Esta página presenta una introducción clara a las coordenadas polares y las ecuaciones polares, con explicaciones detalladas, ejemplos resueltos e ilustraciones gráficas.
Comenzamos repasando el sistema de coordenadas cartesianas (rectangulares). Sea el punto \( A \) en el plano \( xy \). En coordenadas cartesianas, el punto \( A \) se representa mediante un par ordenado \( (x, y) \), donde:
En la figura a continuación, se muestran los puntos \( (x,y) = (4,2) \) y \( (x,y) = (-3,4) \).
En el sistema de coordenadas polares, un punto se representa mediante el par ordenado \( (r, \theta) \), donde:
La cantidad \( r \) se llama coordenada radial, y \( \theta \) es la coordenada angular.
Por ejemplo, los puntos \[ (5, \tfrac{\pi}{3}) \quad \text{y} \quad (4, \pi) \] se muestran en la figura a continuación.
Por convención, el ángulo \( \theta \) es positivo cuando se mide en sentido antihorario y negativo cuando se mide en sentido horario.
Grafica los puntos dados por sus coordenadas polares:
a) \( (2,0) \) b) \( (2,\tfrac{3\pi}{4}) \) c) \( (4,\tfrac{7\pi}{3}) \) d) \( (3,-\tfrac{5\pi}{4}) \)
Los puntos se grafican a continuación.
Nota: Si la coordenada radial \( r \) permanece igual y sumamos o restamos múltiplos de \( 2\pi \) a la coordenada angular, se obtiene el mismo punto.
Es decir, \[ (r,\theta), \quad (r,\theta + 2\pi), \quad (r,\theta - 4\pi), \dots \] todos representan el mismo punto.
El sistema de coordenadas polares permite que la coordenada radial \( r \) sea negativa. Los puntos \[ (-r, \theta) \quad \text{y} \quad (r, \theta) \] se encuentran en la misma línea que pasa por el polo y están a la misma distancia \( |r| \) del polo, pero en direcciones opuestas.
Por lo tanto, las coordenadas \[ (-r, \theta) \quad \text{y} \quad (r, \theta + \pi) \] representan el mismo punto.
Grafica los siguientes pares de puntos:
a) \( (-2,0) \) y \( (2,0) \)
b) \( (-2,\tfrac{3\pi}{4}) \) y \( (2,\tfrac{3\pi}{4}) \)
c) \( (-4,-\tfrac{\pi}{3}) \) y \( (4,-\tfrac{\pi}{3}) \)
A diferencia de las coordenadas cartesianas, las coordenadas polares no son únicas. Un solo punto puede representarse de infinitas maneras.
Para enteros \( n \) y \( k \), las coordenadas \[ (r,\theta), \quad (r,\theta + 2n\pi), \quad (-r,\theta + (2k+1)\pi) \] todas representan el mismo punto.
Usando trigonometría, las relaciones entre coordenadas polares y cartesianas son:
\[ x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta \] \[ r^2 = x^2 + y^2, \qquad \theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) \]
Una ecuación polar tiene la forma \( f(r,\theta) = 0 \). Su gráfica consiste en todos los puntos \( (r,\theta) \) que satisfacen la ecuación.
Dibuja la gráfica de la ecuación polar
\[ r - 3\sin\theta = 0 \]Despejando \( r \), obtenemos:
\[ r = 3\sin\theta \]A continuación se muestra una tabla de valores.
| \( \theta \) | \( r = 3\sin\theta \) |
|---|---|
| \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( \tfrac{\pi}{6} \) | \( \tfrac{3}{2} \) |
| \( \tfrac{\pi}{4} \) | \( \tfrac{3}{\sqrt{2}} \) |
| \( \tfrac{\pi}{3} \) | \( \tfrac{3\sqrt{3}}{2} \) |
| \( \tfrac{\pi}{2} \) | \( 3 \) |
| \( \tfrac{2\pi}{3} \) | \( \tfrac{3\sqrt{3}}{2} \) |
| \( \tfrac{3\pi}{4} \) | \( \tfrac{3}{\sqrt{2}} \) |
| \( \tfrac{5\pi}{6} \) | \( \tfrac{3}{2} \) |
| \( \pi \) | \( 0 \) |
Convirtiendo a coordenadas cartesianas:
\[ r - 3\sin\theta = 0 \] \[ r - 3\frac{y}{r} = 0 \] \[ r^2 - 3y = 0 \] \[ x^2 + y^2 - 3y = 0 \]Completando el cuadrado correctamente:
\[ x^2 + (y - 1,5)^2 = (1,5)^2 \]Esta es una circunferencia centrada en \( (0, 1,5) \) con radio \( 1,5 \).