Fórmula del Binomio e Identidades Algebraicas

Fórmula del Binomio y Coeficientes

Para $n$ entero positivo $n=1,2,...$
$(x+y)^n=x^n+n x^{n-1}y + \dfrac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}y^2+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3}y^3+...+y^n$
donde $n!=1 \cdot 2 \cdot 3 ....\cdot (n-1) \cdot n$ y $0!=1$
Usando los coeficientes binomiales, la fórmula anterior se puede escribir como
$(x+y)^n=\dbinom{n}{0}x^n+ \dbinom{n}{1} x^{n-1}y + \dbinom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\dbinom{n}{k}x^{n-k}y^k+...+\dbinom{n}{n}y^n$
donde
$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
Ejemplos
$\dbinom{n}{0} = \dfrac{n!}{0!(n-0)!}=\dfrac{n!}{1\cdot n!}=1$
$\dbinom{7}{5} = \dfrac{7!}{5!(7-5)!}=\dfrac{7 \cdot 6}{2\cdot 1}=21$

Uso de la Fórmula del Binomio: Ejemplos

  1. $(x+y)^2=x^2+2 x y+y^2$
  2. $(x+y)^3=x^3+3 x^2 y+3x y^2+y^3$
  3. $(x-y)^2=x^2-2 x y+y^2$
  4. $(x+y)^3=x^3-3 x^2 y+3x y^2-y^3$

Fórmulas de Factorización

  1. $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
  2. $x^3-y^3=(x-y)(x^2+x y+y^2)$
  3. $x^3+y^3=(x+y)(x^2-x y+y^2)$
  4. $x^4-y^4=(x^2)^2-(y^2)^2=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$
Fórmulas Matemáticas