Soluciones y explicaciones
a la geometría Problemas de grado 9
Se presentan soluciones detalladas y explicaciones completas para Geometry para el grado 9 .
Los ángulos A y B son complementarios y la medida del ángulo A es el doble de la medida del ángulo B. Halla las medidas de los ángulos A y B,
Solución
Sea A la medida del ángulo A y B la medida del ángulo B. Por lo tanto,
A = 2 B
Los ángulos A y B son complementarios; por lo tanto,
A + B = 90 °
Pero A = 2 B; por lo tanto,
2 B + B = 90
3 B = 90
B = 90 / 3 = 30°
A = 2 B = 60°
ABCD es un paralelogramo tal que AB es paralelo a DC y DA paralelo a CB. La longitud del lado AB es de 20 cm. E es un punto entre A y B tal que la longitud de AE es de 3 cm. F es un punto entre los puntos D y C. Halla la longitud del DF de modo que el segmento EF divida el paralelogramo en dos regiones con áreas iguales.
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Solución
Sea A1 el área del trapecio AEFD. Por lo tanto,
A1 = (1/2) h (AE + DF) = (1/2) h (3 + DF), h es la altura del paralelogramo.
Ahora, deje que A2 sea el área del trapecio EBCF. Por lo tanto,
A2 = (1/2) h (EB + FC)
También tenemos
EB = 20 - AE = 17 , FC = 20 - DF
Ahora sustituimos EB e FC en A2 = (1/2) h (EB + FC)
A2 = (1/2) h (17 + 20 - DF) = (1/2) h (37 - DF)
Para que EF divida el paralelogramo en dos regiones de áreas iguales, necesitamos que el área A1 y el área A2 sean iguales
(1/2) h (3 + DF) = (1/2) h (37 - DF)
Multiplica ambos lados por 2 y divide thm por h para simplificar a
3 + DF = 37 - DF
Resolver para DF
2 DF = 37 - 3
2 DF = 34
DF = 17 cm
Encuentre la medida del ángulo A en la figura a continuación.
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Solución
Un primer ángulo interior del triángulo es suplementario al ángulo cuya medida es 129° y es igual a
180 - 129 = 51°
Un segundo ángulo interior del triángulo es suplementario al ángulo cuya medida es 138° y es igual a
180 - 138 = 42°
La suma de los tres ángulos del triángulo es igual a 180 °. Por lo tanto
A + 51 + 42 = 180
A = 180 - 51 - 42 = 87°
ABC es un triángulo rectángulo. AM es perpendicular a BC. El tamaño del ángulo ABC es igual a 55°. Encuentra el tamaño del ángulo MAC.
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Solución
La suma de todos los ángulos en el triángulo ABC es igual a 180 °. Por lo tanto
ángulo ABC + ángulo ACM + 90° = 180°
Sustituir el ángulo ABC por 55 y resolver por ángulo ACM
ángulo ACM = 180 - 90 - 55 = 35°
La suma de todos los ángulos en el triángulo AMC es igual a 180 °. Por lo tanto
ángulo MAC + ángulo ACM + 90° = 180°
Sustituya el ángulo ACM por 35 y resuelva por ángulo MAC
ángulo MAC = 180 - 90 - ángulo ACM = 180 - 90 - 35 = 55°
Encuentra el ángulo MBD en la figura a continuación.
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Solución
La suma de todos los ángulos en el triángulo AMC es igual a 180 °. Por lo tanto
56 + 78 + ángulo AMC = 180
ángulo AMC = 180 - 56 - 78 = 46°
Los ángulos AMC y DMB son ángulos verticales y, por lo tanto, iguales en medidas. Por lo tanto
ángulo DMB = 46°
La suma de los ángulos del triángulo DMB es igual a 180 °. Por lo tanto
ángulo MBD + ángulo DMB + 62 = 180
Sustituya el ángulo DMB por 46 y resuelva el ángulo MBD.
ángulo MBD + 46 + 62 = 180
ángulo MBD = 180 - 46 - 62 = 72°
El tamaño del ángulo AOB es igual a 132° y el tamaño del ángulo COD es igual a 141°. Encuentra el ángulo DOB.
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Solución
ángulo AOB = 132 y es también la suma de los ángulos AOD y DOB. Por lo tanto
ángulo AOD + ángulo DOB = 132 ° (I)
ángulo COD = 141 y es también la suma de los ángulos COB y BOD. Por lo tanto
ángulo COB + ángulo DOB = 141° (II)
Ahora agregamos los lados izquierdos juntos y los lados derechos juntos para obtener una nueva ecuación.
ángulo AOD + ángulo DOB + ángulo COB + ángulo DOB = 132 + 141 (III)
Tenga en cuenta que.
angle AOD + angle DOB + angle COB = 180°
Sustituya el ángulo AOD + ángulo DOB + ángulo COB en (III) por 180 y resuelva el ángulo DOB.
180 + ángulo DOB = 132 + 141
ángulo DOB = 273 - 180 = 93°
Encuentra el tamaño del ángulo x en la figura.
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Solución
El ángulo interior del cuadrilátero a la izquierda que es suplementario a x es igual a
180 - x
El ángulo interior del cuadrilátero a la izquierda que es suplementario al ángulo de medida 111° es igual a
180 - 111 = 69°
La suma de todos los ángulos interiores del cuadrilátero es igual a 360°. Por lo tanto
41 + 94 + 180 - x + 69 = 360
Solución para x
41 + 94 + 180 - x + 69 = 360
384 - x = 360
x = 384 - 360 = 24°
El rectángulo de abajo está formado por 12 cuadrados congruentes (del mismo tamaño). Encuentra el perímetro del rectángulo si el área del rectángulo es igual a 432 cm cuadrados.
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Solución
Si el área total del rectángulo es 432 cm cuadrados, el área de un cuadrado es igual a
432 / 12 = 36 cm cuadrado
Deje x ser el lado de un pequeño cuadrado. Por lo tanto, el área de un círculo pequeño igual a 36 da
x2 = 36
Solución para x
x = 6 cm
La longitud L del perímetro es igual a 4 x y el ancho W es igual a 3 x. Por lo tanto
L = 4 × 6 = 24 cm e W = 3 × 6 = 18 cm
El perímetro P del rectángulo está dado por
P = 2 (L + W) = 2(24 + 18) = 84 cm
ABC es un triángulo rectángulo con el tamaño del ángulo ACB igual a 74°. Las longitudes de los lados AM, MQ y QP son todas iguales. Encuentra el ángulo QPB.
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Solución
CAB de ángulo en el triángulo rectángulo ACB está dada por
90 - 74 = 16°
Los lados AM y MQ en tamaño y por lo tanto el triángulo AMQ es isósceles y por lo tanto
ángulo AQM = ángulo QAM = 16°
La suma de todos los ángulos interiores en el triángulo AMQ es igual a 180 °. Por lo tanto
16 + 16 + ángulo AMQ = 180
Resolver para ángulo AMQ
ángulo AMQ = 180 - 32 = 148°
El ángulo QMP es suplementario al ángulo AMQ. Por lo tanto
ángulo QMP = 180 - ángulo AMQ = 180 - 148 = 32°
Las longitudes de QM y QP son iguales; por lo tanto, el triángulo QMP es isósceles y, por lo tanto, el ángulo QPM tiene el mismo tamaño que el ángulo QMP. Por lo tanto
ángulo QPM = 32°
El ángulo QPB es suplementario al ángulo QPM. Por lo tanto
ángulo QPM = 180 - ángulo QPM = 180 - 32 = 148°
Encuentra el área de la forma dada.
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Solución
Deje A ser el área total del rectángulo 20 por 15
A = 20 × 20 = 300 cm cuadrado
El área C de la forma es igual al área total A desde la cual restamos el área B del triángulo en la esquina inferior derecha.
B = (1 / 2)(15 - 10)(20 -8) = 30 cm cuadrado
C = 300 - 30 = 270 cm cuadrado
Encuentra el área de la región sombreada.
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Solución
Subtract area of small rectangle from area of large rectangle
A = 30×15 - (30 - 8)×(15 - 4) = 208 cm cuadrado
Los vértices del cuadrado inscrito (interior) bisecan los lados del segundo cuadrado (exterior). Encuentra la relación entre el área del cuadrado exterior y el área del cuadrado inscrito.
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Solución
Deje x ser el lado del cuadrado grande. Usa el teorema de Pitágoras para encontrar los lados del cuadrado más pequeño.
s2 = (x/2)2 + (x/2)2
Simplifica lo anterior para obtener
s2 = (x/2)2 + (x/2)2 = x2 / 2
la relación entre el área del cuadrado exterior y el área del cuadrado inscrito
r = x2 / s2 = 2
Respuestas a las preguntas anteriores
- medida de A = 60 grados, medida de B = 30°
- longitud de DF = 17 cm
- medida de A = 87 grados
- tamaño del ángulo MAC = 55°
- tamaño del ángulo MBD = 72°
- tamaño del ángulo DOB = 93°
- tamaño del ángulo x = 24°
- perímetro del rectángulo grande = 84 cm
- medida del ángulo QPB = 148°
- área de forma determinada = 270 cm cuadrados
- área de la región sombreada = 208 cm cuadrados
- relación del área del cuadrado exterior al área del cuadrado inscrito = 2: 1
Referencias y enlaces
Matemáticas de la escuela intermedia (Grados 6, 7, 8, 9): preguntas gratuitas y problemas con las respuestas
High School Math (Grados 10, 11 y 12): preguntas gratuitas y problemas con respuestas
Matemáticas primarias (Grados 4 y 5) con preguntas gratuitas y problemas con respuestas
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