Multiplicar Polinomios - Matemáticas 9º Grado

Se presentan ejemplos de multiplicación de polinomios para 9º grado junto con sus soluciones detalladas. También se incluyen más preguntas y sus soluciones.

Multiplicar Monomios por Polinomios con Ejemplos

2) Multiplicar monomios,
3) Y sumar términos semejantes de un polinomio.
Ejemplo 1
Multiplica los siguientes monomios y polinomios:
a)   \( 2 (6 x + 2) \quad \) b) \( \quad - 3 x (2 x^2 - x) \quad \)
c) \( \quad -\dfrac{1}{2} x^2 (4 x^2 - 2x + 6 x y) \)
Solución del Ejemplo 1
a)
Dado \( \qquad 2 (6 x + 2) \)
Usa la ley distributiva   \( \color{red}{a} \color{blue}{(b+c)} = \color{red}a \color{blue}b + \color{red}a \color{blue}c \)   para escribir el producto dado como la suma de productos de monomios:
\( \qquad \qquad \color{red}{2} \color{blue}{(6 x + 2)} = \color{red}{2}\color{blue}{(6x)} + \color{red}{2} \color{blue}{(2)} \)
Multiplica constantes y variables por separado:
\( \qquad \qquad = 2(6)(x) + 2(2) \)
Simplifica:
\( \qquad \qquad = 12 x + 4 \)

b)
Dado \( \qquad - 3 x (2 x^2 - x) \)
Usa la ley distributiva   \( \color{red}{a} \color{blue}{(b+c)} = \color{red}a \color{blue}b + \color{red}a \color{blue}c \)   para escribir el producto dado como la suma de productos de monomios:
\( \qquad \qquad \color{red}{- 3 x} \color{blue}{(2 x^2 - x)} = \color{red}{-3x}\color{blue}{(2x^2)} \color{red}{-3x} \color{blue}{(-x)} \)
Multiplica constantes y variables por separado:
\( \qquad \qquad = -3(2)(x x^2) -3(-1)(x x) \)
Simplifica:
\( \qquad \qquad = -6x^3 + 3x^2 \)

c)
Dado \( \qquad -\dfrac{1}{2} x^2 (4 x^2 - 2x + 6 x y) \)
Usa la ley distributiva   \( \color{red}{a} \color{blue}{(b+c)} = \color{red}a \color{blue}b + \color{red}a \color{blue}c \)   para escribir el producto dado como la suma de productos de monomios:
\( \qquad \qquad \color{red}{-\dfrac{1}{2} x^2} \color{blue}{(4 x^2 - 2x + 6 x y)} = \color{red}{-\dfrac{1}{2} x^2}\color{blue}{(4 x^2)} \color{red}{-\dfrac{1}{2} x^2}\color{blue}{(-2x)} \color{red}{-\dfrac{1}{2} x^2}\color{blue}{(6xy)} \)
Multiplica constantes y variables por separado:
\( \qquad \qquad = -\dfrac{1}{2} (4) (x^2 x^2) -\dfrac{1}{2} (-2)(x^2 x) -\dfrac{1}{2} (6) (x^2 x y) \)
Simplifica:
\( \qquad \qquad = - 2x^4 + x^3 - 3x^3 y \)

Multiplicar Polinomios con Ejemplos

Para multiplicar polinomios, usamos la distribución para escribir la multiplicación como una suma de multiplicaciones de monomios por polinomios, lo cual ya hemos practicado anteriormente.
Ejemplo 2
Multiplica los siguientes polinomios:
a)   \( (x - 1) (x + 2) \)   b) \( (- 3 x^2 - x) (x^2 - 2x - 1) \)  
c) \( (2 x - y) (- x - y) \)
Solución del Ejemplo 2
a)
Dado \( \qquad (x - 1) (x + 2) \)
Usa la distribución de la forma: \( \color{red}{(a + b)} \color{blue}{c} = \color{red}{a} \color{blue}{c} + \color{red}{b} \color{blue}{c} \) para reescribir lo anterior como:
\( \qquad \qquad \color{red}{(x - 1)} \color{blue}{(x + 2)} = \color{red}{x} \color{blue}{(x+2)} \color{red}{-1} \color{blue}{(x+2)} \)
Usa la ley distributiva   \( \color{red}{a} \color{blue}{(b+c)} = \color{red}a \color{blue}b + \color{red}a \color{blue}c \)   para escribir el lado derecho como la suma de productos de monomios:
\( \qquad \qquad = \color{red}{x} \color{blue}{(x)} + \color{red}{x} \color{blue}{(2)} \color{red}{-1} \color{blue}{(x)} \color{red}{-1} \color{blue}{(2)} \)
Multiplica:
\( \qquad \qquad = x^2 + 2x - x - 2 \)
Agrupa términos semejantes y simplifica:
\( \qquad \qquad = x^2 + x - 2 \)

b)
Dado \( \qquad (- 3 x^2 - x) (x^2 - 2x - 1) \)
Usa la distribución de la forma: \( \color{red}{(a + b)} \color{blue}{c} = \color{red}{a} \color{blue}{c} + \color{red}{b} \color{blue}{c} \) para reescribir lo anterior como:
\( \qquad \qquad \color{red}{(- 3 x^2 - x)} \color{blue}{(x^2 - 2x - 1)} = \color{red}{-3x^2} \color{blue}{(x^2 - 2x - 1)} \color{red}{-x} \color{blue}{(x^2 - 2x - 1)} \)
Usa la ley distributiva   \( \color{red}{a} \color{blue}{(b+c+d)} = \color{red}a \color{blue}b + \color{red}a \color{blue}c + \color{red}a \color{blue}d \)   para escribir el lado derecho como la suma de productos de monomios:
\( \qquad \qquad = \color{red}{- 3 x^2} \color{blue}{(x^2)} \color{red}{- 3 x^2} \color{blue}{(-2x)} \color{red}{- 3 x^2} \color{blue}{(-1)} \color{red}{-x} \color{blue}{(x^2)} \color{red}{-x} \color{blue}{(-2x)} \color{red}{-x} \color{blue}{(-1)} \)
Multiplica:
\( \qquad \qquad = -3x^4 + 6x^3 + 3x^2 - x^3 + 2x^2 + x \)
Agrupa términos semejantes y simplifica:
\( \qquad \qquad = -3x^4 + 5x^3 + 5x^2 + x \)

c)
Dado \( \qquad (2 x - y) (- x - y) \)
Usa la distribución de la forma: \( \color{red}{(a + b)} \color{blue}{c} = \color{red}{a} \color{blue}{c} + \color{red}{b} \color{blue}{c} \) para reescribir lo anterior como:
\( \qquad \qquad \color{red}{(2 x - y)} \color{blue}{(- x - y)} = \color{red}{2x} \color{blue}{(-x-y)} \color{red}{-y} \color{blue}{(-x-y)} \)
Usa la ley distributiva   \( a(b+c) = ab + ac \)   para escribir el lado derecho como la suma de productos de monomios:
\( \qquad \qquad = \color{red}{2x} \color{blue}{(-x)} + \color{red}{2x}\color{blue}{(-y)} \color{red}{-y} \color{blue}{(-x)} \color{red}{-y} \color{blue}{(-y)} \)
Multiplica:
\( \qquad \qquad = -2x^2 - 2x y + y x + y^2 \)
Agrupa términos semejantes y simplifica (NOTA: \( x y = y x \)):
\( \qquad \qquad = -2x^2 - x y + y^2 \)

Desarrollar Potencias de Polinomios con Ejemplos

Ejemplo 3
Desarrolla lo siguiente y escribe como polinomios:
a)   \( (x - 1)^2 \)   b) \( (x + 3)^3 \)
Solución del Ejemplo 3
a)
Dado \( \qquad \qquad (x - 1)^2 \)
Escribe lo anterior como un producto de polinomios:
\( \qquad \qquad = \color{red}{(x -1)} \color{blue}{(x - 1)} \)
Distribuye como \( (a + b) c = a c + b c \):
\( \qquad \qquad = \color{red}x \color{blue}{(x - 1)} \color{red}{- 1} \color{blue}{(x - 1)} \)
Usa la ley distributiva   \( a(b+c) = ab + ac \)   para escribir lo anterior como la suma de productos de monomios:
\( \qquad \qquad = x(x) + x (-1) - 1 (x) -1(-1) \)
Multiplica:
\( \qquad \qquad = x^2 - x - x + 1 \)
Agrupa términos semejantes y simplifica:
\( \qquad \qquad = x^2 - 2x + 1 \)

b)
Dado \( \qquad \qquad (x + 3)^3 \)
Escribe lo anterior como un producto de polinomios:
\( \qquad \qquad = (x + 3)\color{red}{(x + 3)} \color{blue}{(x + 3)} \)
Usa la distribución para multiplicar el segundo y tercer términos:
\( \qquad \qquad = (x+3) (\color{red}x \color{blue}{(x + 3)} \color{red}{+3} \color{blue}{(x + 3)}) \)
Usa la distribución para expandir \( \qquad \color{red}x \color{blue}{(x + 3)} \color{red}{+3} \color{blue}{(x + 3)} \):
\( \qquad \qquad = (x+3) (x^2 + 3x + 3x + 9) \)
Agrupa términos semejantes y simplifica \( (x^2 + 3x + 3x + 9) \):
\( \qquad \qquad = \color{red}{(x+3)} (x^2 + 6x + 9) \)
Distribuye \( (x^2 + 6x + 9) \):
\( \qquad \qquad = \color{red}x(x^2 + 6x + 9)+\color{red}3(x^2 + 6x + 9) \)
Distribuye \( x \) y \( 3 \):
\( \qquad \qquad = x^3 + 6x^2 + 9x + 3x^2 + 18x + 27 \)
Agrupa términos semejantes y simplifica:
\( \qquad \qquad = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \)

Preguntas

1. Multiplica los siguientes polinomios:
   1. ) \( (-2) (-2 x) \)
   2. ) \( (x) (x + 1) \)
   3. ) \( -x^2 (-x + 1) \)
   4. ) \( (-4 x^3 - x) (2x - 1) \)
   5. ) \( (-4 x^3 - y) (2x - y) \)
   6. ) \( (-7 x^2 - 2x + 3) (2x^2 - x + 2) \)
   7. ) \( (-\dfrac{1}{3} x^2 + 4) (-\dfrac{1}{2} x + 9) \)
   
   
2. Usa la multiplicación y la adición de polinomios para escribir como un solo polinomio:
   1. ) \( (2x-1)(3x-2) + 3x - 9 \)
   2. ) \( -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) \)
   3. ) \( (x^2 - 1)(x - 2) - (x - 3)(2x^2 - 4) \)
   4. ) \( (-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \)
   
   
3. Usa la multiplicación de polinomios para desarrollar lo siguiente:
   1. ) \( (x + 3 y)^2 \)
   2. ) \( (2x - y)^2 \)
   3. ) \( (x - y)(x + y) \)
   4. ) \( (x - 3)^3 \)

Más Referencias y Enlaces