Ecuación de la parábola
Definición y ecuación de una parábola con eje vertical
Una parábola es el conjunto de todos los puntos \( M(x,y)\) en un plano tal que la distancia de \( M \) a un punto fijo \( F \) llamado foco es igual a la distancia de \ ( M \) a una línea fija llamada directriz como se muestra a continuación en el gráfico.
Consideremos una parábola con un vértice \( V(0,0) \) (el punto más bajo) en el origen (0,0) como se muestra en el gráfico y el foco \( F(0 , p) \) en el eje de simetría (el eje y) con \( p > 0 \).
La distancia entre los puntos \(M(x,y) \) de la parábola y el foco \( F(0 , p)\) está dada por
\( MF = \sqrt{(x -0)^2 + (y - p)^2} \)
La distancia desde el punto \(M(x,y) \) a la dirección de la ecuación \( y = - p \) está dada por
\( MD = y + p \)
Según la definición anterior de parábola, estas dos distancias son iguales; por eso
\(\sqrt{(x -0)^2 + (y - p)^2} = y + p\)
Cuadra ambos lados y expande los dos lados de la ecuación.
\( x^2 + y^2 - 2 py + p^2 = y^2 + 2 py + p^2 \)
Término similar al grupo
\( 4py = x^2 \)
Escribe la ecuación de la parábola como \( y \) en términos de \( x \).
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Ejemplo 1
El punto \( ( 4,2) \) está en la gráfica de una parábola con vértice en el origen \( (0,0) \) y eje vertical. Encuentra el foco de la parábola, grafica y etiqueta el foco y grafica la directriz.
Solución al ejemplo 1
La ecuación de una parábola con eje vertical en cuyo vértice está el origen está dada por
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Dado que \( ( 4,2) \) está en la gráfica de la parábola, las coordenadas \( x = 4 \) y \( y = 2 \) satisfacen la ecuación de la parábola. Por eso
\( 2 = \dfrac{1}{4p} (4)^2 \)
Simplificar
\( 2 = \dfrac{16}{4p} \)
Resuelva para \( p \)
\( p = 2 \)
El foco está en el punto \( F(0 , 2)\) y la directriz viene dada por la línea horizontal \( y = - 2 \) como se muestra en el siguiente gráfico.
Podemos generalizar y escribir la ecuación de una parábola en un vértice \( V(h,k) \) de la siguiente manera
\( y = \dfrac{1}{4p} (x - h)^2 + k\)
con vértice \( V(h,k) \) y foco \( F(h,k+p) \) y directriz dada por la ecuación \( y = k - p \)Ejemplo 2
Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola dada por la ecuación \(y = \dfrac{1}{16} x^2 - \dfrac{1}{4} x + \dfrac{9}{4}\) .
Solución al ejemplo 2
Reescribe la ecuación dada en forma estándar completando el cuadrado. factoriza \( 1/16 \) a partir de los términos en \( x \) y \( x^2 \)
\(y = \dfrac{1}{16} (x^2 - 4 x) + \dfrac{9}{4}\) .
Completa el cuadrado dentro del paréntesis.
\(y = \dfrac{1}{16} ((x-2)^2 - 2^2 ) + \dfrac{9}{4}\)
Reescribir en forma estándar
\(y = \dfrac{1}{16} ((x-2)^2 - 4 ) - \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}\)
Términos similares a grupos
\(y = \dfrac{1}{16} (x - 2)^2 + 2 \)
Compare la ecuación anterior con la forma estándar \( y = \dfrac{1}{4p} (x - h)^2 + k\) e identifique los parámetros \( p \), \( h \) y \( k \)
\( \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4p}\); resuelva para \( p \) para obtener \( p = 4 \)
\( h = 2 \) y \( k = 2 \)
Vértice en \( V(h,k) = V(2,2)\), foco en \( F(h,k+p) = F(2,6)\), directriz dada por \( y = k - p = - 2 \)
Ecuación de una parábola con eje horizontal
La ecuación de una parábola con eje horizontal se escribe como
\( x = \dfrac{1}{4p} (y - k)^2 + h\)
con vértice \( V(h,k) \) y foco \( F(h+p,k) \) y directriz dada por la ecuación \( x = h - p \)Ejemplo 3
Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola dada por la ecuación \(x = \dfrac{1}{4} y^2 - y + 11\) .
Solución al ejemplo 3
Agrupa los términos en \( y^2 \) y \(y \) y factoriza \( 1/4 \).
\(x = \dfrac{1}{4} (y^2 - 4 y) + 11\)
Usa los términos \( y^2 \) y \(y \) dentro del paréntesis y completa el cuadrado
\(x = \dfrac{1}{4} ((y^2 - 2) - 2^2) + 11\)
Reescribir en forma estándar
\(y = \dfrac{1}{4} ((y-2)^2) + 10 \)
Términos similares a grupos
Compare la ecuación anterior con la ecuación en forma estándar \( x = \dfrac{1}{4p} (y - k)^2 + h\) e identifique los parámetros \( p \), \( h \) y \ (k\)
\( \dfrac{1}{4p} = \dfrac{1}{4} \) da \( p = 1 \)
\( h = 10 \) y \( k = 2 \)
Vértice en \( V(h,k) = V(10,2)\), foco en \( F(h+p,k) = F(11,2)\), directriz dada por \( x = h - pag = 9 \)
Tutorial interactivo sobre la ecuación de una parábola
Ahora se presenta una aplicación para explorar la ecuación de una parábola y sus propiedades. La ecuación utilizada es la ecuación estándar que tiene la forma
\( y = \dfrac{1}{4 p}(x - h)^2 + k \)
donde h y k son las coordenadas x e y del vértice de la parábola y p es un número real distinto de cero.La exploración se realiza cambiando los parámetros \( p, h \) y \( k \) incluidos en la ecuación anterior y realizando las actividades que se describen a continuación.
Los valores predeterminados al abrir esta página son: \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \)
Haga clic en el botón "Plot Equation" para comenzar.
Pase el cursor del mouse sobre el gráfico del punto trazado para leer las coordenadas..
1 - Comience con los valores predeterminados \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \) el botón "Trazar ecuación". Pase el cursor de mousse sobre el gráfico para rastrear y leer las coordenadas de los puntos en el gráfico, en el foco F o en el vértice V.
a) Utilice los valores de \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \) y calcule las coordenadas del foco \( F \), el vértice \( V \) y la ecuación de la directriz y compararlos con los valores gráficos.
b) Seleccione un punto \( M \) en la parábola y encuentre la distancia \( MF \) y compárela con la distancia de \( M \) a la directriz (consulte la definición de parábola más arriba). ¿Son iguales? (o cercanos)
2 - En el papel, encuentra la ecuación de la parábola para los valores \( p = 4, h = 1 \) y \( k = - 4 \).
a) Calcular las coordenadas del foco \( F \), el vértice \( V \) y la ecuación de la directriz
b) Calcular las intersecciones x e y
c) Establezca los valores \( p = 4, h = 1 \) y \( k = - 4 \) en la aplicación de arriba y luego lea y verifique la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco \( F \) y el vértice \( V \) y la ecuación de la directriz.
d) Comprueba las intersecciones x e y
3 - Ejercicio:
a) En papel, reescribe la ecuación.
\[ x^2 - 4 x - 4 y = 0 \]
en la forma \( y = \dfrac{1}{4 p} (x - h)^2 + k \) (ver ejemplo 2 arriba)
b) Identifica y encuentra los valores de \( p \), \( h \) y \( k \).
c) Encuentre las coordenadas del foco \( F \), el vértice \( V \), las intersecciones x e y y la ecuación de la directriz
d) Utilice la aplicación anterior y verifique los valores encontrados mediante los cálculos.
Más referencias y enlaces
Tutorial sobre ¿Cómo funcionan las antenas parabólicas?Tutorial sobre cómo encontrar el foco de las antenas parabólicas .
Tutorial interactivo sobre cómo encontrar la ecuación de una parábola .
Calculadora de parábola de tres puntos.
Tutoriales similares en circle ,
Elipse
y la hipérbola se puede encontrar en este sitio.
