Graficar Ecuaciones Polares

Este tutorial explica cómo graficar ecuaciones polares a mano (bosquejando) para construir una comprensión conceptual profunda. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas. Los puntos en coordenadas polares se escriben como \( (R, t) \), donde \( R \) es la distancia polar y \( t \) es el ángulo polar. Se utiliza el método punto por punto en todo momento.

Referencias útiles: Puntos en coordenadas polares | Papel gráfico polar gratuito

Ejemplos sobre Graficar Ecuaciones Polares

Ejemplo 1

Grafica la ecuación polar

\[ R = 4 \cos t \]

e identifica la gráfica.

Solución al Ejemplo 1

Primero construimos una tabla de valores usando ángulos especiales. Es útil encontrar valores de \( t \) donde \( R \) es máximo, mínimo o cero.
- \( R \) es máximo (\( R = 4 \)) cuando \( t = 0 \)
- \( R \) es mínimo (\( R = -4 \)) cuando \( t = \pi \)
- \( R = 0 \) cuando \( t = \frac{\pi}{2} \)

\( t \)	\( R \)
\( 0 \)	\( 4 \)
\( \frac{\pi}{6} \)	\( 3,5 \)
\( \frac{\pi}{4} \)	\( 2,8 \)
\( \frac{\pi}{3} \)	\( 2 \)
\( \frac{\pi}{2} \)	\( 0 \)
\( \frac{2\pi}{3} \)	\( -2 \)
\( \frac{3\pi}{4} \)	\( -2,8 \)
\( \frac{5\pi}{6} \)	\( -3,5 \)
\( \pi \)	\( -4 \)

Nos detenemos en \( t = \pi \) ya que los valores se repiten después de este punto.
Los puntos se trazan en un sistema de coordenadas polares. Se debe prestar especial atención a los puntos con valores negativos de \( R \).

Sistema de coordenadas polares con puntos trazados

Finalmente, los puntos se unen con una curva suave.

Gráfica de la ecuación polar R = 4 cos t

Ejemplo 2

Grafica la ecuación polar

\[ R = 2 + 2 \sin t \]

e identifica la gráfica.

Solución al Ejemplo 2

Construimos una tabla de valores usando ángulos especiales.
- \( R \) es máximo (\( R = 4 \)) en \( t = \frac{\pi}{2} \)
- \( R = 0 \) en \( t = \frac{3\pi}{2} \)

\( t \)	\( R \)
\( 0 \)	\( 2 \)
\( \frac{\pi}{6} \)	\( 3,0 \)
\( \frac{\pi}{4} \)	\( 3,4 \)
\( \frac{\pi}{3} \)	\( 3,7 \)
\( \frac{\pi}{2} \)	\( 4 \)
\( \frac{2\pi}{3} \)	\( 3,7 \)
\( \frac{3\pi}{4} \)	\( 3,4 \)
\( \frac{5\pi}{6} \)	\( 3 \)
\( \pi \)	\( 2 \)
\( \frac{7\pi}{6} \)	\( 1 \)
\( \frac{5\pi}{4} \)	\( 0,6 \)
\( \frac{4\pi}{3} \)	\( 0,3 \)
\( \frac{3\pi}{2} \)	\( 0 \)

Gráfica de la ecuación polar R = 2 + 2 sin t

Ejemplo 3

Grafica la ecuación polar

\[ R = 4 \cos(2t) \]

e identifica la gráfica.

Solución al Ejemplo 3

Los valores máximos \( R = 4 \) ocurren en \( t = 0 \) y \( t = \pi \).
Los valores mínimos \( R = -4 \) ocurren en \( t = \frac{\pi}{2} \) y \( t = \frac{3\pi}{2} \).

\( t \)	\( R \)
\( 0 \)	\( 4 \)
\( \frac{\pi}{6} \)	\( 2 \)
\( \frac{\pi}{4} \)	\( 0 \)
\( \frac{\pi}{3} \)	\( -2 \)
\( \frac{\pi}{2} \)	\( -4 \)
\( \frac{2\pi}{3} \)	\( -2 \)
\( \frac{3\pi}{4} \)	\( 0 \)
\( \frac{5\pi}{6} \)	\( 2 \)
\( \pi \)	\( 4 \)

Gráfica de la ecuación polar R = 4 cos(2t)

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