Ecuación de la Parábola
Definición y Ecuación de una Parábola con Eje Vertical
Una parábola es el conjunto de todos los puntos \( M(x,y)\) en un plano tales que la distancia desde \( M \) hasta un punto fijo \( F \) llamado foco es igual a la distancia desde \( M \) hasta una línea fija llamada directriz, como se muestra en la siguiente gráfica.
Consideremos una parábola con un vértice \( V(0,0) \) (el punto más bajo) en el origen (0,0) como se muestra en la gráfica y el foco \( F(0 , p) \) sobre el eje de simetría (el eje y) con \( p > 0 \).
La distancia entre los puntos \(M(x,y) \) en la parábola y el foco \( F(0 , p)\) está dada por
\[ MF = \sqrt{(x -0)^2 + (y - p)^2} \]
La distancia desde el punto \(M(x,y) \) a la directriz de ecuación \( y = - p \) está dada por
\[ MD = y + p \]
De acuerdo con la definición anterior de la parábola, estas dos distancias son iguales; por lo tanto
\[ \sqrt{(x -0)^2 + (y - p)^2} = y + p\]
Elevamos al cuadrado ambos lados y expandimos los dos lados de la ecuación
\[ x^2 + y^2 - 2 py + p^2 = y^2 + 2 py + p^2 \]
Agrupamos términos semejantes
\[ 4 py = x^2 \]
Escribimos la ecuación de la parábola como \( y \) en términos de \( x \).
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Ejemplo 1
El punto \( ( 4,2) \) está en la gráfica de una parábola con vértice en el origen \( (0,0) \) y eje vertical. Encuentra el foco de la parábola, grafícala y etiqueta el foco y grafíca la directriz.
Solución al Ejemplo 1
La ecuación de una parábola con eje vertical cuyo vértice está en el origen está dada por
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Dado que \( ( 4,2) \) está en la gráfica de la parábola, las coordenadas \( x = 4 \) y \( y = 2 \) satisfacen la ecuación de la parábola. Por lo tanto
\( 2 = \dfrac{1}{4p} (4)^2 \)
Simplificamos
\( 2 = \dfrac{16}{4p} \)
Despejamos \( p \)
\( p = 2 \)
El foco está en el punto \( F(0 , 2)\) y la directriz está dada por la línea horizontal \( y = - 2 \) como se muestra en la siguiente gráfica.
Podemos generalizar y escribir la ecuación de una parábola con un vértice \( V(h,k) \) de la siguiente manera
\( y = \dfrac{1}{4p} (x - h)^2 + k\)
con vértice \( V(h,k) \) y foco \( F(h,k+p) \) y directriz dada por la ecuación \( y = k - p \)
Ejemplo 2
Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola dada por la ecuación \(y = \dfrac{1}{16} x^2 - \dfrac{1}{4} x + \dfrac{9}{4}\) .
Solución al Ejemplo 2
Reescribimos la ecuación dada en forma estándar completando el cuadrado. Factorizamos \( 1/16 \) de los términos en \( x \) y \( x^2 \)
\(y = \dfrac{1}{16} (x^2 - 4 x) + \dfrac{9}{4}\) .
Completamos el cuadrado dentro del paréntesis
\(y = \dfrac{1}{16} ((x-2)^2 - 2^2 ) + \dfrac{9}{4}\)
Reescribimos en forma estándar
\(y = \dfrac{1}{16} ((x-2)^2 - 4 ) - \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}\)
Agrupamos términos semejantes
\(y = \dfrac{1}{16} (x - 2)^2 + 2 \)
Comparamos la ecuación anterior con la forma estándar \( y = \dfrac{1}{4p} (x - h)^2 + k\) e identificamos los parámetros \( p \), \( h \) y \( k \)
\( \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4p}\); despejamos \( p \) para obtener \( p = 4 \)
\( h = 2 \) y \( k = 2 \)
Vértice en \( V(h,k) = V(2,2)\), Foco en \( F(h,k+p) = F(2,6)\) , directriz dada por \( y = k - p = - 2 \)
Ecuación de una Parábola con Eje Horizontal
La ecuación de una parábola con un eje horizontal se escribe como
\( x = \dfrac{1}{4p} (y - k)^2 + h\)
con vértice \( V(h,k) \) y foco \( F(h+p,k) \) y directriz dada por la ecuación \( x = h - p \)
Ejemplo 3
Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola dada por la ecuación \(x = \dfrac{1}{4} y^2 - y + 11\) .
Solución al Ejemplo 3
Agrupamos los términos en \( y^2 \) y \(y \) y factorizamos \( 1/4 \).
\(x = \dfrac{1}{4} (y^2 - 4 y) + 11\)
Usamos los términos \( y^2 \) y \(y \) dentro del paréntesis y completamos el cuadrado
\(x = \dfrac{1}{4} ((y^2 - 2) - 2^2) + 11\)
Reescribimos en forma estándar
\(y = \dfrac{1}{4} ((y-2)^2) + 10 \)
Agrupamos términos semejantes
Comparamos la ecuación anterior con la ecuación en forma estándar \( x = \dfrac{1}{4p} (y - k)^2 + h\) e identificamos los parámetros \( p \), \( h \) y \( k \)
\( \dfrac{1}{4p} = \dfrac{1}{4} \) da \( p = 1 \)
\( h = 10 \) y \( k = 2 \)
Vértice en \( V(h,k) = V(10,2)\), Foco en \( F(h+p,k) = F(11,2)\) , directriz dada por \( x = h - p = 9 \)
Tutorial Interactivo sobre la Ecuación de una Parábola
Se presenta una aplicación para explorar la ecuación de una parábola y sus propiedades. La ecuación utilizada es la ecuación estándar que tiene la forma
\( y = \dfrac{1}{4 p}(x - h)^2 + k \)
donde h y k son las coordenadas x e y del vértice de la parábola y p es un número real diferente de cero.
La exploración se lleva a cabo cambiando los parámetros \( p, h \) y \( k \) incluidos en la ecuación anterior y realizando las actividades descritas a continuación.
Los valores predeterminados al abrir esta página son: \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \)
Haz clic en el botón "Trazar Ecuación" para comenzar.
Pasa el cursor del ratón sobre la gráfica o el punto trazado para leer las coordenadas.
1 - Comienza con los valores predeterminados \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \) y haz clic en el botón "Trazar Ecuación". Pasa el cursor del ratón sobre la gráfica para rastrear y leer las coordenadas de los puntos en la gráfica, en el foco F o el vértice V.
a) Utiliza los valores de \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \) y calcula las coordenadas del foco \( F \), el vértice \( V \) y la ecuación de la directriz y compáralas con los valores gráficos.
b) Selecciona un punto \( M \) en la parábola y encuentra la distancia \( MF \) y compárala con la distancia desde \( M \) hasta la directriz (consulta la definición de parábola arriba). ¿Son iguales? (o cercanas)
2 - En papel, encuentra la ecuación de la parábola para los valores \( p = 4, h = 1 \) y \( k = - 4 \).
a) Calcula las coordenadas del foco \( F \), el vértice \( V \) y la ecuación de la directriz
b) Calcula las intersecciones con los ejes x e y
c) Establece los valores \( p = 4, h = 1 \) y \( k = - 4 \) en la aplicación de arriba y luego lee y verifica la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco \( F \) y el vértice \( V \) y la ecuación de la directriz.
d) Verifica las intersecciones con los ejes x e y
3 - Ejercicio:
a) En papel, reescribe la ecuación
\[ x^2 - 4 x - 4 y = 0 \]
en la forma \( y = \dfrac{1}{4 p} (x - h)^2 + k \) (consulta el ejemplo 2 arriba)
b) Identifica y encuentra los valores de \( p \), \( h \) y \( k \).
c) Encuentra las coordenadas del foco \( F \), el vértice \( V \), las intersecciones con los ejes x e y y la ecuación de la directriz
d) Utiliza la aplicación de arriba y verifica los valores encontrados mediante cálculos.
Si es necesario, Papel cuadriculado gratuito está disponible.
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