Preguntas de práctica
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Simplifica las expresiones:
a) \( 2\sqrt{8} - 4\sqrt{2} \qquad \) b) \( \dfrac{2 + \sqrt{12}}{2} \qquad\) c) \( 2\sqrt{3} + \dfrac{6}{\sqrt{3}} \qquad \) d) \( 3\sqrt{5} - \dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} \)Ver solución en video
Este problema implica simplificar expresiones con raíces cuadradas y radicales.
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Expande y simplifica los polinomios a continuación:
a) \( -(-2x - 2)(-x + 3) - (3x^2 + x - 2) \qquad \) b) \( 3(-x - 5)^2 - 4x(-x - 7) \)Ver solución en video
Este problema requiere aplicar la propiedad distributiva y combinar términos semejantes.
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Simplifica las expresiones a continuación:
a) \( (2x^2)^2 (3x)^2 \qquad \) b) \( (10x^4)^0 (3x^4)^3 \qquad \) c) \( \dfrac{(-4x^4y^2)^2}{(2xy)^3} \)Ver solución en video
Aplica las reglas de los exponentes (regla del producto, regla del cociente y regla de potencia) para simplificar.
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Simplifica las expresiones racionales:
a) \( \dfrac{-3x + 2}{x - 1} \cdot \dfrac{2x - 2}{3x - 2} \qquad \) b) \( \dfrac{(2n + 3)(3n + 15)}{(n - 5)(6n + 9)} \qquad \) c) \( \dfrac{2x^2 + x}{x(2x + 1)} \qquad \) d) \( \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 3)(2x - 2)} \)Ver solución en video
Factoriza los numeradores y denominadores para encontrar términos comunes que puedan cancelarse.
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Evalúa y simplifica las expresiones para el/los valor(es) dado(s) de la(s) variable(s):
a) \( \sqrt{x + 6} \), para \( x = -2 \qquad \) b) \( |x + y - 10| \), para \( x = -4 \) y \( y = 3 \qquad \) c) \( \dfrac{-x^3 + 1}{5} + \dfrac{x^2 - 2}{2} \), para \( x = -2 \)Ver solución en video
Sustituye los valores dados en las expresiones algebraicas y simplifica usando el orden de las operaciones.
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Factoriza las expresiones algebraicas:
a) \( 4x - 16 \qquad \) b) \( 6x^2 + 2x \qquad \) c) \( x^2 - 9\qquad \) d) \( 9x^2 - 16y^2 \qquad \) e) \( x^2 - 4x - 5 \qquad \) f) \( \dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} \)Ver solución en video
Encuentra el máximo común divisor (MCD) o usa métodos como agrupación o diferencia de cuadrados.
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Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) \( -2(x + 2) - x = 3(x + 2) + 2 \qquad \) b) \( \dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{2x + 1}{2} \qquad \) c) \( \dfrac{3x + 1}{4} - 2 = \dfrac{-x + 3}{2} \)Ver solución en video
Aísla la variable realizando operaciones inversas en ambos lados de la ecuación.
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Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) \( (x-1)(x+8) = 0 \)
b) \( x(x-1) = 1 \)
c) \( 2x^2 + 6x = 8 \)Ver solución en video
Para ecuaciones cuadráticas estándar, iguala a cero y factoriza, o usa la fórmula cuadrática.
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Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) \( \sqrt{x} = 2 \)
b) \( \sqrt{x - 2} = 4 \)
c) \( \sqrt{\dfrac{x}{10}} = 2 \)Ver solución en video
Aísla la expresión radical, luego eleva ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada.
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Resuelve las siguientes desigualdades y representa el conjunto solución usando intervalos, gráficos en una recta numérica y símbolos de desigualdad:
a) \( 3(x - 2) + 2x < -(x+2) \)
b) \( \dfrac{x + 5}{3} \ge \dfrac{-x+2}{2} \)
c) \( -(2x - 2) \le 3x + 12 \)Ver solución en video
Recuerda invertir el signo de desigualdad si multiplicas o divides por un número negativo.
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¿Para qué valor del parámetro \( a \) está el punto con coordenadas \( (a, 3) \) en la línea cuya ecuación viene dada por \( 2x - 3y = 4 \)?
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Sustituye las coordenadas en la ecuación y resuelve para el parámetro desconocido.
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¿Cuál es el punto de intersección de las líneas dadas por las ecuaciones \( 2x + y = 5 \) y \( 3x - 2y = 4\)?
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Utiliza los métodos de sustitución o eliminación para resolver el sistema de ecuaciones lineales.
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¿Cuál es la pendiente de cada una de las líneas dadas por las ecuaciones?
a) \( 4x = -2y + 4 \)
b) \( 3y = -9 \)
c) \( -5x = 10 \)Ver solución en video
Reescribe cada ecuación en la forma pendiente-intersección (\(y = mx + b\)) para identificar la pendiente (\(m\)).
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Encuentra las intersecciones x e y, si es posible, de las líneas con ecuaciones:
a) \( -3x = 2y + 6 \)
b) \( 2y = 8 \)
c) \( -3x = 6 \)Ver solución en video
Establece \( x = 0 \) para encontrar la intersección con el eje y, y establece \( y = 0 \) para encontrar la intersección con el eje x.
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a) Encuentra el valor del parámetro \( s \) para que la pendiente de la línea que pasa por los puntos \( (-2 , s) \) y \( (-4, 5) \) sea igual a \( -1 \).
b) Encuentra la ecuación de la línea.Ver solución en video
Utiliza la fórmula de la pendiente: \( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
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Encuentra la ecuación de la línea que pasa por el punto \( (-2, 4) \) y es perpendicular a la línea cuya ecuación viene dada por \( -2y + 4x = -2 \).
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Recuerda que las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas.
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Encuentra la ecuación de la línea que se muestra a continuación, dado que la longitud del segmento AB es 3.1, la longitud de BC es 6.2 y el punto \( D \) está en la línea.
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Usa las longitudes dadas para calcular la pendiente (elevación sobre avance), luego deduce la ecuación.
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¿Cuál de las siguientes líneas, cuyas ecuaciones se dan a continuación, tiene una pendiente negativa?
a) \( 2x - 2y = 0 \)
b) \( 3x + 6y = 9 \)
c) \( -y = 9 \)
d) \( -y = -x + 3 \)Ver solución en video
Convierte cada una al formato \( y = mx + b \) para comprobar el signo de \( m \).
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En la figura a continuación, un edificio tiene la parte superior del primer piso en el punto C y la parte superior del segundo piso en el punto D. Los ángulos de elevación desde el punto A, a una distancia de 40 metros en el suelo, hasta los puntos C y D son \( 14^\circ \) y \( 21^\circ \) respectivamente, y el punto B está en la base del edificio. Encuentra la altura \( DC \) desde el primer hasta el segundo piso.
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Utiliza las relaciones de la tangente en los dos triángulos rectángulos para hallar las alturas verticales, luego realiza una resta.
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La población de un pequeño pueblo aumentó en 600 en un año. Esto representa un aumento del 5% sobre el año anterior. ¿Cuál era la población del pueblo el año antes del aumento?
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Establece una ecuación de porcentaje: \( 0.05 \times \text{Original} = 600 \).
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Encuentra el área de la forma sombreada dado que AE es paralelo a CD, que es el diámetro del semicírculo. BC es paralelo a ED, que es perpendicular a AE. Todas las longitudes en mm.
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Descompón la forma compleja en figuras geométricas más simples (rectángulos, triángulos, semicírculos) para calcular el área total.
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Encuentra el área de un hexágono regular cuyo perímetro es 18 cm.
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Un hexágono regular se compone de 6 triángulos equiláteros. Usa el perímetro para hallar la longitud del lado.
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Encuentra el área sombreada encerrada por el cuarto de círculo y un cuadrado de diagonal 10 mm.
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Usa la diagonal para hallar la longitud del lado del cuadrado e interpreta la geometría para calcular las restas de áreas.
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El volumen del prisma recto es igual a \( 1500 \text{ cm}^3 \).
a) Encuentra la longitud \( L \) del prisma.
b) Encuentra el área superficial total (lateral y bases) del prisma.
c) ¿Cuál es el costo de fabricar el prisma con un material que cuesta $200 por metro cuadrado?Ver solución en video
Calcula primero el área de la base, divide el volumen por el área de la base para hallar la longitud \( L \), luego calcula el área superficial total y el costo.
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Entre 100 estudiantes, 70 estudian matemáticas (algunos de los cuales también estudian física), y 50 estudian física (algunos de los cuales también estudian matemáticas). Asumiendo que cada estudiante estudia al menos una de las dos materias:
a) ¿Cuántos estudiantes están inscritos tanto en matemáticas como en física?
b) ¿Cuántos están inscritos solo en matemáticas?
c) ¿Cuántos están inscritos solo en física?Ver solución paso a paso
Sea \( M \) el conjunto de estudiantes que estudian Matemáticas, y \( P \) el conjunto de estudiantes que estudian Física.
- Número total de estudiantes: \( n(M \cup P) = 100 \)
- Estudiantes que estudian Matemáticas: \( n(M) = 70 \)
- Estudiantes que estudian Física: \( n(P) = 50 \)
a) Estudiantes en ambos (\( M \cap P \)):
Usa la fórmula de teoría de conjuntos:
\( n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P) \)
\( 100 = 70 + 50 - n(M \cap P) \)
\( 100 = 120 - n(M \cap P) \)
\( n(M \cap P) = 20 \)b) Estudiantes en matemáticas solo:
Resta los estudiantes que estudian ambos del total de estudiantes de Matemáticas:
\( 70 - 20 = 50 \)c) Estudiantes en física solo:
Resta los estudiantes que estudian ambos del total de estudiantes de Física:
\( 50 - 20 = 30 \) -
En la figura a continuación, BC es paralelo a DE. Encuentra el área del triángulo ADE si el área del triángulo ABC es igual a \( 30 \text{ cm}^2 \).
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Debido a que la línea \( BC \) es paralela a la línea \( DE \), el triángulo \( ABC \) y el triángulo \( ADE \) son triángulos semejantes.
Cuando dos triángulos son semejantes, la razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón de las longitudes de sus lados correspondientes. Sea la razón de sus lados correspondientes \( k = \dfrac{AD}{AB} = 9/3 = 3 \).
La fórmula del área que relaciona los dos triángulos es:
\( \text{Área}(ADE) = \text{Área}(ABC) \times \left( \dfrac{AD}{AB} \right)^2 \)\( \text{Área}(ADE) = 30 \times 3^2 = 270 \text{ cm}^2 \)
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Un litro de agua pesa 1 kilogramo y 1 decímetro cúbico (\( \text{dm}^3 \)) es igual a 1 litro. ¿Cuál es el peso del agua contenida en un recipiente con forma de prisma rectangular recto con dimensiones de 10 cm, 20 cm y 200 cm?
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Paso 1: Hallar el volumen en centímetros cúbicos (\( \text{cm}^3 \)).
Volumen \( = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{altura} \)
\( V = 10 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} \times 200 \text{ cm} = 40,000 \text{ cm}^3 \)Paso 2: Convertir centímetros cúbicos a decímetros cúbicos (litros).
Sabemos que \( 1 \text{ dm} = 10 \text{ cm} \), por lo que \( 1 \text{ dm}^3 = (10 \text{ cm})^3 = 1,000 \text{ cm}^3 \).
\( \text{Volumen en litros} = \dfrac{40,000 \text{ cm}^3}{1,000 \text{ cm}^3/\text{L}} = 40 \text{ litros} \)Paso 3: Calcular el peso.
Dado que 1 litro pesa 1 kg, el peso del agua es:
\( 40 \text{ litros} \times 1 \text{ kg/L} = 40 \text{ kg} \) -
Linda viajó a una velocidad promedio de 65 millas por hora hacia una ciudad y a una velocidad promedio de 50 millas por hora de regreso usando la misma carretera. Condujo un total de 6 horas entre ida y vuelta. ¿Cuál es la distancia desde la casa de Linda a la ciudad que visitó? (redondea tu respuesta a la milla más cercana).
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Sea \( D \) la distancia de un solo sentido a la ciudad.
Usando la fórmula \( \text{Tiempo} = \dfrac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} \):
Tiempo de ida = \( \dfrac{D}{65} \)
Tiempo de regreso = \( \dfrac{D}{50} \)El tiempo total de conducción es de 6 horas, por lo que establecemos la ecuación:
\( \dfrac{D}{65} + \dfrac{D}{50} = 6 \)Encuentra un denominador común para 65 y 50. (El mínimo común múltiplo es 650).
Multiplica el numerador y denominador de la primera fracción por 10, y el segundo por 13:
\( \dfrac{10D}{650} + \dfrac{13D}{650} = 6 \)\( \dfrac{23D}{650} = 6 \)
Multiplica ambos lados por 650:
\( 23D = 3900 \)Divide por 23:
\( D = \dfrac{3900}{23} \approx 169.565 \text{ millas} \)Redondeado a la milla más cercana, la distancia es 170 millas.
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¿Qué número real tiene su cuadrado igual a la suma de su mitad y su tercio?
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Sea el número real desconocido \( x \).
Traduce el problema de palabras a una ecuación algebraica:
\( x^2 = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} \)Encuentra un denominador común para sumar las fracciones del lado derecho:
\( x^2 = \dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} \)
\( x^2 = \dfrac{5x}{6} \)Lleva todos los términos a un lado para igualar la ecuación cuadrática a cero:
\( x^2 - \dfrac{5x}{6} = 0 \)Factoriza \( x \):
\( x\left(x - \dfrac{5}{6}\right) = 0 \)Esto da dos posibles soluciones:
\( x = 0 \) o \( x = \dfrac{5}{6} \)
Tanto 0 como 5/6 son números reales que cumplen la condición. -
La razón de niños a niñas en una escuela es igual a 6:5. ¿Cuál es la razón de niños con respecto al número total de estudiantes?
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La razón de niños a niñas es 6:5. Esto significa que por cada 6 niños, hay 5 niñas.
El número total de "partes" en la razón es la suma de las partes de los niños y las partes de las niñas:
Total de partes = \( 6 + 5 = 11 \)La razón de niños al número total de estudiantes es simplemente las partes de los niños divididas por el total de partes:
Razón = 6:11 -
Hay 200 pelotas en un contenedor. Las pelotas tienen uno de tres colores: rojo, azul y verde. La razón de pelotas azules a rojas es 3:10, y la razón de verdes a azules es 7:3. ¿Cuántas pelotas de cada color hay?
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Observa las razones dadas:
- Azules : Rojas = 3 : 10
- Verdes : Azules = 7 : 3
Debido a que la parte "Azul" está representada por el número 3 en ambas razones, podemos combinarlas fácilmente en una única razón continua de Verdes : Azules : Rojas:
Verdes : Azules : Rojas = 7 : 3 : 10
Suma el número total de partes en esta razón combinada:
Total de partes = \( 7 + 3 + 10 = 20 \)Divide el número total de pelotas (200) por el número total de partes para hallar el valor de una parte:
Valor de 1 parte = \( 200 / 20 = 10 \text{ pelotas} \)Multiplica los números de la razón por el valor de una parte para hallar la cantidad de cada color:
- Verdes: \( 7 \times 10 = 70 \text{ pelotas} \)
- Azules: \( 3 \times 10 = 30 \text{ pelotas} \)
- Rojas: \( 10 \times 10 = 100 \text{ pelotas} \)