El punto M es el punto en el que el rayo incide en el plato parabólico. i es el ángulo formado por el rayo incidente y la normal (en rojo) que es perpendicular a la tangente (en azul) a la parábola en el punto M(a,b) . r es el ángulo que forman el rayo reflejado y la normal. Según las leyes de la reflexión, los ángulos i y r son iguales.
Demostraremos que todos los rayos reflejados debido a los rayos incidentes, en diferentes posiciones, interceptan el eje de la parábola (eje y) al mismo tiempo.
Primero calculamos la pendiente de la tangente mt para obtener la pendiente de la normal mn .
La pendiente de la tangente viene dada por el valor de la primera derivada en el punto M(a,b) .
Para un reflector (o plato) parabólico dado, la ecuación de la parábola se puede escribir como
y = x2 / (4 f)
donde f es una constante.
consulte Encontrar el foco de las antenas parabólicas para obtener más detalles.
La primera derivada está dada por
y ' = x / (2 f)
La pendiente de la tangente en el punto M(a , b) viene dada por
mt = a / (2 f)
La pendiente de la tangente mt y la pendiente de la normal mn en el punto M están relacionados por
mt × mn = -1 .
Sustituya mt = a / (2 f) en lo anterior para obtener
mn = -2f / a
Sea n el ángulo formado por la normal y el eje x.
tan(n) = -2f / a (relación entre ángulos y pendientes).
El ángulo que forman el rayo reflejado y el eje x es igual a
n - r = n - i, desde r = i
Sea mr la pendiente del rayo reflejado.
Por lo tanto mr = tan(n - i).
además i + n = 90o.
Combina los dos últimos para obtener
mr = tan(2 n - 90)
tan(2 n - 90) Se puede escribir como
tan(2 n - 90) = - cot(2 n)
= - 1 / tan(2 n) = - (1-tan2 n)/(2 tan n).
Por eso
mr = - (1-tan2 n)/(2 tan n)
Sustituya tan(n) = - 2f / a en lo anterior y simplifique para obtener
mr = (a2 - 4f2) / 4(f a)
Ahora que tenemos la pendiente del rayo reflejado, encontremos una ecuación para la recta que pasa por el punto M(a , b) y con la misma pendiente que el rayo incidente. En forma de pendiente puntual, la ecuación viene dada por
y - b = mr (x - a)
La intersección y de la línea anterior está dada por
y-intercept = b - a × mr
Como el punto M está en la parábola, b = a2 / 4f
Sustituya b y mr en la expresión que da la intersección y para obtener
y-intercept = b - a mr
= a2 / 4f - a (a2 - 4f2) / 4(f a)
= f.
La intercepción y es igual a f que es constante para un reflector (o plato) parabólico determinado. No depende de la posición del rayo incidente. Por tanto, todos los rayos reflejados pasan por el mismo punto (0 , f) llamado foco y f es la distancia focal. En situaciones prácticas, se coloca un dispositivo en el foco (0 , f) para recolectar toda la energía electromagnética entrante.
Nota Hemos utilizado álgebra, trigonometría, cálculo y leyes físicas de reflexión para explicar cómo funciona un reflector parabólico. Este es un buen ejemplo de cómo se aplican las matemáticas en la ingeniería y la física para resolver problemas de la vida real.
Las antenas parabólicas se pueden utilizar en diferentes situaciones como se explica a continuación.
