Esta página demuestra matemáticamente cómo funciona una antena parabólica. Los rayos electromagnéticos paralelos al eje de la parábola se reflejan hacia el foco. Inversamente, las ondas emitidas desde el foco se reflejan en la parábola y se propagan paralelas al eje.
Un rayo electromagnético paralelo al eje de la parábola (el eje \(y\)) incide en la superficie interior de la parábola (ver figura abajo).
Sea \(M(a,b)\) el punto donde el rayo incide en la parábola. Sea \(i\) el ángulo de incidencia con respecto a la normal, y \(r\) el ángulo de reflexión. Según la ley de reflexión, \(i = r\). Demostraremos que todos los rayos reflejados intersecan el eje de la parábola en el mismo punto.
La ecuación de la parábola es: \[ y = \frac{x^2}{4f} \] donde \(f\) es la distancia focal. La derivada es: \[ y' = \frac{x}{2f} \] lo que da la pendiente de la tangente en \(M(a,b)\): \[ m_t = \frac{a}{2f}. \] La pendiente de la normal satisface: \[ m_t \cdot m_n = -1 \quad \Rightarrow \quad m_n = -\frac{2f}{a}. \] Sea \(n\) el ángulo de la normal con el eje \(x\): \[ \tan(n) = -\frac{2f}{a}. \] La pendiente del rayo reflejado es: \[ m_r = \tan(n - i) \quad \text{y} \quad i + n = 90^\circ. \] Usando identidades trigonométricas: \[ m_r = \tan(2n - 90^\circ) = -\cot(2n) = -\frac{1}{\tan(2n)} = -\frac{1 - \tan^2 n}{2 \tan n}. \] Sustituyendo \(\tan n = -2f/a\): \[ m_r = \frac{a^2 - 4f^2}{4af}. \] La recta que pasa por \(M(a,b)\) con pendiente \(m_r\) es: \[ y - b = m_r (x - a). \] La intersección con el eje y es: \[ y_{\text{intercepto}} = b - a m_r = \frac{a^2}{4f} - a \frac{a^2 - 4f^2}{4af} = f. \] Por lo tanto, todos los rayos reflejados pasan a través del foco \((0,f)\).
Nota: Esta derivación utiliza álgebra, trigonometría, cálculo y física, demostrando la aplicación práctica de las matemáticas en la ingeniería y la física.
Los rayos electromagnéticos entrantes se reflejan en la superficie parabólica y convergen en el foco.
Los rayos emitidos desde el foco se reflejan en la parábola y viajan paralelos al eje.
Encuentra el foco de cada parábola: