Las ecuaciones escritas en forma polar se pueden convertir a forma rectangular (cartesiana) utilizando las relaciones entre coordenadas polares y rectangulares. En lo que sigue, las coordenadas polares de un punto se denotan por \( (R, t) \), donde \( R \) es la distancia radial y \( t \) es la coordenada angular.
Las relaciones entre las coordenadas rectangulares \( (x, y) \) y las coordenadas polares \( (R, t) \) son:
\[ R^2 = x^2 + y^2, \qquad x = R \cos t, \qquad y = R \sin t \]Convierte la ecuación polar
\[ R = 4 \sen t \]a su forma rectangular.
Multiplica ambos lados de la ecuación por \( R \):
\[ R^2 = 4R \sen t \]Usando las identidades \( R^2 = x^2 + y^2 \) y \( y = R \sen t \), reescribimos la ecuación como:
\[ x^2 + y^2 = 4y \]Reordenando:
\[ x^2 + y^2 - 4y = 0 \]Esta es la ecuación de un círculo.
Convierte la ecuación polar
\[ R(-2 \sen t + 3 \cos t) = 2 \]a su forma rectangular.
Primero, expande el lado izquierdo:
\[ -2R \sen t + 3R \cos t = 2 \]Usando las sustituciones \( y = R \sen t \) y \( x = R \cos t \), la ecuación se convierte en:
\[ -2y + 3x = 2 \]Esta es la ecuación de una línea recta.
Convierte la ecuación polar
\[ t + \frac{\pi}{4} = 0 \]a su forma rectangular.
Resuelve la ecuación para \( t \):
\[ t = -\frac{\pi}{4} \]Toma la tangente de ambos lados:
\[ \tan t = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \]Usando la identidad \( \tan t = \dfrac{\sen t}{\cos t} \) y las relaciones \( x = R \cos t \), \( y = R \sen t \), obtenemos:
\[ \tan t = \frac{y}{x} \]Por lo tanto:
\[ \frac{y}{x} = -1 \]o equivalentemente:
\[ y = -x \]Esta es la ecuación de una línea recta.