Convertir Ecuaciones de Forma Rectangular a Polar

Esta página presenta problemas en los que ecuaciones escritas en forma rectangular se convierten a forma polar utilizando las relaciones estándar entre coordenadas rectangulares y polares. Cada problema viene acompañado de una solución completa y detallada.

En lo que sigue, las coordenadas polares de un punto se escriben como \((R, t)\), donde \(R\) es la coordenada radial y \(t\) es la coordenada angular.

Las relaciones entre las coordenadas rectangulares \((x, y)\) y las coordenadas polares \((R, t)\) están dadas por

Problemas sobre Conversión de Ecuaciones Rectangulares a Forma Polar

Problema 1

Convierte la ecuación

a forma polar.

Solución al Problema 1

• Reescribe la ecuación agrupando los términos cuadráticos: \[ 2(x^2 + y^2) - x + y = 0. \]
• Utiliza las relaciones \(R^2 = x^2 + y^2\), \(x = R \cos t\), y \(y = R \sin t\): \[ 2R^2 - R \cos t + R \sin t = 0. \]
• Factoriza \(R\): \[ R(2R - \cos t + \sin t) = 0. \]
• Esta ecuación da \[ R = 0 \quad \text{o} \quad 2R - \cos t + \sin t = 0. \]
• La ecuación \(R = 0\) representa el polo. El polo está incluido en la gráfica de la segunda ecuación porque, por ejemplo, cuando \(t = \pi/4\), obtenemos \(R = 0\). Por lo tanto, mantenemos solo la segunda ecuación.
• Despejando \(R\), obtenemos la forma polar de la ecuación: \[ 2R - \cos t + \sin t = 0 \quad \Rightarrow \quad R = \frac{1}{2}(\cos t - \sin t). \]

Problema 2

Convierte la ecuación

a forma polar.

Solución al Problema 2

• Sustituye \(x = R \cos t\) y \(y = R \sin t\) en la ecuación dada: \[ R \cos t + R \sin t = 0. \]
• Factoriza \(R\): \[ R(\cos t + \sin t) = 0. \]
• Esta ecuación da \[ R = 0 \quad \text{o} \quad \cos t + \sin t = 0. \]
• La ecuación \(R = 0\) representa el polo. Dado que la segunda ecuación es independiente de \(R\), el polo ya está incluido. Por lo tanto, mantenemos solo \[ \cos t + \sin t = 0. \]
• Reescribe la ecuación como \[ \tan t = -1. \]
• Resolviendo para \(t\), obtenemos \[ t = \frac{3\pi}{4}. \]
• Todos los puntos de la forma \((R, 3\pi/4)\) se encuentran en la gráfica de esta ecuación. Esta es la ecuación polar de una línea recta.

Más Referencias y Enlaces

Coordenadas Polares