Problemas de práctica de geometría
-
Problema 1: Ángulos complementarios
Los ángulos \( A \) y \( B \) son complementarios, y la medida del ángulo \( A \) es el doble de la medida del ángulo \( B \). Halle las medidas de los ángulos \( A \) y \( B \).
Ver solución paso a paso
Sea \( A \) la medida del ángulo \( A \) y \( B \) la medida del ángulo \( B \). Nos dicen que:
\[ A = 2B \]
Debido a que los ángulos \( A \) y \( B \) son complementarios, su suma es \( 90^\circ \):
\[ A + B = 90^\circ \]
Sustituya \( 2B \) por \( A \) en la ecuación:
\[ 2B + B = 90^\circ \]
\[ 3B = 90^\circ \]
\[ B = \frac{90^\circ}{3} = 30^\circ \]
Ahora, sustituya \( B \) para hallar \( A \):
\[ A = 2(30^\circ) = 60^\circ \]
Respuesta: Medida de \( A = 60^\circ \), Medida de \( B = 30^\circ \).
-
Problema 2: Área de un paralelogramo
\( ABCD \) es un paralelogramo tal que \( AB \) es paralelo a \( DC \) y \( DA \) es paralelo a \( CB \). La longitud del lado \( AB \) es \( 20 \text{ cm} \). El punto \( E \) está entre \( A \) y \( B \) de tal manera que la longitud de \( AE \) es \( 3 \text{ cm} \). El punto \( F \) está entre los puntos \( D \) y \( C \).
Halle la longitud de \( DF \) tal que el segmento \( EF \) divida al paralelogramo en dos regiones con áreas iguales.
Ver solución paso a paso
Sea \( A_1 \) el área del trapecio \( AEFD \). Su área viene dada por:
\[ A_1 = \frac{1}{2} h (AE + DF) = \frac{1}{2} h (3 + DF) \]
donde \( h \) es la altura del paralelogramo.
Sea \( A_2 \) el área del trapecio \( EBCF \). Su área viene dada por:
\[ A_2 = \frac{1}{2} h (EB + FC) \]
Podemos hallar las longitudes de las bases restantes porque la longitud total de los lados del paralelogramo es \( 20 \):
\[ EB = 20 - AE = 20 - 3 = 17 \]
\[ FC = 20 - DF \]
Sustituyendo \( EB \) y \( FC \) en la ecuación de \( A_2 \):
\[ A_2 = \frac{1}{2} h (17 + 20 - DF) = \frac{1}{2} h (37 - DF) \]
Para que el segmento \( EF \) divida al paralelogramo en dos regiones de área igual, igualamos \( A_1 = A_2 \):
\[ \frac{1}{2} h (3 + DF) = \frac{1}{2} h (37 - DF) \]
Multiplicando ambos lados por 2 y dividiendo por \( h \):
\[ 3 + DF = 37 - DF \]
\[ 2DF = 34 \]
\[ DF = 17 \text{ cm} \]
-
Problema 3: Ángulos interiores de un triángulo
Halle la medida del ángulo \( A \) en la siguiente figura.
Ver solución paso a paso
Para hallar el ángulo \( A \), primero debemos hallar los otros dos ángulos interiores del triángulo usando los ángulos exteriores suplementarios.
El primer ángulo interior (inferior izquierdo) es suplementario al ángulo de \( 129^\circ \). Una línea recta mide \( 180^\circ \), por lo que:
\[ 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ \]
El segundo ángulo interior (inferior derecho) es suplementario al ángulo de \( 138^\circ \):
\[ 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \]
La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo siempre es \( 180^\circ \). Por lo tanto:
\[ A + 51^\circ + 42^\circ = 180^\circ \]
\[ A = 180^\circ - 51^\circ - 42^\circ = 87^\circ \]
-
Problema 4: Ángulos en un triángulo rectángulo
\( ABC \) es un triángulo rectángulo. \( AM \) es perpendicular a \( BC \). El tamaño del ángulo \( ABC \) es igual a \( 55^\circ \). Halle el tamaño del ángulo \( MAC \).
Ver solución paso a paso
La suma de todos los ángulos en el triángulo grande \( \triangle ABC \) es \( 180^\circ \). Debido a que es un triángulo rectángulo en \( A \), sabemos que los ángulos son \( 90^\circ \), \( 55^\circ \) (dado para \( \angle ABC \)), y \( \angle ACB \):
\[ \angle ABC + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \]
Sustituya \( \angle ABC = 55^\circ \) y resuelva para \( \angle ACB \):
\[ 55^\circ + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle ACB = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ \]
Ahora observe el triángulo más pequeño \( \triangle AMC \). La línea \( AM \) es perpendicular a \( BC \), lo que significa \( \angle AMC = 90^\circ \). La suma de ángulos en \( \triangle AMC \) es \( 180^\circ \):
\[ \angle MAC + \angle ACM + 90^\circ = 180^\circ \]
Note que \( \angle ACM \) es exactamente el mismo ángulo que \( \angle ACB \). Sustituya \( 35^\circ \) en la ecuación:
\[ \angle MAC + 35^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle MAC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \]
-
Problema 5: Ángulos opuestos por el vértice
Halle el tamaño del ángulo \( MBD \) en la siguiente figura.
Ver solución paso a paso
Primero, halle el ángulo faltante en el triángulo izquierdo, \( \triangle AMC \). La suma de sus ángulos es \( 180^\circ \):
\[ 56^\circ + 78^\circ + \angle AMC = 180^\circ \]
\[ \angle AMC = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ \]
Los ángulos \( \angle AMC \) y \( \angle DMB \) son opuestos por el vértice, lo que significa que son iguales en medida:
\[ \angle DMB = \angle AMC = 46^\circ \]
Ahora, use la suma de ángulos para el triángulo derecho, \( \triangle DMB \), que también es \( 180^\circ \):
\[ \angle MBD + \angle DMB + 62^\circ = 180^\circ \]
Sustituya \( \angle DMB = 46^\circ \):
\[ \angle MBD + 46^\circ + 62^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle MBD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \]
-
Problema 6: Líneas que se cruzan y ángulos
El tamaño del ángulo \( AOB \) es igual a \( 132^\circ \) y el tamaño del ángulo \( COD \) es igual a \( 141^\circ \). Halle el tamaño del ángulo \( DOB \).
Ver solución paso a paso
El ángulo \( \angle AOB = 132^\circ \) y está compuesto por la suma de los ángulos \( \angle AOD \) y \( \angle DOB \):
\[ \angle AOD + \angle DOB = 132^\circ \quad \text{(Ecuación 1)} \]
El ángulo \( \angle COD = 141^\circ \) y está compuesto por la suma de los ángulos \( \angle COB \) y \( \angle DOB \):
\[ \angle COB + \angle DOB = 141^\circ \quad \text{(Ecuación 2)} \]
Sume la Ecuación 1 y la Ecuación 2:
\[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB + \angle DOB = 132^\circ + 141^\circ \]
Debido a que \( A, O, \) y \( C \) forman una línea recta, los ángulos \( \angle AOD, \angle DOB, \) y \( \angle COB \) forman un ángulo llano, lo que significa:
\[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB = 180^\circ \]
Sustituya \( 180^\circ \) en nuestra ecuación combinada:
\[ 180^\circ + \angle DOB = 273^\circ \]
\[ \angle DOB = 273^\circ - 180^\circ = 93^\circ \]
-
Problema 7: Ángulos de un cuadrilátero
Halle el tamaño del ángulo \( x \) en la figura.
Ver solución paso a paso
Para hallar \( x \), primero debemos determinar todos los ángulos interiores del cuadrilátero.
Dos de los ángulos interiores se dan como \( 41^\circ \) y \( 94^\circ \).
El ángulo interior suplementario al ángulo exterior \( x \) es: \( 180^\circ - x \).
El ángulo interior suplementario al ángulo exterior \( 111^\circ \) es: \( 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ \).
La suma de todos los ángulos interiores de un cuadrilátero es \( 360^\circ \). Por lo tanto:
\[ 41^\circ + 94^\circ + (180^\circ - x) + 69^\circ = 360^\circ \]
Combine los valores constantes:
\[ 384^\circ - x = 360^\circ \]
\[ x = 384^\circ - 360^\circ = 24^\circ \]
-
Problema 8: Perímetro y área de una cuadrícula
El rectángulo a continuación está formado por 12 cuadrados congruentes (del mismo tamaño). Halle el perímetro del rectángulo si el área del rectángulo es igual a \( 432 \text{ cm}^2 \).
Ver solución paso a paso
Si el área total del rectángulo es \( 432 \text{ cm}^2 \), el área de un pequeño cuadrado es:
\[ \frac{432}{12} = 36 \text{ cm}^2 \]
Sea \( x \) la longitud del lado de un pequeño cuadrado. El área de un cuadrado es \( x^2 \):
\[ x^2 = 36 \implies x = 6 \text{ cm} \]
La cuadrícula muestra que el rectángulo tiene 4 cuadrados de largo y 3 cuadrados de ancho. Las dimensiones del rectángulo grande son:
\[ \text{Largo } (L) = 4 \times 6 = 24 \text{ cm} \]
\[ \text{Ancho } (W) = 3 \times 6 = 18 \text{ cm} \]
El perímetro \( P \) del rectángulo es:
\[ P = 2(L + W) = 2(24 + 18) = 2(42) = 84 \text{ cm} \]
-
Problema 9: Triángulos isósceles dentro de un triángulo rectángulo
\( ABC \) es un triángulo rectángulo con el tamaño del ángulo \( ACB \) igual a \( 74^\circ \). Las longitudes de los segmentos de lado \( AM \), \( MQ \), y \( QP \) son todas iguales. Halle la medida del ángulo \( QPB \).
Ver solución paso a paso
Asuma que el ángulo recto está en \( B \) (lo que hace que \( \angle ABC = 90^\circ \)). El ángulo \( \angle CAB \) en el triángulo rectángulo \( \triangle ACB \) es:
\[ \angle CAB = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ \]
Debido a que los segmentos \( AM \) y \( MQ \) tienen la misma longitud, el triángulo \( \triangle AMQ \) es un triángulo isósceles. Por lo tanto, sus ángulos de base son iguales:
\[ \angle AQM = \angle QAM = 16^\circ \]
La suma de todos los ángulos interiores en \( \triangle AMQ \) es \( 180^\circ \):
\[ 16^\circ + 16^\circ + \angle AMQ = 180^\circ \implies \angle AMQ = 148^\circ \]
El ángulo \( \angle QMP \) es suplementario al ángulo \( \angle AMQ \) (forman una línea recta en la base):
\[ \angle QMP = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ \]
Debido a que las longitudes \( QM \) y \( QP \) son iguales, el triángulo \( \triangle QMP \) también es un triángulo isósceles. Por lo tanto:
\[ \angle QPM = \angle QMP = 32^\circ \]
El ángulo \( \angle QPB \) es suplementario al ángulo \( \angle QPM \) (formando una línea recta):
\[ \angle QPB = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \]
-
Problema 10: Área por sustracción
Halle el área de la figura compuesta dada.
Ver solución paso a paso
El área de la figura dada se puede hallar fácilmente calculando el área del rectángulo delimitador completo y restando el triángulo rectángulo "faltante" en la esquina superior derecha.
El rectángulo delimitador completo tiene dimensiones de \( 20 \text{ cm} \) por \( 15 \text{ cm} \).
Los lados del triángulo rectángulo "faltante" (rojo en el diagrama) son:
\[ \text{Base} = 20 - 8 = 12 \text{ cm} \]
\[ \text{Altura} = 15 - 10 = 5 \text{ cm} \]
Calcule el área:
\[ \text{Área} = \text{Área del rectángulo} - \text{Área del triángulo} \]
\[ \text{Área} = (20 \times 15) - \left( \frac{1}{2} \times 12 \times 5 \right) \]
\[ \text{Área} = 300 - 30 = 270 \text{ cm}^2 \]
-
Problema 11: Área sombreada
Halle el área de la región sombreada.
Ver solución paso a paso
El área de la forma sombreada se puede hallar restando el área del rectángulo sin sombrear en la parte superior izquierda del área total del rectángulo exterior grande.
Primero, halle las dimensiones del rectángulo sin sombrear en la parte superior izquierda:
\[ \text{Largo} = 30 - 8 = 22 \text{ cm} \]
\[ \text{Ancho} = 15 - 4 = 11 \text{ cm} \]
Ahora, realice la sustracción del área:
\[ \text{Área} = \text{Área del rectángulo grande} - \text{Área del rectángulo sin sombrear} \]
\[ \text{Área} = (30 \times 15) - (22 \times 11) \]
\[ \text{Área} = 450 - 242 = 208 \text{ cm}^2 \]
-
Problema 12: Ratio del cuadrado inscrito
Los vértices del cuadrado inscrito (dentro) bisecan los lados del segundo cuadrado (exterior). Halle la razón entre el área del cuadrado exterior y el área del cuadrado inscrito.
Ver solución paso a paso
Sea \( 2x \) la longitud del lado del cuadrado exterior grande. Esto significa que el punto medio del lado lo divide en segmentos de longitud \( x \).
El área del cuadrado exterior grande es:
\[ \text{Área}_{\text{exterior}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]
Sea \( y \) la longitud del lado del cuadrado inscrito. Su área es \( y^2 \).
Debido a que los vértices bisecan el cuadrado exterior, crean cuatro triángulos en las esquinas con base \( x \) y altura \( x \). Podemos usar el teorema de Pitágoras para hallar \( y^2 \):
\[ y^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \]
La razón \( R \) entre el área del cuadrado exterior y el área del cuadrado interior es:
\[ R = \frac{\text{Área}_{\text{exterior}}}{\text{Área}_{\text{interior}}} = \frac{4x^2}{2x^2} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} \]
Respuesta: La razón es 2:1.