cuadradas.

Fórmula de distancia: Demuestre que el triángulo con vértices A(-1,6), B(2,6) y C(2,2) es un triángulo rectángulo y encuentre su área.

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Calcule la longitud al cuadrado de cada lado usando la fórmula de la distancia $ d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 $:

$ AB^2 = (2 - (-1))^2 + (6 - 6)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 $
$ BC^2 = (2 - 2)^2 + (2 - 6)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16 $
$ CA^2 = (-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $

Compruebe si se aplica el teorema de Pitágoras ($ a^2 + b^2 = c^2 $):

$ AB^2 + BC^2 = 9 + 16 = 25 $
Dado que $ AB^2 + BC^2 = CA^2 $ (25 = 25), el triángulo es un triángulo rectángulo con la hipotenusa siendo el lado CA.

Debido a que es un triángulo rectángulo, AB y BC son la base y la altura. Las longitudes de los lados son $ AB = \sqrt{9} = 3 $ y $ BC = \sqrt{16} = 4 $.

Calcule el área:

$ \text{Área} = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 $

Respuesta: El triángulo es un triángulo rectángulo con un área de 6 unidades cuadradas.

Problemas y preguntas sobre triángulos de 8º grado

Preguntas de práctica

Enlaces y referencias