Encontrar la Ecuación de una Parábola a partir de su Gráfica

Se utilizan varios métodos para encontrar ecuaciones de parábolas dadas sus gráficas. Se presentan ejemplos con sus soluciones detalladas y ejercicios.

Ejemplos con Soluciones Detalladas

Ejemplo 1 Gráfica de una parábola dados los interceptos en x y y
Encuentre la ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra a continuación.
Solución al Ejemplo 1
La gráfica tiene dos interceptos en x en \( x = - 1 \) y \( x = 2 \). Por lo tanto, la ecuación de la parábola puede escribirse como
\( y = a(x + 1)(x - 2) \)
Ahora necesitamos encontrar el coeficiente \( a \) usando el intercepto en y en \( (0,-2) \)
\( -2 = a(0 + 1)(0 - 2) \)
Resuelva la ecuación anterior para \( a \) para obtener
\( a = 1 \)
La ecuación de la parábola cuya gráfica se da arriba es
\( y = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2\)

Ejemplo 2 Gráfica de una parábola dados el vértice y un punto
Encuentre la ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra a continuación.
Solución al Ejemplo 2
La gráfica tiene un vértice en \( (2,3) \). Por lo tanto, la ecuación de la parábola en forma de vértice puede escribirse como
\( y = a(x - 2)^2 + 3 \)
Ahora usamos el intercepto en y en \( (0,- 1) \) para encontrar el coeficiente \( a \).
\( - 1 = a(0 - 2)^2 + 3\)
Resuelva la ecuación anterior para \( a \) para obtener
\( a = 2 \)
La ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra arriba es
\( y = 2(x - 2)^2 + 3\)

Ejemplo 3 Gráfica de una parábola dados tres puntos
Encuentre la ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra a continuación.
Solución al Ejemplo 3
La ecuación de una parábola con eje vertical puede escribirse como
\( y = a x^2 + b x + c \)
Tres puntos en la gráfica dada de la parábola tienen coordenadas \( (-1,3), (0,-2) \) y \( (2,6) \). Use estos puntos para escribir el sistema de ecuaciones
\( \begin{array}{lcl} a (-1)^2 + b (-1) + c & = & 3 \\ a (0)^2 + b (0) + c & = & -2 \\ a (2)^2 + b (2) + c & = & 6 \end{array} \)
Simplifique y reescriba como
\( \begin{array}{lcl} a - b + c & = & 3 \\ c & = & -2 \\ 4 a + 2 b + c & = & 6 \end{array} \)
Resuelva el sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3 anterior para obtener la solución
\( a = 3 , b=-2 \) y \(c=-2 \)
La ecuación de la parábola está dada por
\( y = 3 x^2 - 2 x - 2 \)

Ejemplo 4 Gráfica de una parábola dados el diámetro y la profundidad
Encuentre la ecuación del reflector parabólico con diámetro D = 2.3 metros y profundidad d = 0.35 metros y las coordenadas de su foco.
Solución al Ejemplo 4
El reflector parabólico tiene un vértice en el origen \( (0,0) \), por lo tanto, su ecuación está dada por
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
El diámetro y la profundidad dados pueden interpretarse como un punto de coordenadas \( (D/2 , d) = (1.15 , 0.35) \) en la gráfica del reflector parabólico. Por lo tanto, la ecuación
\( 0.35 = \dfrac{1}{4p} (1.15)^2 \)
Resuelva la ecuación anterior para \( p \) para encontrar
\( p = 0.94 \)
La ecuación de la parábola está dada por
\( y = 0.26 x^2 \)
El foco del reflector parabólico está en el punto
\( (p , 0) = (0.94 , 0 ) \)

Ejercicios con Respuestas

Encuentre la ecuación de la parábola en cada una de las siguientes gráficas

1. \( y = x^2-3x-3 \)
2. \( y = - (x + 2)^2 - 1 = - x^2 -4x -5 \)
3. \( y = (x-2)(x+6) = x^2 + 4x - 12 \)

Más Referencias y Enlaces a Parábolas