Reglas Básicas de Integración en Cálculo

En lo que sigue, $c$ es una constante de integración, $f$, $u$ y $v$ son funciones de $x$, $u '(x)$ y $v '(x)$ son las primeras derivadas de $u(x)$ y $v(x)$ respectivamente.

Reglas Básicas

1. $\int a\,dx = a x + c$ (donde $a$ es una constante)
   
   
2. $\int a f(x)\,dx = a \int f(x)\,dx$ (donde $a$ es una constante)
   
   
3. Integración de potencia constante
   
   $\int x^n \,dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c $ (para potencia constante $n$ distinta de $-1$)
   
   
4. $\int {\dfrac{1}{x}} \,dx = \ln |x| + c $
   
   
5. Integración de una suma
   
   $\int [ u(x)+v(x)] \,dx = \int u(x)\,dx+\int v(x)\,dx$
   
   
6. Integración de una diferencia
   
   $\int [ u(x)-v(x)] \,dx = \int u(x)\,dx-\int v(x)\,dx$
   
   
7. Integración mediante sustitución
   
   $\int f(u(x)) \cdot u'(x) \,dx = \int f(u)\,du$
   
   Ejemplo 1: Evaluar la integral $\int x \cdot (x^2+5)^8 \,dx$
   
   Sea $u(x)=x^2+5$, por lo tanto $du/dx=2 x$ lo que da $dx = du/2 x$
   
   Sustituimos para reescribir la integral dada como
   
   $\int x \cdot (x^2+5)^8 \,dx = \int \dfrac{1}{2 x} x \cdot u^8 \,du$
   
   $= \int \dfrac{1}{2}\cdot u^8 \,du = (\dfrac{1}{2})\dfrac{1}{8+1} u^{8+1} + c = \dfrac{1}{18} (x^2+5)^9 + c$
   
   
8. Integración por partes
   
   $\int u(x)\cdot v'(x) \,dx = u(x) v(x) -\int u'(x) v(x) \,dx$
   
   Ejemplo 1: Evaluar la integral $\int 2 x \cdot \sin(x) \,dx$
   
   Sea $u(x)=2 x$ y $v'(x)=\sin(x)$; por lo tanto $v(x) = -\cos(x)$.
   
   Ahora usamos la fórmula de integración por partes
   
   $\int 2 x \cdot \sin(x) \,dx = 2x (-\cos(x)) - \int 2 (-\cos(x)) \,dx=-2 x \cos(x) + 2\sin(x) + c$