La posición del foco (de una antena parabólica o de un reflector parabólico) se encuentra en términos del diámetro del plato y su profundidad.
Focus of a Parabola
Primero escribimos las ecuaciones de la parábola para que la distancia focal (distancia del vértice al foco) aparezca en la ecuación .
La siguiente figura muestra una parábola, su foco F en (0,f) y su directrix en y = -f.
Ahora usamos la de parábola. Cualquier punto M(x,y) de la parábola es equidistante del foco y de la directriz. De ahí la ecuación:
√[(x-0)2 + (y - f)2] = √[(x - x)2 + (y - (-f))2]
Ahora cuadramos ambos lados y ampliamos los cuadrados.
x 2 + y 2 + f 2 - 2 y f = y 2 + f 2 + 2 y f
Simplifica para obtener la ecuación de la parábola que involucra la distancia focal f.
y = x 2 / 4f
Ahora veremos una situación más práctica en la que conocemos las dimensiones del plato y queremos encontrar la distancia focal que da la posición del foco en relación con la posición del plato como se muestra en la figura siguiente.
D es el diámetro del plato, d es la profundidad del plato y f es la distancia focal.
Los puntos (D/2,d) y (-D/2,d) están en la parábola, por lo tanto
d = (D/2)2 / 4f
Lo que da una relación entre el diámetro D, la profundidad d y la distancia focal f del plato.
f = D2 / 16d
La fórmula anterior ayuda a posicionar la alimentación de las antenas parabólicas ya que proporciona la distancia focal f. Por supuesto, en la práctica la forma del plato no es una parábola perfecta y, por lo tanto, se necesitan pequeños ajustes al colocar el alimento.
En este sitio se incluye una calculadora de enfoque de reflector parabólico.
Ejercicios
1 - Calcula la distancia focal f para un plato que tiene un diámetro D = 80 cm y una profundidad d = 25 cm.
2 - Encuentre una relación entre el diámetro D y la profundidad d para que la distancia focal f sea igual al doble de la profundidad d del plato parabólico.
3 - Encuentre una relación entre el diámetro D y la profundidad d para que la distancia focal f sea mayor que d.
Más referencias y enlaces a antenas y reflectores parabólicos
