Problemas verbales de matemáticas de 9º grado: Preguntas y soluciones paso a paso

Un concierto vendió 120 entradas. Las entradas para estudiantes costaban $8 y las entradas para adultos costaban $12. Los ingresos totales fueron de $1,160. ¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron?

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Sea $ x $ el número de entradas para estudiantes y $ y $ el número de entradas para adultos. Utilice la información proporcionada para escribir las ecuaciones:

\[ x + y = 120 \quad \text{(1)} \] \[ 8x + 12y = 1160 \quad \text{(2)} \]

De la ecuación (1), aísle $ y $:

\[ y = 120 - x \]

Sustituya esta expresión en la ecuación (2):

\[ \begin{aligned} 8x + 12(120 - x) &= 1160 \\ 8x + 1440 - 12x &= 1160 \\ -4x &= -280 \\ x &= 70 \end{aligned} \]

Ahora, encuentre $ y $:

\[ y = 120 - 70 = 50 \]

Respuesta: Se vendieron 70 entradas para estudiantes y 50 entradas para adultos.

En un triángulo, un ángulo es tres veces más grande que el ángulo más pequeño. El tercer ángulo es $ 20^\circ $ mayor que el más pequeño. Encuentre todos los ángulos.

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Sea $ x $ el ángulo más pequeño. Entonces el segundo ángulo es $ 3x $, y el tercer ángulo es $ x + 20 $.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre $ 180^\circ $:

\[ x + 3x + (x + 20) = 180 \]

Agrupe los términos semejantes y resuelva para $ x $:

\[ \begin{aligned} 5x + 20 &= 180 \\ 5x &= 160 \\ x &= 32 \end{aligned} \]

Ahora encuentre cada ángulo:

Ángulo más pequeño: $ x = 32^\circ $
Segundo ángulo: $ 3x = 96^\circ $
Tercer ángulo: $ x + 20 = 52^\circ $

Dada la función $ f(x) = 2x^2 - 3x + 1 $, encuentre $ f(2) $ y $ f(-1) $.

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Para encontrar $ f(2) $, sustituya $ x $ por $ 2 $ en la función:

\[ \begin{aligned} f(2) &= 2(2)^2 - 3(2) + 1 \\ &= 2(4) - 6 + 1 \\ &= 8 - 6 + 1 \\ &= 3 \end{aligned} \]

Para encontrar $ f(-1) $, sustituya $ x $ por $ -1 $ en la función:

\[ \begin{aligned} f(-1) &= 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 \\ &= 2(1) + 3 + 1 \\ &= 6 \end{aligned} \]

Un tanque de agua cilíndrico tiene un radio de 3 metros y una altura de 5 metros. ¿Cuánta agua puede contener (en metros cúbicos)? Utilice $ \pi \approx 3.14 $.

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La fórmula para el volumen de un cilindro es $ V = \pi r^2 h $.

\[ \begin{aligned} V &= 3.14 \times (3)^2 \times 5 \\ &= 3.14 \times 9 \times 5 \\ &= 3.14 \times 45 \\ &= 141.3 \; \text{m}^3 \end{aligned} \]

¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 9 con dos dados de seis caras?

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Hay $ 6 \times 6 = 36 $ resultados totales posibles al lanzar dos dados.

Las combinaciones que resultan en una suma de 9 son:

$ (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) $

Como hay 4 resultados exitosos de 36 posibles, la probabilidad es:

\[ \text{Probabilidad} = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \]

Resuelva para $ x $: $ 2^{x+1} = 32 $

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Primero, escriba 32 como una base de 2:

\[ 32 = 2^5 \]

Reescriba la ecuación:

\[ 2^{x+1} = 2^5 \]

Como las bases son iguales, podemos igualar los exponentes:

\[ \begin{aligned} x + 1 &= 5 \\ x &= 4 \end{aligned} \]

Una escalera de 13 metros se apoya contra una pared. La base está a 5 metros de la pared. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?

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La escalera, la base y la pared forman un triángulo rectángulo donde la escalera es la hipotenusa. Sea la altura $ h $. Aplique el teorema de Pitágoras ($ a^2 + b^2 = c^2 $):

\[ \begin{aligned} h^2 + 5^2 &= 13^2 \\ h^2 + 25 &= 169 \\ h^2 &= 144 \\ h &= \sqrt{144} = 12 \end{aligned} \]

Respuesta: La escalera llega a 12 metros de altura en la pared.

Una máquina expendedora solo tiene monedas de $0.25 y $1. Hay 50 monedas en total, con un valor de $35. ¿Cuántas hay de cada tipo?

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Sea $ x $ el número de monedas de $0.25 y $ y $ el número de monedas de $1. Establezca el sistema de ecuaciones:

\[ x + y = 50 \quad \text{(1)} \] \[ 0.25x + 1y = 35 \quad \text{(2)} \]

De la ecuación (1), obtenemos $ y = 50 - x $. Sustituya esto en la ecuación (2):

\[ \begin{aligned} 0.25x + (50 - x) &= 35 \\ -0.75x + 50 &= 35 \\ -0.75x &= -15 \\ x &= \dfrac{-15}{-0.75} = 20 \end{aligned} \]

Ahora encuentre $ y $:

\[ y = 50 - 20 = 30 \]

Respuesta: Hay 20 monedas de $0.25 y 30 monedas de $1.

La suma de tres números enteros impares consecutivos es 123. ¿Cuáles son los números?

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La diferencia entre dos números impares consecutivos es 2. Sea el primer número $ x $. El segundo es $ x + 2 $ y el tercero es $ x + 4 $. Su suma es 123:

\[ \begin{aligned} x + (x + 2) + (x + 4) &= 123 \\ 3x + 6 &= 123 \\ 3x &= 117 \\ x &= 39 \end{aligned} \]

Los números son $ x = 39 $, $ x + 2 = 41 $, y $ x + 4 = 43 $.

Respuesta: Los números son 39, 41 y 43.

Un jardín rectangular tiene una longitud que es 4 metros mayor que su ancho. Su área es de 96 m². Encuentre las dimensiones del jardín.

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Sea $ x $ el ancho en metros. Entonces la longitud es $ x + 4 $ metros. El área es longitud × ancho:

\[ x(x + 4) = 96 \]

Escriba la ecuación cuadrática en forma estándar:

\[ \begin{aligned} x^2 + 4x - 96 &= 0 \\ (x - 8)(x + 12) &= 0 \end{aligned} \]

Esto da las soluciones $ x = 8 $ o $ x = -12 $. Como el ancho no puede ser negativo, rechazamos -12.

Respuesta: El ancho es 8 m, y la longitud es $ 8 + 4 = 12 $ m.

¿Qué número(s) es (son) igual(es) a su cuadrado?

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Sea $ x $ el número. Si es igual a su cuadrado, escribimos la ecuación:

\[ x = x^2 \]

Escríbalo en forma estándar y factorice:

\[ \begin{aligned} x - x^2 &= 0 \\ x(1 - x) &= 0 \end{aligned} \]

Respuesta: Las soluciones son $ x = 0 $ y $ x = 1 $.

¿Qué número(s) es (son) igual(es) a la mitad de su cuadrado?

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Sea $ x $ el número. Es igual a la mitad de su cuadrado:

\[ x = \dfrac{1}{2}x^2 \]

Iguale a cero y factorice:

\[ \begin{aligned} x - \dfrac{1}{2}x^2 &= 0 \\ x\left(1 - \dfrac{1}{2}x\right) &= 0 \end{aligned} \]

Respuesta: Las soluciones son $ x = 0 $ y $ x = 2 $.

Un automóvil viaja de A a B a una velocidad de 40 mph y luego regresa, usando la misma carretera, de B a A a una velocidad de 60 mph. ¿Cuál es la velocidad promedio para el viaje de ida y vuelta?

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La velocidad promedio es la distancia total dividida por el tiempo total. Sea $ x $ la distancia de un sentido de A a B. La distancia total del viaje de ida y vuelta es $ 2x $.

El tiempo de ida es $ \dfrac{x}{40} $ y el tiempo de regreso es $ \dfrac{x}{60} $. El tiempo total $ T $ es:

\[ T = \dfrac{x}{40} + \dfrac{x}{60} = \dfrac{3x + 2x}{120} = \dfrac{5x}{120} = \dfrac{x}{24} \]

Ahora calcule la velocidad promedio:

\[ \text{Velocidad promedio} = \dfrac{2x}{\left(\dfrac{x}{24}\right)} = 2x \cdot \dfrac{24}{x} = 48 \; \text{mph} \]

Tom viaja a 60 millas por hora hacia una ciudad vecina y a 50 millas por hora al regresar por la misma carretera. Condujo un total de 5 horas de ida y vuelta. ¿Cuál es la distancia desde la casa de Tom hasta la ciudad que visitó? (Redondee su respuesta a la milla más cercana).

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Sea $ x $ la distancia a la ciudad. El tiempo de ida es $ \dfrac{x}{60} $ y el tiempo de regreso es $ \dfrac{x}{50} $. El tiempo total es de 5 horas:

\[ \dfrac{x}{60} + \dfrac{x}{50} = 5 \]

Multiplique toda la ecuación por el denominador común (300):

\[ \begin{aligned} 300 \left(\dfrac{x}{60}\right) + 300 \left(\dfrac{x}{50}\right) &= 300(5) \\ 5x + 6x &= 1500 \\ 11x &= 1500 \\ x &= \dfrac{1500}{11} \approx 136 \; \text{millas} \end{aligned} \]

A las 11:00 a.m., John comenzó a conducir por una autopista a una velocidad constante de 50 mph. Un cuarto de hora más tarde, Jimmy comenzó a conducir por la misma autopista en la misma dirección que John a una velocidad constante de 65 mph. ¿A qué hora alcanzará Jimmy a John?

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Sea $ t $ el tiempo (en horas) que John ha estado conduciendo desde las 11:00 a.m. Jimmy comienza un cuarto de hora (0.25 horas) más tarde, por lo que su tiempo de conducción es $ t - 0.25 $.

Cuando Jimmy alcanza a John, sus distancias son iguales:

\[ 50t = 65(t - 0.25) \]

Resuelva para $ t $:

\[ \begin{aligned} 50t &= 65t - 16.25 \\ -15t &= -16.25 \\ t &= \dfrac{16.25}{15} = \dfrac{65}{60} \; \text{horas} \end{aligned} \]

$ \dfrac{65}{60} $ horas es exactamente 1 hora y 5 minutos. Sumando esto a la hora de inicio (11:00 a.m.):

Respuesta: Jimmy alcanza a John a las 12:05 p.m.

Encuentre una ecuación de la recta que pasa por el punto $ (-4, 5) $ y es perpendicular a la recta $ 5x - 3y = 4 $.

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Primero, encuentre la pendiente de la recta dada convirtiéndola a la forma pendiente-intersección ($ y = mx + b $):

\[ \begin{aligned} -3y &= -5x + 4 \\ y &= \dfrac{5}{3}x - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]

La pendiente de esta recta es $ \dfrac{5}{3} $. Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas, por lo que la pendiente de nuestra nueva recta es $ m = -\dfrac{3}{5} $.

Usando la fórmula punto-pendiente con el punto $ (-4, 5) $:

\[ \begin{aligned} y - 5 &= -\dfrac{3}{5}(x - (-4)) \\ y &= -\dfrac{3}{5}(x + 4) + 5 \\ y &= -\dfrac{3}{5}x - \dfrac{12}{5} + \dfrac{25}{5} \\ y &= -\dfrac{3}{5}x + \dfrac{13}{5} \end{aligned} \]

Multiplique por 5 para convertir a forma estándar:

\[ 5y = -3x + 13 \quad \Rightarrow \quad 3x + 5y = 13 \]

Un campo rectangular tiene un área de 300 metros cuadrados y un perímetro de 80 metros. ¿Cuáles son la longitud y el ancho del campo?

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Sean $ L $ y $ W $ la longitud y el ancho. Ecuaciones de área y perímetro:

\[ L \cdot W = 300 \] \[ 2(L + W) = 80 \quad \Rightarrow \quad L + W = 40 \]

De la ecuación del perímetro, $ W = 40 - L $. Sustituya esto en la ecuación del área:

\[ \begin{aligned} L(40 - L) &= 300 \\ 40L - L^2 &= 300 \\ L^2 - 40L + 300 &= 0 \\ (L - 30)(L - 10) &= 0 \end{aligned} \]

Las soluciones son $ L = 30 $ o $ L = 10 $. Asumiendo que la longitud es el lado más largo, $ L = 30 $ m y $ W = 10 $ m.

Un jardín rectangular tiene una longitud de 100 metros y un ancho de 50 metros. Se va a construir una piscina cuadrada dentro del jardín. Encuentre la longitud de un lado de la piscina si el área restante (no ocupada por la piscina) es igual a la mitad del área del jardín rectangular.

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Sea $ x $ el lado de la piscina. El área de la piscina es $ x^2 $.

Si el área restante es la mitad del área total, entonces la piscina misma debe ocupar la otra mitad del área total. El área total del jardín es $ 100 \times 50 = 5000 $.

\[ \begin{aligned} x^2 &= \dfrac{1}{2}(5000) \\ x^2 &= 2500 \\ x &= \sqrt{2500} = 50 \end{aligned} \]

Respuesta: El lado de la piscina es de 50 metros.

ABC es un triángulo equilátero con una longitud de lado de 50 cm. BH es perpendicular a AC. MN es paralelo a AC. Encuentre el área del triángulo BMN si la longitud de MN es igual a 12 cm.

$Triángulo BMN inscrito en triángulo equilátero ABC$

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Debido a que $ \triangle ABC $ es equilátero y $ BH \perp AC $, $ H $ es el punto medio de $ AC $, por lo que $ HC = \dfrac{50}{2} = 25 $ cm.

Debido a que $ MN \parallel HC $, los triángulos $ \triangle BMN $ y $ \triangle BHC $ son semejantes. La razón de los lados correspondientes es:

\[ \dfrac{MN}{HC} = \dfrac{12}{25} \]

La razón de las áreas de triángulos semejantes es el cuadrado de la razón de sus lados:

\[ \dfrac{\text{Área } BMN}{\text{Área } BHC} = \left(\dfrac{12}{25}\right)^2 \]

A continuación, encuentre la altura $ BH $ usando Pitágoras en $ \triangle BHC $:

\[ BH = \sqrt{50^2 - 25^2} = \sqrt{2500 - 625} = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3} \]

El área de $ \triangle BHC $ es:

\[ \text{Área } BHC = \dfrac{1}{2} \cdot HC \cdot BH = \dfrac{1}{2}(25)(25\sqrt{3}) = \dfrac{625\sqrt{3}}{2} \]

Finalmente, encuentre el área de $ \triangle BMN $:

\[ \text{Área } BMN = \left(\dfrac{144}{625}\right) \cdot \left(\dfrac{625\sqrt{3}}{2}\right) = 72\sqrt{3} \; \text{cm}^2 \]

La altura del agua en un contenedor cilíndrico con radio $ r = 5 $ cm es de 10 cm. Peter necesita medir el volumen de una piedra con una forma complicada, por lo que coloca la piedra dentro del contenedor. La altura del agua sube a 13.2 cm. ¿Cuál es el volumen de la piedra en cm cúbicos?

$Cilindro con desplazamiento de agua$

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Encuentre el volumen inicial del agua ($ V_1 $):

\[ V_1 = \pi r^2 h_1 = \pi (5^2)(10) = 250\pi \; \text{cm}^3 \]

Encuentre el nuevo volumen después de que la piedra se sumerja ($ V_2 $):

\[ V_2 = \pi r^2 h_2 = \pi (5^2)(13.2) = 330\pi \; \text{cm}^3 \]

El volumen de la piedra es la diferencia:

\[ V_{\text{piedra}} = 330\pi - 250\pi = 80\pi \; \text{cm}^3 \]

Usando $ \pi \approx 3.14159 $, el volumen es aproximadamente $ 251.3 \; \text{cm}^3 $.

En la figura a continuación, el cuadrado tiene todos sus vértices sobre el círculo. El área del cuadrado es igual a 400 cm². ¿Cuál es el área de la forma circular?

$Cuadrado inscrito en un círculo$

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El lado $ x $ del cuadrado se puede encontrar usando su área:

\[ x^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \; \text{cm} \]

La diagonal $ D $ del cuadrado es igual al diámetro del círculo. Use el teorema de Pitágoras para hallar $ D $:

\[ D^2 = x^2 + x^2 = 400 + 400 = 800 \]

El área del círculo es $ A = \pi r^2 $. Como $ r = \dfrac{D}{2} $, tenemos $ r^2 = \dfrac{D^2}{4} $:

\[ A = \pi \left(\dfrac{D^2}{4}\right) = \pi \left(\dfrac{800}{4}\right) = 200\pi \; \text{cm}^2 \]

Usando $ \pi \approx 3.14 $, el área es aproximadamente $ 628 \; \text{cm}^2 $.

Los números 2, 3, 5 y $ x $ tienen un promedio igual a 4. Encuentre $ x $.

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El promedio es la suma de los números dividida por el conteo. Establezca la ecuación:

\[ \dfrac{2 + 3 + 5 + x}{4} = 4 \]

Resuelva para $ x $:

\[ \begin{aligned} 10 + x &= 16 \\ x &= 6 \end{aligned} \]

Los números $ x, y, z $ y $ w $ tienen un promedio igual a 25. El promedio de $ x, y $ y $ z $ es igual a 27. Encuentre $ w $.

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El promedio de los 4 números nos da su suma total:

\[ \dfrac{x + y + z + w}{4} = 25 \quad \Rightarrow \quad x + y + z + w = 100 \]

El promedio de los 3 números nos da su suma parcial:

\[ \dfrac{x + y + z}{3} = 27 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 81 \]

Sustituya esta suma parcial en la primera ecuación:

\[ \begin{aligned} 81 + w &= 100 \\ w &= 19 \end{aligned} \]

Encuentre $ x, y, z $ de tal manera que los números 41, 46, $ x, y, z $ tengan una media aritmética de 50 y una moda de 45.

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La media aritmética de los cinco números es 50:

\[ \dfrac{41 + 46 + x + y + z}{5} = 50 \] \[ 87 + x + y + z = 250 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 163 \]

La moda es el valor que ocurre con más frecuencia. Como ningún número se repite aún, al menos dos de las variables desconocidas deben ser iguales a 45. No podemos tener $ x = y = z = 45 $ porque $ 45 \times 3 = 135 $, lo cual no es igual a 163.

Por lo tanto, dos de las variables deben ser 45 (digamos $ x = y = 45 $):

\[ 45 + 45 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad 90 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad z = 73 \]

Respuesta: Los valores son 45, 45 y 73.

$ A $ es una constante. Encuentre $ A $ tal que la ecuación $ 2x + 1 = 2A + 3(x + A) $ tenga una solución en $ x = 2 $.

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Sustituya $ x = 2 $ en la ecuación dada:

\[ \begin{aligned} 2(2) + 1 &= 2A + 3(2 + A) \\ 4 + 1 &= 2A + 6 + 3A \\ 5 &= 5A + 6 \\ 5A &= -1 \\ A &= -\dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

Un litro es igual a 1 decímetro cúbico ($ \text{dm}^3 $), y 1 litro de agua pesa 1 kilogramo. ¿Cuál es el peso del agua contenida en un contenedor cilíndrico con radio igual a 50 centímetros y altura igual a 1 metro?

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Primero, convierta todas las unidades a decímetros (dm) para calcular fácilmente los litros, ya que 10 cm = 1 dm:

Radio $ r = 50 $ cm = 5 dm
Altura $ h = 1 $ m = 100 cm = 10 dm

Encuentre el volumen del cilindro:

\[ V = \pi r^2 h = 3.14 \times (5)^2 \times 10 = 3.14 \times 250 = 785 \; \text{dm}^3 \]

Como 1 $ \text{dm}^3 $ pesa 1 kg, el peso total es 785 kg.

En la figura siguiente, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo isósceles. AM es perpendicular a BC y MN es perpendicular a AC. Encuentre la razón del área del triángulo MNC al área del triángulo ABC.

$Triángulo rectángulo isósceles ABC con altitudes AM y MN$

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Debido a que $ \triangle ABC $ es un triángulo rectángulo isósceles, la altitud $ AM $ trazada a la hipotenusa divide al triángulo en dos triángulos rectángulos isósceles más pequeños y congruentes: $ \triangle ABM $ y $ \triangle ACM $.

Por lo tanto, el área de $ \triangle ACM $ es exactamente la mitad del área de $ \triangle ABC $.

De manera similar, en el triángulo rectángulo isósceles $ \triangle ACM $, la altitud $ MN $ lo divide en dos triángulos rectángulos isósceles congruentes: $ \triangle AMN $ y $ \triangle CMN $.

Así, el área de $ \triangle MNC $ es exactamente la mitad del área de $ \triangle ACM $.

Combinando esto, el área de $ \triangle MNC $ es $ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} $ del área de $ \triangle ABC $.

Respuesta: La razón es 1:4.

La bomba A puede llenar un tanque de agua en 4 horas. La bomba B puede llenar el mismo tanque en 6 horas. Ambas bombas se encienden a las 8:00 a.m. para llenar el mismo tanque vacío. Una hora después, la bomba B se avería y tarda una hora en repararse antes de reiniciarse. ¿Cuándo se llenará el tanque? (Redondee su respuesta al minuto más cercano).

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La tasa de llenado de la Bomba A es $ \dfrac{1}{4} $ de tanque por hora. La tasa de la Bomba B es $ \dfrac{1}{6} $ de tanque por hora.

Sea $ t $ el tiempo total (en horas) que opera la Bomba A. Debido a que la Bomba B estuvo averiada durante exactamente 1 hora, funciona durante $ t - 1 $ horas.

Juntas, llenan 1 tanque entero:

\[ \dfrac{t}{4} + \dfrac{t - 1}{6} = 1 \]

Multiplique la ecuación por 12 para eliminar las fracciones:

\[ \begin{aligned} 3t + 2(t - 1) &= 12 \\ 3t + 2t - 2 &= 12 \\ 5t &= 14 \\ t &= 2.8 \; \text{horas} \end{aligned} \]

Convierta 2.8 horas a horas y minutos:

\[ 0.8 \times 60 = 48 \; \text{minutos} \]

El tiempo total es de 2 horas y 48 minutos. Comenzando a las 8:00 a.m., el tanque estará lleno a las 10:48 a.m.

¿Son las rectas con ecuaciones $ 2x + y = 2 $ y $ x - 2y = 0 $ paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos?

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Convierta cada ecuación a la forma pendiente-intersección ($ y = mx + b $):

\[ 2x + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 2 \quad (\text{pendiente } m_1 = -2) \] \[ x - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{1}{2}x \quad (\text{pendiente } m_2 = \dfrac{1}{2}) \]

Las pendientes son recíprocas negativas entre sí, porque su producto es $-1$:

\[ m_1 \times m_2 = -2 \times \dfrac{1}{2} = -1 \]

Respuesta: Las rectas son perpendiculares.

Un semicírculo de área $ 50\pi $ cm² está inscrito dentro de un rectángulo. El diámetro del semicírculo coincide con la longitud del rectángulo. Encuentre el área del rectángulo.

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Sea $ R $ el radio del semicírculo. El área del semicírculo es la mitad del área de un círculo completo:

\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}\pi R^2 &= 50\pi \\ R^2 &= 100 \\ R &= 10 \; \text{cm} \end{aligned} \]

Dado que el diámetro del semicírculo coincide con la longitud del rectángulo, la longitud $ L = 2R = 20 $ cm.

Debido a que el semicírculo está inscrito, su radio toca el ancho superior del rectángulo, por lo que el ancho $ W = R = 10 $ cm.

Calcule el área del rectángulo:

\[ \text{Área} = L \times W = 20 \times 10 = 200 \; \text{cm}^2 \]

Un triángulo tiene un área de 200 cm². Dos lados de este triángulo miden 26 cm y 40 cm respectivamente. Encuentre el valor exacto del tercer lado.

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Sean $ a = 26 $, $ b = 40 $ y $ \alpha $ el ángulo entre ellos. La fórmula para el área de un triángulo es:

\[ A = \dfrac{1}{2} a b \sin(\alpha) \]

Sustituya los valores conocidos para encontrar $ \sin(\alpha) $:

\[ \begin{aligned} 200 &= \dfrac{1}{2}(26)(40)\sin(\alpha) \\ 200 &= 520\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) &= \dfrac{200}{520} = \dfrac{5}{13} \end{aligned} \]

Usando la identidad $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, encuentre $ \cos(\alpha) $. Debido a que un ángulo en un triángulo puede ser agudo u obtuso, hay dos valores posibles para $ \cos(\alpha) $:

\[ \cos(\alpha) = \pm\sqrt{1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2} = \pm\sqrt{\dfrac{144}{169}} = \pm\dfrac{12}{13} \]

Ahora, aplique la ley de los cosenos para encontrar el tercer lado $ c $:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha) \] \[ c^2 = 26^2 + 40^2 - 2(26)(40)\left(\pm\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 676 + 1600 \mp 2080\left(\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 2276 \mp 1920 \]

Calcule las dos posibilidades para $ c^2 $:

\[ \begin{aligned} c_1^2 &= 2276 - 1920 = 356 \\ c_2^2 &= 2276 + 1920 = 4196 \end{aligned} \]

Respuesta: Los dos valores exactos posibles para el tercer lado son $ 2\sqrt{89} $ cm y $ 2\sqrt{1049} $ cm.

Problemas verbales de matemáticas de 9º grado: Preguntas y soluciones paso a paso

Preguntas de práctica

Enlaces y referencias