Encontrar la ecuación de una parábola de su gráfica
Se utilizan varios métodos para encontrar ecuaciones de parábolas dadas sus gráficas. Se presentan ejemplos junto con sus soluciones y ejercicios detallados.
Ejemplos con soluciones detalladas
Ejemplo 1 Gráfica de una parábola dadas las intersecciones en x e y
Encuentra la ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra a continuación.
Solución al ejemplo 1
La gráfica tiene dos intersecciones x en \( x = - 1 \) y \( x = 2 \). Por tanto, la ecuación de la parábola se puede escribir como
\( y = a(x + 1)(x - 2) \)
Ahora necesitamos encontrar el coeficiente \( a \) usando la intersección y en \( (0,-2) \)
\( -2 = a(0 + 1)(0 - 2) \)
Resuelva la ecuación anterior para \( a \) para obtener
\(a = 1 \)
La ecuación de la parábola cuya gráfica se da arriba es
\( y = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2\)
Ejemplo 2 Gráfica de una parábola dado un vértice y un punto
Encuentra la ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra a continuación.
Solución al ejemplo 2
La gráfica tiene un vértice en \( (2,3) \). Por tanto, la ecuación de la parábola en forma de vértice se puede escribir como
\( y = a(x - 2)^2 + 3 \)
Ahora usamos la intersección y en \( (0,- 1) \) para encontrar el coeficiente \( a \).
\( - 1 = un(0 - 2) + 3\)
Resuelva lo anterior para \( a \) para obtener
\(a = 2 \)
La ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra arriba es
\( y = 2(x - 2)^2 + 3\)
Ejemplo 3 Gráfica de una parábola dados tres puntos
Encuentra la ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra a continuación.
Solución al ejemplo 3
La ecuación de una parábola con eje vertical se puede escribir como
\( y = ax^2 + bx + c \)
Tres puntos en la gráfica dada de la parábola tienen coordenadas \( (-1,3), (0,-2) \) y \( (2,6) \). Usa estos puntos para escribir el sistema de ecuaciones.
\(
\begin{array}{lcl} a (-1)^2 + b (-1) + c & = & 3 \\\\ a (0)^2 + b (0) + c & = & -2 \\\\ a (2)^2 + b (2) + c & = & 6 \end{array}
\)
Simplifica y reescribe como
\(
\begin{array}{lcl} a - b + c & = & 3 \\ c & = & -2 \\ 4 a + 2 b + c & = & 6 \end{array}
\)
Resuelva el sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3 anterior para obtener la solución.
\( a = 3 , b=-2 \) y \(c=-2 \)
La ecuación de la parábola viene dada por
\(y = 3 x^2 - 2 x - 2 \)
Ejemplo 4 Gráfica de una parábola dado el diámetro y la profundidad
Encuentre la ecuación del reflector parabólico con diámetro D = 2,3 metros y profundidad d = 0,35 metros y las coordenadas de su foco.
Solución al ejemplo 4
El reflector parabólico tiene un vértice en el origen \( (0,0) \), por lo tanto su ecuación viene dada por
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
El diámetro y la profundidad dados pueden interpretarse como un punto de coordenadas \((D/2, d) = (1,15, 0,35) \) en la gráfica del reflector parabólico. De ahí la ecuación
\( 0,35 = \dfrac{1}{4p} (1,15)^2 \)
Resuelva la ecuación anterior para \( p \) para encontrar
\(
p = 0,94
\)
La ecuación de la parábola viene dada por
\(y = 0,26 x^2\)
El foco del reflector parabólico está en el punto
\( (p , 0) = (0,94 , 0 ) \)
Ejercicios con respuestas
Encuentra la ecuación de la parábola en cada una de las siguientes gráficas.
