Soluciones y explicaciones
a la geometría Problemas de grado 9

Se presentan soluciones detalladas y explicaciones completas para Geometry para el grado 9 .



  1. Los ángulos A y B son complementarios y la medida del ángulo A es el doble de la medida del ángulo B. Halla las medidas de los ángulos A y B,

    Solución

    Sea A la medida del ángulo A y B la medida del ángulo B. Por lo tanto,


    A = 2 B


    Los ángulos A y B son complementarios; por lo tanto,


    A + B = 90 °





    Pero A = 2 B; por lo tanto,


    2 B + B = 90


    3 B = 90


    B = 90 / 3 = 30°


    A = 2 B = 60°

  2. ABCD es un paralelogramo tal que AB es paralelo a DC y DA paralelo a CB. La longitud del lado AB es de 20 cm. E es un punto entre A y B tal que la longitud de AE es de 3 cm. F es un punto entre los puntos D y C. Halla la longitud del DF de modo que el segmento EF divida el paralelogramo en dos regiones con áreas iguales.

    problema de geometría 2.



    Solución

    Sea A1 el área del trapecio AEFD. Por lo tanto,


    A1 = (1/2) h (AE + DF) = (1/2) h (3 + DF), h es la altura del paralelogramo.

    Ahora, deje que A2 sea el área del trapecio EBCF. Por lo tanto,


    A2 = (1/2) h (EB + FC)

    También tenemos

    EB = 20 - AE = 17 , FC = 20 - DF

    Ahora sustituimos EB e FC en A2 = (1/2) h (EB + FC)

    A2 = (1/2) h (17 + 20 - DF) = (1/2) h (37 - DF)

    Para que EF divida el paralelogramo en dos regiones de áreas iguales, necesitamos que el área A1 y el área A2 sean iguales

    (1/2) h (3 + DF) = (1/2) h (37 - DF)

    Multiplica ambos lados por 2 y divide thm por h para simplificar a

    3 + DF = 37 - DF

    Resolver para DF

    2 DF = 37 - 3

    2 DF = 34

    DF = 17 cm

  3. Encuentre la medida del ángulo A en la figura a continuación.

    problema de geometría 3.



    Solución

    Un primer ángulo interior del triángulo es suplementario al ángulo cuya medida es 129° y es igual a

    180 - 129 = 51°

    Un segundo ángulo interior del triángulo es suplementario al ángulo cuya medida es 138° y es igual a

    180 - 138 = 42°

    La suma de los tres ángulos del triángulo es igual a 180 °. Por lo tanto

    A + 51 + 42 = 180

    A = 180 - 51 - 42 = 87°

  4. ABC es un triángulo rectángulo. AM es perpendicular a BC. El tamaño del ángulo ABC es igual a 55°. Encuentra el tamaño del ángulo MAC.

    problema de geometría 4.



    Solución

    La suma de todos los ángulos en el triángulo ABC es igual a 180 °. Por lo tanto

    ángulo ABC + ángulo ACM + 90° = 180°

    Sustituir el ángulo ABC por 55 y resolver por ángulo ACM

    ángulo ACM = 180 - 90 - 55 = 35°

    La suma de todos los ángulos en el triángulo AMC es igual a 180 °. Por lo tanto

    ángulo MAC + ángulo ACM + 90° = 180°

    Sustituya el ángulo ACM por 35 y resuelva por ángulo MAC

    ángulo MAC = 180 - 90 - ángulo ACM = 180 - 90 - 35 = 55°

  5. Encuentra el ángulo MBD en la figura a continuación.

    problema de geometría 5.



    Solución

    La suma de todos los ángulos en el triángulo AMC es igual a 180 °. Por lo tanto

    56 + 78 + ángulo AMC = 180

    ángulo AMC = 180 - 56 - 78 = 46°

    Los ángulos AMC y DMB son ángulos verticales y, por lo tanto, iguales en medidas. Por lo tanto

    ángulo DMB = 46°

    La suma de los ángulos del triángulo DMB es igual a 180 °. Por lo tanto

    ángulo MBD + ángulo DMB + 62 = 180

    Sustituya el ángulo DMB por 46 y resuelva el ángulo MBD.

    ángulo MBD + 46 + 62 = 180

    ángulo MBD = 180 - 46 - 62 = 72°

  6. El tamaño del ángulo AOB es igual a 132° y el tamaño del ángulo COD es igual a 141°. Encuentra el ángulo DOB.

    problema de geometría 6.



    Solución

    ángulo AOB = 132 y es también la suma de los ángulos AOD y DOB. Por lo tanto

    ángulo AOD + ángulo DOB = 132 ° (I)

    ángulo COD = 141 y es también la suma de los ángulos COB y BOD. Por lo tanto

    ángulo COB + ángulo DOB = 141° (II)

    Ahora agregamos los lados izquierdos juntos y los lados derechos juntos para obtener una nueva ecuación.

    ángulo AOD + ángulo DOB + ángulo COB + ángulo DOB = 132 + 141 (III)

    Tenga en cuenta que.

    angle AOD + angle DOB + angle COB = 180°

    Sustituya el ángulo AOD + ángulo DOB + ángulo COB en (III) por 180 y resuelva el ángulo DOB.

    180 + ángulo DOB = 132 + 141

    ángulo DOB = 273 - 180 = 93°



  7. Encuentra el tamaño del ángulo x en la figura.

    problema de geometría 7.



    Solución

    El ángulo interior del cuadrilátero a la izquierda que es suplementario a x es igual a

    180 - x

    El ángulo interior del cuadrilátero a la izquierda que es suplementario al ángulo de medida 111° es igual a

    180 - 111 = 69°

    La suma de todos los ángulos interiores del cuadrilátero es igual a 360°. Por lo tanto

    41 + 94 + 180 - x + 69 = 360

    Solución para x

    41 + 94 + 180 - x + 69 = 360

    384 - x = 360

    x = 384 - 360 = 24°

  8. El rectángulo de abajo está formado por 12 cuadrados congruentes (del mismo tamaño). Encuentra el perímetro del rectángulo si el área del rectángulo es igual a 432 cm cuadrados.

    problema de geometría 8.



    Solución

    Si el área total del rectángulo es 432 cm cuadrados, el área de un cuadrado es igual a

    432 / 12 = 36 cm cuadrado

    Deje x ser el lado de un pequeño cuadrado. Por lo tanto, el área de un círculo pequeño igual a 36 da

    x2 = 36

    Solución para x

    x = 6 cm

    La longitud L del perímetro es igual a 4 x y el ancho W es igual a 3 x. Por lo tanto

    L = 4 × 6 = 24 cm e W = 3 × 6 = 18 cm

    El perímetro P del rectángulo está dado por

    P = 2 (L + W) = 2(24 + 18) = 84 cm

  9. ABC es un triángulo rectángulo con el tamaño del ángulo ACB igual a 74°. Las longitudes de los lados AM, MQ y QP son todas iguales. Encuentra el ángulo QPB.

    problema de geometría 9.



    Solución

    CAB de ángulo en el triángulo rectángulo ACB está dada por

    90 - 74 = 16°

    Los lados AM y MQ en tamaño y por lo tanto el triángulo AMQ es isósceles y por lo tanto

    ángulo AQM = ángulo QAM = 16°

    La suma de todos los ángulos interiores en el triángulo AMQ es igual a 180 °. Por lo tanto

    16 + 16 + ángulo AMQ = 180

    Resolver para ángulo AMQ

    ángulo AMQ = 180 - 32 = 148°

    El ángulo QMP es suplementario al ángulo AMQ. Por lo tanto

    ángulo QMP = 180 - ángulo AMQ = 180 - 148 = 32°

    Las longitudes de QM y QP son iguales; por lo tanto, el triángulo QMP es isósceles y, por lo tanto, el ángulo QPM tiene el mismo tamaño que el ángulo QMP. Por lo tanto

    ángulo QPM = 32°

    El ángulo QPB es suplementario al ángulo QPM. Por lo tanto

    ángulo QPM = 180 - ángulo QPM = 180 - 32 = 148°

  10. Encuentra el área de la forma dada.

    problema de geometría 10.

    Solución

    Deje A ser el área total del rectángulo 20 por 15

    A = 20 × 20 = 300 cm cuadrado

    El área C de la forma es igual al área total A desde la cual restamos el área B del triángulo en la esquina inferior derecha.

    B = (1 / 2)(15 - 10)(20 -8) = 30 cm cuadrado

    C = 300 - 30 = 270 cm cuadrado

  11. Encuentra el área de la región sombreada.

    problema de geometría 11.

    Solución

    Subtract area of small rectangle from area of large rectangle

    A = 30×15 - (30 - 8)×(15 - 4) = 208 cm cuadrado

  12. Los vértices del cuadrado inscrito (interior) bisecan los lados del segundo cuadrado (exterior). Encuentra la relación entre el área del cuadrado exterior y el área del cuadrado inscrito.

    problema de geometría 12.

    Solución

    Deje x ser el lado del cuadrado grande. Usa el teorema de Pitágoras para encontrar los lados del cuadrado más pequeño.

    s2 = (x/2)2 + (x/2)2

    Simplifica lo anterior para obtener

    s2 = (x/2)2 + (x/2)2 = x2 / 2

    la relación entre el área del cuadrado exterior y el área del cuadrado inscrito

    r = x2 / s2 = 2

Respuestas a las preguntas anteriores

  1. medida de A = 60 grados, medida de B = 30°
  2. longitud de DF = 17 cm
  3. medida de A = 87 grados
  4. tamaño del ángulo MAC = 55°
  5. tamaño del ángulo MBD = 72°
  6. tamaño del ángulo DOB = 93°
  7. tamaño del ángulo x = 24°
  8. perímetro del rectángulo grande = 84 cm
  9. medida del ángulo QPB = 148°
  10. área de forma determinada = 270 cm cuadrados
  11. área de la región sombreada = 208 cm cuadrados
  12. relación del área del cuadrado exterior al área del cuadrado inscrito = 2: 1


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Actualizado: 11 Abril 2018 (A Dendane)