Multiplicar polinomios: Preguntas y soluciones paso a paso

Esta página está diseñada para ayudar a los estudiantes de 9º grado a dominar la multiplicación de polinomios. Multiplicar polinomios requiere una sólida comprensión de la propiedad distributiva (a menudo recordada como FOIL para binomios) y las reglas de los exponentes.

A continuación, encontrará preguntas de práctica que van desde la multiplicación simple de monomios hasta la expansión de binomios y trinomios complejos. Intente resolver cada problema por su cuenta y luego abra las soluciones paso a paso para revisar su trabajo y comprender el razonamiento detrás de cada paso algebraico.

Preguntas de práctica

  1. 1. Multiplica los siguientes polinomios

    1. \( (-2)(-2x) \)
    2. \( (x)(x + 1) \)
    3. \( -x^2(-x + 1) \)
    4. \( (-4x^3 - x)(2x - 1) \)
    5. \( (-4x^3 - y)(2x - y) \)
    6. \( (-7x^2 - 2x + 3)(2x^2 - x + 2) \)
    7. \( \left(-\dfrac{1}{3}x^2 + 4\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 9\right) \)
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    1. Multiplica las constantes, luego añade la variable:

      \[ (-2)(-2x) = 4x \]

    2. Distribuye \(x\) a ambos términos dentro del paréntesis:

      \[ \begin{aligned} (x)(x + 1) &= x(x) + x(1) \\ &= x^2 + x \end{aligned} \]

    3. Distribuye \(-x^2\):

      \[ \begin{aligned} -x^2(-x + 1) &= -x^2(-x) - x^2(1) \\ &= x^3 - x^2 \end{aligned} \]

    4. Usa la propiedad distributiva (método FOIL) para los dos binomios:

      \[ \begin{aligned} (-4x^3 - x)(2x - 1) &= -4x^3(2x - 1) - x(2x - 1) \\ &= -4x^3(2x) - 4x^3(-1) - x(2x) - x(-1) \\ &= -8x^4 + 4x^3 - 2x^2 + x \end{aligned} \]

    5. Distribuye cada término del primer binomio en el segundo:

      \[ \begin{aligned} (-4x^3 - y)(2x - y) &= -4x^3(2x - y) - y(2x - y) \\ &= -4x^3(2x) - 4x^3(-y) - y(2x) - y(-y) \\ &= -8x^4 + 4x^3y - 2xy + y^2 \end{aligned} \]

    6. Distribuye cada uno de los tres términos del primer trinomio en el segundo trinomio, luego combina términos semejantes:

      \[ \begin{aligned} &(-7x^2 - 2x + 3)(2x^2 - x + 2) \\ &= -7x^2(2x^2 - x + 2) - 2x(2x^2 - x + 2) + 3(2x^2 - x + 2) \\ &= (-14x^4 + 7x^3 - 14x^2) + (-4x^3 + 2x^2 - 4x) + (6x^2 - 3x + 6) \\ &= -14x^4 + (7x^3 - 4x^3) + (-14x^2 + 2x^2 + 6x^2) + (-4x - 3x) + 6 \\ &= -14x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 7x + 6 \end{aligned} \]

    7. Distribuye las fracciones cuidadosamente:

      \[ \begin{aligned} &\left(-\dfrac{1}{3}x^2 + 4\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 9\right) \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2\left(-\dfrac{1}{2}x\right) - \dfrac{1}{3}x^2(9) + 4\left(-\dfrac{1}{2}x\right) + 4(9) \\ &= \dfrac{1}{6}x^3 - 3x^2 - 2x + 36 \end{aligned} \]

  2. 2. Multiplica y suma/resta para escribir como un solo polinomio

    Recuerda seguir el orden de las operaciones: primero multiplica los polinomios, luego suma o resta términos semejantes.

    1. \( (2x - 1)(3x - 2) + 3x - 9 \)
    2. \( -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) \)
    3. \( (-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \)
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    1. Primero, expande los binomios, luego combina los términos restantes:

      \[ \begin{aligned} (2x - 1)(3x - 2) + 3x - 9 &= [2x(3x - 2) - 1(3x - 2)] + 3x - 9 \\ &= [6x^2 - 4x - 3x + 2] + 3x - 9 \\ &= 6x^2 - 7x + 2 + 3x - 9 \\ &= 6x^2 - 4x - 7 \end{aligned} \]

    2. Distribuye los signos negativos y multiplica los binomios. Usa corchetes para evitar errores de signo:

      \[ \begin{aligned} -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) &= -2x - 2 - [2x(x - 3) - 1(x - 3)] \\ &= -2x - 2 - [2x^2 - 6x - x + 3] \\ &= -2x - 2 - [2x^2 - 7x + 3] \\ &= -2x - 2 - 2x^2 + 7x - 3 \\ &= -2x^2 + 5x - 5 \end{aligned} \]

    3. Expande ambos conjuntos de binomios por separado, luego combina términos semejantes:

      \[ \begin{aligned} &(-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \\ &= [-3x(y - 3) - 2(y - 3)] + [x(y - 6) - 5(y - 6)] \\ &= [-3xy + 9x - 2y + 6] + [xy - 6x - 5y + 30] \\ &= (-3xy + xy) + (9x - 6x) + (-2y - 5y) + (6 + 30) \\ &= -2xy + 3x - 7y + 36 \end{aligned} \]

  3. 3. Usa la multiplicación de polinomios para expandir lo siguiente

    1. \( (x + 3y)^2 \)
    2. \( (2x - y)^2 \)
    3. \( (x - y)(x + y) \)
    4. \( (x - 3)^3 \)
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    1. Escribe el cuadrado como la multiplicación de dos binomios idénticos (o usa la fórmula del trinomio cuadrado perfecto):

      \[ \begin{aligned} (x + 3y)^2 &= (x + 3y)(x + 3y) \\ &= x(x + 3y) + 3y(x + 3y) \\ &= x^2 + 3xy + 3xy + 9y^2 \\ &= x^2 + 6xy + 9y^2 \end{aligned} \]

    2. Expande el binomio al cuadrado perfecto:

      \[ \begin{aligned} (2x - y)^2 &= (2x - y)(2x - y) \\ &= 2x(2x - y) - y(2x - y) \\ &= 4x^2 - 2xy - 2yx + y^2 \\ &= 4x^2 - 4xy + y^2 \end{aligned} \]

    3. Esto es una diferencia de cuadrados:

      \[ \begin{aligned} (x - y)(x + y) &= x(x + y) - y(x + y) \\ &= x^2 + xy - yx - y^2 \\ &= x^2 - y^2 \end{aligned} \]

    4. Para un cubo, multiplica tres veces. Agrupa dos primero:

      \[ \begin{aligned} (x - 3)^3 &= (x - 3)(x - 3)(x - 3) \\ &= (x - 3)[x(x - 3) - 3(x - 3)] \\ &= (x - 3)[x^2 - 3x - 3x + 9] \\ &= (x - 3)(x^2 - 6x + 9) \end{aligned} \]

      Ahora, multiplica el binomio por el trinomio resultante:

      \[ \begin{aligned} (x - 3)(x^2 - 6x + 9) &= x(x^2 - 6x + 9) - 3(x^2 - 6x + 9) \\ &= (x^3 - 6x^2 + 9x) + (-3x^2 + 18x - 27) \\ &= x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \end{aligned} \]

Más referencias y enlaces

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