Respuestas a los Tutoriales sobre la Ecuación de una Parábola

Las respuestas a las preguntas del tutorial de Ecuación de una Parábola se presentan a continuación con explicaciones claras y justificación analítica.

Pregunta 2

Manteniendo fijos los valores de \( a \), \( h \) y \( k \), encuentra la ecuación de la directriz, las coordenadas del vértice \( V \) y el foco \( F \), y la ecuación del eje de simetría.

Respuesta:

• Directriz: \( x = -1 \)
• Vértice: \( V(0, 0) \)
• Foco: \( F(1, 0) \)
• Eje de simetría: \( y = 0 \)

Pregunta 3

Establece \( a = 2 \) y responde las mismas preguntas que en la Pregunta 2.

Respuesta:

• Directriz: \( x = -2 \)
• Vértice: \( V(0, 0) \)
• Foco: \( F(2, 0) \)
• Eje de simetría: \( y = 0 \)

Pregunta 4

Establece \( a = 1 \), \( h = 0 \) y varía \( k \). Describe cómo \( k \) afecta el vértice, el foco y el eje de simetría.

Respuesta:

• Coordenada Y del foco: \( k \)
• Coordenada Y del vértice: \( k \)
• Eje de simetría: \( y = k \)

Sí, la posición del vértice cambia a medida que \( k \) cambia.

Pregunta 5

Establece \( a = 1 \), \( k = 0 \) y varía \( h \). Describe cómo \( h \) afecta el foco, el vértice y la directriz.

Respuesta:

• Coordenada X del foco: \( h \)
• Coordenada X del vértice: \( h \)
• Directriz: \( x = h - 1 \)

El eje de simetría no cambia de posición a medida que \( h \) varía.

Pregunta 6

Expresa el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetría en términos de \( h \) y \( k \).

Respuesta:

• Vértice: \( V(h, k) \)
• Foco: \( F(h + 1, k) \)
• Directriz: \( x = h - 1 \)
• Eje de simetría: \( y = k \)

Pregunta 7

Para \( a = 1 \) y \( k = 0 \), determina el número de intersecciones con el eje Y dependiendo de \( h \).

Respuesta:

• Dos intersecciones con el eje Y si \( h < 0 \)
• Una intersección con el eje Y si \( h = 0 \)
• No hay intersecciones con el eje Y si \( h > 0 \)

Explicación analítica:

Partiendo de la ecuación estándar \[ (y - k)^2 = 4a(x - h), \] se establece \( x = 0 \):

• Si \( h < 0 \): dos soluciones reales
• Si \( h = 0 \): una solución real
• Si \( h > 0 \): ninguna solución real

Pregunta 8

Explica por qué esta parábola tiene exactamente una intersección con el eje X.

Respuesta:

Establece \( y = 0 \) en \[ (y - k)^2 = 4a(x - h) \] para obtener \[ k^2 = 4a(x - h). \]

Esta ecuación lineal en \( x \) tiene exactamente una solución: \[ x = h + \frac{k^2}{4a}. \]

Pregunta 9

Demuestra que la ecuación \[ y^2 - 4y - 4x = 0 \] puede escribirse en la forma estándar de una parábola.

Solución:

Completa el cuadrado:

Por lo tanto:

• \( a = 1 \)
• \( h = -1 \)
• \( k = 2 \)

• Vértice: \( V(-1, 2) \)
• Foco: \( F(0, 2) \)
• Eje de simetría: \( y = 2 \)
• Directriz: \( x = -2 \)